Conceito de número natural

Numa loja de tecnologia, um funcionário está a rever o inventário e as medidas de alguns produtos. Da seguinte lista de valores, indica quais representam números naturais:

• a) $15$ smartphones.

• b) $1,5$ metros de cabo de carregamento.

• c) $40$ capas protetoras.

• d) $-3$ graus no depósito refrigerado.

• e) $2/3$ da bateria carregada.

• f) $0$ erros no registo.

• g) $105$ auriculares sem fios.

Observe a posição dos algarismos no número $45\,082$. Indique qual é o valor posicional do algarismo $5$ e do algarismo $8$ nesse número. Observe o esquema seguinte para se orientar e copie-o para o seu caderno.

Expresse o número $70\,432$ de forma polinómica utilizando potências de $10$, decompondo-o segundo o valor dos seus algarismos.

Exemplo: $625 = 6 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5$

Um famoso canal do YouTube tem atualmente $14\,508\,392$ inscritos.

1. a) Escreva como se lê esse número usando palavras.
2. b) Indique que valor representa o algarismo $5$ nesse número, segundo a sua posição (unidades, dezenas, centenas, etc.).
3. c) Se o canal conseguir mais um milhão de inscritos, qual será o algarismo das dezenas de milhão?

Realiza a decomposição polinómica do número de quilómetros que a luz percorre num ano (ano-luz), que é aproximadamente de $9\,460\,730\,472\,580$ km. Para isso, utiliza potências de base $10$.

Temos o número natural $7\,402$.

1. a) Como é que o seu valor muda se trocarmos o algarismo das unidades pelo algarismo das unidades de milhar? Calcule a diferença entre ambos os números.
2. b) Se acrescentarmos um zero ao número original entre o algarismo das centenas e o das dezenas, em quantas unidades aumenta o número inicial?

Identifique quais os números naturais que correspondem aos pontos A, B e C representados na seguinte reta numérica:

Compara os seguintes pares de números naturais utilizando os símbolos menor que ($<$) ou maior que ($>$):

1. a) $12\,506$ ___ $12\,605$
2. b) $9\,999$ ___ $10\,001$
3. c) $304\,120$ ___ $304\,099$
4. d) $1\,000\,500$ ___ $1\,000\,090$

Observe a seguinte reta numérica onde foram representados vários pontos. Determine quais os números naturais que correspondem às letras $A, B$ e $C$, sabendo que a distância entre cada marcação principal é constante.

Numa loja de tecnologia, comparam-se as vendas de três modelos de tablets durante o último ano:

• Modelo Alpha: $234\,090$ unidades.

• Modelo Beta: $243\,009$ unidades.

• Modelo Gamma: $234\,900$ unidades.

1. a) Ordene os modelos do maior para o menor número de vendas utilizando o símbolo $>$.
2. b) Se o objetivo da empresa era vender um quarto de milhão de unidades do modelo de maior sucesso, quantas unidades faltaram para atingir essa meta?

Utilizando apenas os algarismos $2, 0, 5, 8$ e $9$, e sem repetir nenhum:

1. a) Escreva o maior número par possível.
2. b) Escreva o menor número ímpar possível (tendo em conta que um número não costuma começar pelo algarismo $0$).
3. c) Calcule a diferença entre ambos os números.

Justifique se as seguintes afirmações sobre o conjunto dos números naturais ($\mathbb{N}$) são verdadeiras ou falsas, apresentando um exemplo ou contraexemplo em cada caso:

• 1) O valor de um algarismo no sistema decimal é independente da sua posição se todos os algarismos do número forem iguais.

• 2) Ao multiplicar um número natural por $10$, o seu número de algarismos aumenta sempre em um.

• 3) O menor número natural é o zero.

• 4) No sistema de numeração romano, o valor de um símbolo soma-se sempre ao anterior.

A capacidade de um estádio de futebol é de $74\,682$ pessoas. Um jornal desportivo quer publicar a notícia e decide fornecer o dado aproximado. Arredonda o número de adeptos para as unidades de milhar.

Para organizar o transporte de uma jornada desportiva escolar, a direção anota os alunos inscritos de três escolas: $187$ da primeira escola, $312$ da segunda e $204$ da terceira.

1. a) Antes de calculares a soma exata, estima o número total de participantes arredondando cada uma das três quantidades à centena mais próxima.
2. b) Calcula a soma exata dos alunos e determina a diferença entre a tua estimativa e o valor real.
3. c) Se a empresa de transportes disponibiliza autocarros de $50$ lugares cada um, teria sido seguro contratar os autocarros baseando-se unicamente na estimativa arredondada às centenas? Justifica que perigo tem arredondar à centena face a arredondar sempre por excesso em situações logísticas reais.

O orçamento para a construção de um novo centro desportivo é de $4\,376\,512$ €.

1. a) Arredonda esse orçamento às centenas de milhar.
2. b) Aproxima por truncatura às dezenas de milhar.
3. c) Qual das duas aproximações anteriores fica mais próxima do preço real? Justifica a tua resposta calculando a diferença em ambos os casos.

Um número natural de quatro algarismos é um código secreto que deves descobrir a partir das seguintes pistas:

1. Ao arredondá-lo às centenas obtém-se $4\,800$, mas ao truncá-lo às centenas resulta $4\,700$.

2. O algarismo das dezenas é um número ímpar estritamente maior do que $6$.

3. O número é capicua (lê-se da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda).

1. a) Determina de forma fundamentada qual é esse número secreto, justificando passo a passo por que motivo descartas as outras opções.
2. b) Escreve o número obtido através da sua decomposição polinomial utilizando potências de $10$.

De acordo com dados do recenseamento municipal (INE), três aldeias vizinhas de uma região têm as seguintes populações: Folgosa tem $8\,472$ habitantes, Pinhal tem $12\,835$ e Vale do Souto conta com $9\,604$ residentes. Para uma campanha institucional estudam-se duas formas de simplificar os valores:

1. a) Calcula a população total estimada da região se arredondares previamente o número de habitantes de cada aldeia à unidade de milhar mais próxima.
2. b) Calcula a população total estimada se, em vez de arredondares, truncares o número de habitantes de cada aldeia às unidades de milhar.
3. c) Determina a população real exata somando os três dados originais. Compara a diferença com o valor real em cada caso e explica por que motivo o arredondamento costuma dar uma aproximação global muito mais fiel à realidade do que o truncamento.

O PIN de segurança do novo telemóvel da Leonor é um número de seis algarismos com as seguintes características:

• É capicua (lê-se da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda).

• A soma de todos os seus algarismos é $28$.

• O algarismo das centenas de milhar é o triplo do algarismo das centenas.

• O número não contém nenhum algarismo repetido mais do que duas vezes.

• O valor do algarismo das dezenas é um número primo par.

Determina qual é o número secreto da Leonor e escreve-o decomposto sob a forma polinomial utilizando potências de $10$.

Na fachada de um antigo teatro construído no ano 1924, aparece a data em algarismos romanos.

Escreva o ano de construção utilizando o sistema de numeração romana. Lembre-se das equivalências: $M=1000$, $D=500$, $C=100$, $L=50$, $X=10$, $V=5$, $I=1$.

O Tomás está a elaborar um cartaz para a Semana Cultural sobre a história da Roma antiga e precisa de escrever o número $99$ em numeração romana. Para poupar espaço, escreve diretamente $IC$, argumentando que, como $C$ vale $100$ e $I$ vale $1$, ao colocá-lo à esquerda simplesmente subtrai-se: $100 - 1 = 99$.

1. a) Explica que regra do sistema de numeração romana o Tomás violou. A que símbolos concretos é permitido subtrair a letra $I$?
2. b) Explica o procedimento correto para escrever números no sistema romano a partir da sua decomposição em dezenas e unidades, e escreve corretamente o número $99$ passo a passo.

No frontispício de um antigo teatro da sua cidade, aparece gravada a data da sua inauguração em algarismos romanos: MDCCCXLIX.

1. a) Traduza o ano de inauguração para o sistema de numeração decimal.
2. b) Se o teatro passou pela sua primeira reforma $75$ anos depois, escreva o ano dessa reforma tanto no sistema decimal como em algarismos romanos.

Um grupo de arqueólogos encontrou um código antigo que utiliza um sistema de numeração aditivo com os seguintes símbolos:

• △ representa $100$ unidades.

• □ representa $10$ unidades.

• | representa $1$ unidade.

1. a) Escreva o número natural que representa a combinação: △△△□□□□|||||||
2. b) Se somarmos $45$ unidades a esse número, como seria escrito o resultado usando esses símbolos?

Um sistema informático antigo utiliza um código de luzes para representar números no sistema binário. O sistema tem $6$ lâmpadas. Quando uma lâmpada está acesa representa um $1$ e quando está apagada representa um $0$. As lâmpadas são lidas da direita para a esquerda com valores de potência de $2$ ($2^0, 2^1, 2^2...$).

Se queremos representar o número de alunos de uma escola que tem $5$ turmas do 1.º ano, $4$ turmas do 2.º ano e cada turma tem exatamente $25$ alunos:

1. a) Qual é o número total de alunos em decimal?
2. b) Qual seria o código de lâmpadas (acesa/apagada) necessário para representar esse número? $6$ lâmpadas são suficientes para representar esse número? Justifica a tua resposta.

Um arqueólogo encontra uma inscrição romana que indica o ano de construção de um templo. A inscrição é $\overline{IV}CDLXIX$ (lembre-se de que um traço horizontal sobre um símbolo multiplica o seu valor por $1000$). No entanto, suspeita que há um erro e que, na realidade, o templo foi construído $144$ anos depois.

1. a) Traduza o ano da inscrição para o sistema decimal.
2. b) Calcule o ano real de construção no sistema decimal.
3. c) Escreva o ano real resultante novamente em algarismos romanos.

Uma revista de divulgação comete vários erros num artigo sobre sistemas de numeração:

«O sistema romano é mais perfeito do que o decimal porque prescinde do zero, um símbolo vazio e desnecessário. No sistema decimal, se retirarmos o zero de $405$ confunde-se com $45$, o que demonstra que é um sistema defeituoso. Além disso, as regras romanas são tão simples que para escrever qualquer número basta subtrair o símbolo menor ao maior; por exemplo, $1\,999$ escreve-se simplesmente $MIM$.»

Como estudante de matemática, redige uma resposta fundamentada:

1. a) Identifica os dois erros sobre as regras romanas que são cometidos ao escrever $1\,999$ como $MIM$. Decompõe $1\,999$ de acordo com o valor posicional dos seus algarismos e escreve a sua representação romana correta.
2. b) Refuta a afirmação de que o zero é um defeito: explica por que motivo o sistema decimal necessita do zero para ser posicional e que limitação fundamental tem o sistema romano ao carecer dele.
3. c) Justifica com um exemplo de cálculo por que motivo o sistema decimal facilitou historicamente as operações aritméticas (como somar ou multiplicar quantidades médias) em comparação com o sistema romano.

Numa missão espacial, uma sonda detetou um asteroide que se encontra a uma distância de $135$ mil milhões de metros da Terra.

1. a) Expressa essa quantidade em quilómetros utilizando uma única potência de base $10$.
2. b) Se a sonda viaja a uma velocidade constante de $10\,000$ km/h, calcula quantas horas levará para chegar ao asteroide. Expressa o resultado final em notação científica.

Um "Youtuber" famoso tem atualmente doze milhões e trezentas mil visualizações no seu canal. O seu objetivo é chegar a dois mil milhões de visualizações até ao final do ano.

1. a) Escreva ambas as quantidades em algarismos.
2. b) Quantas visualizações faltam exatamente para alcançar o objetivo? Expresse a diferença em forma polinómica.
3. c) Se em média consegue um milhão de visualizações a cada três dias, chegará ao seu objetivo nos $300$ dias restantes do ano?

A Marta quer organizar a sua coleção de $144$ videojogos numa estante de forma que fiquem distribuídos em quadrados perfeitos.

1. a) Se quiser fazer o quadrado maior possível, quantos jogos terá de lado? Sobrar-lhe-á algum jogo?

1. b) Se decidir usar todos os jogos e dividi-los em duas prateleiras que formem, cada uma, um quadrado perfeito idêntico, é possível? Justifica a tua resposta encontrando a medida do lado desses dois quadrados ou explicando porque não se pode.

Num desafio de lógica pedem-te para descobrires quantos números naturais de três algarismos cumprem que a soma dos seus algarismos é exatamente igual a $4$. Dois colegas sugerem estratégias diferentes:

• Método A (Exploração sequencial): Rever os números de três algarismos começando em $100$, somar os algarismos de cada um mentalmente e anotar apenas os que somem $4$ até chegar a $999$.

• Método B (Decomposição posicional ordenada): Representar o número como $c \cdot 100 + d \cdot 10 + u$, onde o algarismo das centenas $c$ só pode ser $1, 2, 3$ ou $4$, e listar de forma ordenada as combinações possíveis de algarismos fixando as centenas de maior a menor.

1. a) Compara a eficácia de ambos os métodos: por que razão o Método A não é uma estratégia matemática adequada para este problema?
2. b) Aplica o Método B: lista de forma ordenada todos os ternos de algarismos $(c, d, u)$ e deduz a lista completa de números que cumprem a condição.
3. c) Sem verificares um a um os números que obtiveste, justifica através do valor posicional por que razão nenhum deles pode terminar num algarismo das unidades maior do que $3$ se o algarismo das centenas for no mínimo $1$.

Desafio do tema. Como é que os números naturais descrevem a realidade do teu meio envolvente? Imagina que és analista demográfico e deves elaborar uma radiografia do teu distrito.

1. Recolha de dados: Entra no site oficial do INE (ine.pt) e procura a população do teu concelho e de outros quatro concelhos vizinhos.

2. Tratamento em folha de cálculo: Cria uma tabela no Calc ou Excel. Ordena os cinco concelhos de maior a menor população utilizando os sinais $>$ e $<$. Adiciona colunas para decompor cada quantidade de acordo com o seu valor posicional (unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar...) e realiza o arredondamento de cada número à dezena de milhar mais próxima.

3. Análise e produto final: Elabora um relatório breve (uma página) no qual calcules a diferença exata de habitantes entre o concelho mais povoado e o menos povoado. Argumenta por que razão é imprescindível utilizar o conjunto dos números naturais ($\mathbb{N}$) e não outro conjunto numérico para recensear pessoas.

Será valorizado:

• Extração rigorosa de dados do INE e tabulação limpa em folha de cálculo.

• Domínio dos conceitos-chave de $\mathbb{N}$: ordenação, valor posicional e arredondamento.

• Clareza expositiva e justificação fundamentada nas conclusões do relatório.