Razão e proporção

Numa turma do 7.º ano, há $12$ alunos que jogam basquetebol e $18$ alunos que jogam futebol. Escreva a razão entre o número de jogadores de basquetebol e o de futebol. Explique com as suas palavras o que significa o resultado obtido após simplificar a fração.

Num videojogo de aventura, a sua personagem conseguiu $24$ poções de vida depois de abrir $6$ baús mágicos. Calcule a razão entre o número de poções e o número de baús. Quantas poções de vida há, em média, em cada baú?

Observe o seguinte desenho que representa as frutas numa fruteira. Calcule a razão entre o número de maçãs (laranja) e o número de peras (branco suave).

Um carro telecomandado percorre uma distância de $45$ metros em $15$ segundos. Calcule a razão entre a distância e o tempo. Que grandeza física representa este resultado?

Um pacote de $500$ gramas de cereais custa $3,50$ €. Expresse a razão entre o preço e a massa em gramas. Depois, calcule o valor decimal dessa razão para saber quanto custa $1$ único grama de cereais.

Marta leu $60$ páginas de um romance em $2$ horas, enquanto o seu irmão Tomás leu $45$ páginas em $1,5$ horas.

• Calcule a razão entre páginas e horas para Marta.

• Calcule a razão entre páginas e horas para Tomás.

• Os dois leem à mesma velocidade? Justifique a sua resposta.

Num videojogo de estratégia, para fabricar uma poção de "Supervelocidade", o alquimista utiliza $150\text{ mg}$ de pó de estrela para cada $250\text{ ml}$ de água mágica.

1. a) Expressa a razão entre o pó de estrela e a água mágica. Simplifica o resultado e interpreta o que significa esse valor.
2. b) Calcula a razão inversa (água mágica em relação ao pó de estrela) e explica que informação ela nos dá.

Num treino de basquetebol, a Beatriz acertou $18$ lançamentos de três pontos em $30$ tentativas, enquanto o seu colega Marcos acertou $14$ lançamentos de três pontos em $20$ tentativas.

1. a) Expresse a razão de acerto de cada jogador na forma de numeral decimal.
2. b) Qual dos dois tem uma melhor razão de acerto? Justifique a sua resposta comparando ambos os valores.

Uma loja de doces oferece dois tipos de sacos de gomas:

• Saco A: contém $250\text{ g}$ e custa $3,50\text{ €}$.

• Saco B: contém $400\text{ g}$ e custa $5,20\text{ €}$.

1. a) Calcule a razão preço/peso para cada saco.
2. b) Qual dos dois sacos resulta mais económico? Justifique a sua resposta utilizando os valores obtidos.

Uma influencer de viagens reviu as suas estatísticas do Instagram. Na sua última publicação, obteve $4\,500$ "gostos" após ter recebido um total de $60\,000$ visualizações.

1. a) Calcule a razão entre o número de "gostos" e o número de visualizações.
2. b) Se na fotografia seguinte a razão é de $0,1$, qual das duas fotografias teve mais sucesso proporcionalmente entre os seus seguidores?

Um colibri consegue bater as asas cerca de $4\,800$ vezes por minuto. Por outro lado, um grifo bate-as cerca de $120$ vezes por minuto.

1. a) Calcula a razão entre os batimentos de asas do colibri e os do grifo. O que significa esse número?

1. b) Se compararmos o peso do colibri ($3\text{ g}$) com o seu comprimento ($10\text{ cm}$), calcula a razão peso/comprimento. Que unidades teria essa razão?

No final de uma jornada da Liga Portuguesa de Basquetebol, a equipa técnica compara o rendimento de duas equipas rivais:

• A equipa A ganhou $17$ dos $28$ jogos disputados.

• A equipa B ganhou $13$ dos $24$ jogos disputados.

1. a) Antes de fazeres divisões exatas, estima se ambas as equipas ganharam mais ou menos de metade dos seus encontros (referência $0,5$). Raciocina se essa primeira estimativa te basta para garantir com certeza qual das duas tem melhor rendimento.
2. b) Verifica a tua estimativa calculando a razão de vitórias por jogo disputado para cada equipa como número decimal arredondado às centésimas. Qual é mais eficaz?
3. c) Se uma terceira equipa tem uma razão de vitórias de $0,75$ tendo disputado $20$ jogos, calcula quantos jogos ganhou e explica que significado tem esse decimal relativamente ao total.

A partir de dados dos censos municipais (INE), analisamos a estrutura demográfica de dois municípios de características muito diferentes:

• Em Aldeiavelha (município rural), residem $60$ menores de 18 anos e $180$ pessoas com mais de 65 anos.

• Em Valdenebro (município residencial), residem $2400$ menores de 18 anos e $1600$ pessoas com mais de 65 anos.

1. a) Modela a «razão de jovens face a idosos» (número de menores dividido pelo número de idosos) de cada município e expressa-a como uma fração irredutível.
2. b) Interpreta com as tuas palavras o significado de cada uma dessas duas frações irredutíveis (por exemplo: «por cada... pessoas idosas há... jovens»).
3. c) Se em Aldeiavelha se registassem no município $30$ novos menores de 18 anos (sem alterar o número de idosos), alcançaria a razão de jovens de Valdenebro? Justifica a tua resposta comparando ambas as razões.

No mundo dos videojogos competitivos, o desempenho de um servidor é medido pela razão entre o número de jogadores ligados e a largura de banda consumida (em Mbps). O servidor de "BattleArena" tem $120$ jogadores e consome $450$ Mbps. Por outro lado, o servidor de "GalaxyQuest" tem $85$ jogadores e consome $320$ Mbps. Calcule a razão de consumo por jogador em ambos os servidores e determine qual dos dois é mais eficiente (o que consome menos Mbps por cada jogador). Exprima as razões como números decimais.

A "taxa de envolvimento" de um influencer é calculada comparando o número de interações (gostos e comentários) com o seu número total de seguidores.

• O utilizador A tem $12\,500$ seguidores e obteve $625$ interações na sua última fotografia.

• O utilizador B tem $45\,000$ seguidores e obteve $2\,160$ interações.

Calcule a razão de interações por seguidor para cada um. Qual dos dois tem uma audiência proporcionalmente mais ativa? Exprima o resultado como um número decimal e explique o que significa esse valor neste contexto.

Um carro híbrido consome $4,2$ litros de gasolina para percorrer $100$ km, enquanto uma mota consome $1,5$ litros para percorrer $40$ km.

1. a) Calcule a razão de consumo (litros por cada quilómetro) de cada veículo.
2. b) Qual dos dois veículos consome menos proporcionalmente?
3. c) Se a razão entre o consumo e a distância de um terceiro veículo é de $0,052$, quantos litros gastará numa viagem de $250$ km?

Num estudo sobre nutrição, analisa-se a razão entre a quantidade de açúcar e o peso total de dois tipos de cereais.

• Os cereais "Energy" têm $12$ g de açúcar numa porção de $40$ g.

• Os cereais "Salud" têm $18$ g de açúcar numa caixa de $75$ g.

Calcula a razão de açúcar por grama de produto para ambos. Qual é a percentagem de açúcar de cada um? (Lembra-te de que, para converter uma razão em percentagem, podes multiplicar o seu valor decimal por 100). Qual dos dois escolherias se quisesses consumir menos açúcar proporcionalmente?

A densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a superfície que ocupam (hab/km²).

• A cidade X tem uma população de $1\,250\,000$ pessoas e uma superfície de $450,5$ km².

• A cidade Y tem $840\,000$ habitantes e ocupa $120,2$ km².

Calcule a densidade demográfica de ambas as cidades arredondando às unidades. Se a cidade X triplicasse a sua população, mas mantivesse a sua superfície, qual seria a sua nova densidade? Continuaria a ser menos densa do que a cidade Y?

Num mapa de uma ilha do tesouro de um filme, a distância entre o "Porto do Pirata" e a "Montanha do Crânio" é de $15\text{ cm}$. Na realidade, essa distância é de $4,5\text{ km}$.

1. a) Calcule a razão entre a medida no mapa e a medida real (lembre-se de converter ambas para a mesma unidade, por exemplo, centímetros).
2. b) Que nome recebe essa razão especial utilizada nos mapas?

O Tomás está a construir uma maquete de um autocarro urbano da Carris de Lisboa. O autocarro real mede $12\text{ m}$ de comprimento e a sua maquete mede $15\text{ cm}$. Para indicar a escala na ficha técnica do projeto, o Tomás escreve o seguinte:

'A escala é $\dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4} = 1,25$, o que significa que a maquete é $1,25$ vezes maior do que o autocarro'.

1. a) Explica qual é o duplo erro que o Tomás cometeu (um relativo às unidades de medida e outro à interpretação da razão resultante).
2. b) Corrige o raciocínio e calcula a escala numérica correta da maquete, expressando-a no formato habitual $1:n$.

Para preparar uma mistura de tinta de cor rosa, um artista utiliza $3$ latas de tinta branca para cada $2$ latas de tinta vermelha.

• Escreva a razão entre a tinta branca e a vermelha.

• Se o artista decidisse usar $6$ latas de tinta vermelha, quantas latas de tinta branca deveria usar para manter o mesmo tom de rosa?

Observe estas duas misturas de água com xarope de morango. A mistura $A$ tem $2$ copos de xarope para cada $5$ copos de água. A mistura $B$ tem $4$ copos de xarope para cada $10$ copos de água.

• Escreva a razão de cada mistura.

• Estas misturas são proporcionais? Ou seja, terão o mesmo sabor?

Para preparar uma cor laranja muito especial, um grafiteiro mistura $1,2\text{ litros}$ de tinta vermelha com $0,8\text{ litros}$ de tinta amarela.

1. a) Escreva a razão entre a quantidade de tinta vermelha e amarela. Expresse-a como uma fração irredutível.
2. b) Se quiser manter o mesmo tom, mas só tiver $0,5\text{ litros}$ de tinta amarela, que quantidade de tinta vermelha deverá utilizar? (Utilize a razão obtida na alínea anterior).

Na tua turma do 7.º ano há um total de $32$ alunos. Sabe-se que para cada $3$ alunos que preferem as aulas de Educação Física, há $5$ alunos que preferem as de Educação Visual.

1. a) Escreve a razão entre os que preferem Educação Física e os que preferem Educação Visual.
2. b) Se estas são as duas únicas opções e todos escolheram uma, quantos alunos preferem cada disciplina? (Dica: repara que a soma dos termos da razão simplificada é $3 + 5 = 8$).

Na horta escolar de uma escola secundária, a razão simplificada entre o número de pés de tomate e o número de pés de alface plantados é $\dfrac{3}{5}$. Além disso, o professor de Biologia informa-vos de que o número total de plantas (tomates mais alfaces) é maior do que $30$ e menor do que $50$.

1. a) Quantos pés de tomate e quantos de alface pode haver exatamente? Escreve todos os pares de soluções possíveis que cumpram estas condições.
2. b) Justifica por que razão seria impossível haver nesta horta um total de $35$ plantas mantendo essa mesma razão.

Uma artista de arte urbana está a criar uma nova cor "Verde Ciber" misturando tinta azul e tinta amarela. Na sua primeira lata, misturou $0,75$ litros de azul com $1,2$ litros de amarelo. Ao ficar sem tinta, decide preparar uma segunda mistura numa lata maior usando $2,5$ litros de azul. Quantos litros de amarelo deve adicionar para que a razão entre o azul e o amarelo seja exatamente a mesma da primeira mistura? Exprime a razão inicial como uma fração irredutível.

Num treino de basquetebol, a Leonor encestou $18$ lançamentos em $25$ tentativas, enquanto o Marcos encestou $24$ em $32$ tentativas.

1. a) Escreve a razão de lançamentos convertidos para cada jogador.
2. b) Calcula o valor decimal de cada razão.
3. c) Se ambos mantiverem a sua eficácia e lançarem $100$ vezes, quantos cestos marcará cada um? Estas razões são equivalentes? Justifica a tua resposta através do produto dos extremos e dos meios.

A razão entre o comprimento da base e a altura dos ecrãs dos cinemas antigos era de $4:3$ (formato quase quadrado), enquanto nos cinemas modernos a razão costuma ser de $21:9$ (formato panorâmico).

Se o ecrã de um cinema moderno tem uma altura de $6,3$ metros, quanto mede a sua base? Qual seria a base de um ecrã antigo com essa mesma altura de $6,3$ metros? Compare ambos os resultados e explique qual dos dois ecrãs é mais "alongado".

Precisas de verificar se as razões $\dfrac{18}{24}$ e $\dfrac{27}{36}$ formam uma proporção. Na aula propõem-se três caminhos distintos:

• Método 1 (Beatriz): Verificar se o produto dos extremos é igual ao produto dos meios ($18 \cdot 36$ face a $24 \cdot 27$).

• Método 2 (Bruno): Simplificar ambas as frações até à sua fração irredutível e observar se coincidem.

• Método 3 (Duarte): Dividir o numerador pelo denominador em ambas as razões e comparar os números decimais obtidos.

1. a) Aplica o Método 1 e o Método 2 para determinar se formam ou não uma proporção.
2. b) Analisa as vantagens e desvantagens de cada um dos três métodos. Se os números fossem de quatro algarismos (por exemplo, $\dfrac{3216}{4824}$ e $\dfrac{2144}{3216}$) e não tivesses calculadora, qual dos três métodos descartarias primeiro e qual escolherias como mais eficiente e seguro? Justifica a tua escolha.

Na oficina de Educação Visual preparam uma tonalidade personalizada de tinta verde misturando latas de tinta azul e amarela. Ao começar, a razão entre latas de azul e latas de amarelo é $\dfrac{2}{3}$, tendo sido utilizadas $6$ latas de tinta azul.

1. a) Determina quantas latas de tinta amarela foram utilizadas nessa mistura inicial.
2. b) Para clarear o tom, a professora indica que a nova razão (azul face a amarelo) deve ser exatamente $\dfrac{1}{2}$. Se apenas dispuseres de latas adicionais de tinta amarela (a quantidade de azul não se altera), quantas latas amarelas deves adicionar à mistura original?
3. c) Um colega afirma: 'Para passar da razão $\dfrac{2}{3}$ para a razão $\dfrac{1}{2}$, a diferença entre ambas é $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$, por isso basta adicionar a sexta parte das latas que já havia'. Explica detalhadamente por que razão este raciocínio é falso e que erro concetual comete ao tratar uma razão como se fosse uma quantidade aditiva.