Teorema de Tales

No desenho a seguir, as retas $r$ e $s$ são cortadas por três retas paralelas ($a$, $b$ e $c$). Sabendo que os segmentos determinados na reta $r$ medem $AB = 4\text{ cm}$ e $BC = 6\text{ cm}$, e que o segmento homólogo a $AB$ na reta $s$ mede $A'B' = 2\text{ cm}$, calcule o comprimento do segmento $B'C'$.

No diagrama a seguir, as retas $r$ e $s$ são cortadas por três retas paralelas ($a$, $b$ e $c$). Utilize os dados fornecidos para calcular o comprimento do segmento desconhecido $x$.

Numa estrutura de design para uma ponte pedonal, foram colocadas três vigas de reforço horizontais que são paralelas entre si. As vigas estão unidas por dois tirantes de aço oblíquos, como mostrado na figura. Sabendo que os segmentos determinados no primeiro tirante medem $x$ e $x + 2$ metros, e os segmentos correspondentes no segundo tirante medem $3$ e $4$ metros, calcule o valor de $x$ e o comprimento total do primeiro tirante.

Calcule o valor da incógnita $x$ na figura seguinte, sabendo que os segmentos horizontais são paralelos entre si.

Duas retas secantes, $r$ e $s$, são cortadas por três retas paralelas ($a$, $b$ e $c$). Na reta $r$, estas paralelas determinam dois segmentos consecutivos: $AB = 3\text{ cm}$ e $BC = 5\text{ cm}$. Na reta $s$, os segmentos homólogos correspondentes são $A'B' = 4,5\text{ cm}$ e $B'C' = x$.

Para calcular o valor de $x$, o Marcos escreveu no seu caderno a seguinte igualdade:

e, depois de isolar a incógnita, obteve $x = 2,7\text{ cm}$.

1. a) Aponta qual foi o erro de raciocínio do Marcos ao emparelhar os segmentos na proporção.
2. b) Sem fazeres cálculos numéricos ainda, argumenta por que razão um resultado de $2,7\text{ cm}$ contradiz a lógica geométrica do Teorema de Tales, prestando atenção às medidas de $AB$ e $BC$.
3. c) Escreve a proporção correta, resolve-a passo a passo e determina a medida real do segmento $B'C'$.

Numa estante de design, três suportes metálicos paralelos entre si são cortados por duas prateleiras de madeira. A prateleira superior fica dividida pelos suportes em dois troços consecutivos de $25$ cm e $x$. A prateleira inferior fica dividida em dois troços correspondentes de $y$ e $48$ cm. Sabendo que a prateleira superior mede no total $65$ cm, calcula a medida dos troços assinalados com $x$ e $y$.

Um carpinteiro está a construir uma estante e quer verificar se as duas prateleiras são paralelas. Para isso, mede as distâncias nos suportes laterais. No lado esquerdo, a distância entre o chão e a primeira prateleira é de $30\text{ cm}$, e entre a primeira e a segunda há $40\text{ cm}$. No lado direito, a distância até ao chão é de $45\text{ cm}$ e entre as prateleiras há $60\text{ cm}$. As prateleiras são paralelas? Justifica a tua resposta utilizando a proporção do Teorema de Tales.

Verifique se as retas $r$ e $s$ da figura a seguir são paralelas. Para isso, verifique se se cumpre a relação de proporcionalidade entre os segmentos que elas determinam sobre as retas secantes que as cortam. Justifique a sua resposta com os cálculos necessários.

Calcule o valor dos segmentos $y$ e $z$ na seguinte configuração de retas paralelas cortadas por secantes. Sabe-se que a relação entre os segmentos superiores é $x / 2 = 5 / 4$. Utilize os dados fornecidos na imagem para escrever as proporções necessárias com base no Teorema de Tales.

Dois triângulos estão em posição de Tales. O triângulo pequeno tem lados que medem $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$. Se o lado correspondente ao de $3\text{ cm}$ no triângulo grande mede $9\text{ cm}$, quanto medirão os outros dois lados do triângulo maior?

Um jovem designer gráfico está a criar um logótipo que inclui dois triângulos em posição de Tales. Sabendo que o segmento $DE$ é paralelo a $BC$, calcule os comprimentos dos segmentos $AD$ e $BC$ sabendo que $AB = 12$ cm, $AE = 5$ cm, $AC = 15$ cm e $DE = 3$ cm.

Num teste escrito propõe-se o seguinte problema: «Num triângulo $ABC$, o lado $AB$ mede $15\text{ cm}$. Traça-se um segmento interior $DE$ paralelo ao lado $BC$ (com $D$ em $AB$ e $E$ em $AC$), de tal forma que $AD = 6\text{ cm}$ e a base $BC = 20\text{ cm}$. Calcula o comprimento do segmento paralelo $DE$».

Dois alunos discutem sobre a forma correta de o resolver:

• A Elena afirma: «Pelo Teorema de Tales, os segmentos são proporcionais. Como o segmento inferior é $DB = 15 - 6 = 9\text{ cm}$, a proporção é $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$, ou seja, $\frac{6}{9} = \frac{DE}{20}$, o que dá $DE \approx 13,33\text{ cm}$».

• O Tomás contesta: «A tua fórmula está errada porque os lados paralelos pertencem a triângulos completos, não a segmentos cortados numa transversal. A proporção correta é $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$, ou seja, $\frac{6}{15} = \frac{DE}{20}$, o que dá $DE = 8\text{ cm}$».

1. a) Justifica de forma rigorosa quem tem razão e explica com precisão o erro concetual da pessoa equivocada ao confundir os segmentos das transversais com as bases paralelas.
2. b) Para defender a Elena, um terceiro aluno diz: «A fórmula da Elena funciona se $D$ for colocado exatamente no ponto médio de $AB$». Verifica o que aconteceria com a fórmula da Elena se $AD = 7,5\text{ cm}$ e $DB = 7,5\text{ cm}$, calcula o valor previsto por ela e argumenta por que razão esse resultado demonstra geometricamente que a fórmula continua a ser um disparate.
3. c) Se definirmos a razão de semelhança como $r = \frac{AD}{AB}$, escreve a relação geral correta que permite calcular o comprimento do segmento $DE$ a partir da base $BC$ e de $r$.

Uma escada de mão de $2,4$ metros de comprimento está apoiada numa parede. Os degraus são paralelos ao chão. O primeiro degrau está a $30$ cm do chão seguindo a inclinação da escada, e o segundo a outros $30$ cm do primeiro. Se a distância horizontal desde a base da escada até à parede é de $1,2$ metros, qual é a distância horizontal desde a base até à vertical do segundo degrau?

Projeta-se conceber uma estrutura triangular $ABC$ de reforço para uma grua, onde a base horizontal $BC$ mede $120\text{ cm}$ e o lado inclinado $AB$ mede $90\text{ cm}$. Deve soldar-se um tirante de aço horizontal $DE$, paralelo à base $BC$, com o ponto $D$ situado sobre o lado $AB$ e o ponto $E$ sobre o lado $AC$.

1. a) Se for necessário que o comprimento do tirante $DE$ seja exatamente de $40\text{ cm}$, a que distância do vértice $A$ deve ser soldado o ponto $D$ ao longo do lado $AB$?
2. b) Se se decidir modificar o projeto para que o tirante $DE$ divida o lado $AB$ de modo que o segmento superior $AD$ meça exatamente o dobro do segmento inferior $DB$, quanto medirá o comprimento da barra $DE$ neste novo caso?
3. c) Deduz uma fórmula algébrica que expresse o comprimento da barra horizontal $DE$ (à qual chamaremos $y$) em função da distância $AD$ (à qual chamaremos $x$), e indica entre que valores faz sentido geométrico que $x$ varie.

Um carpinteiro está a construir uma estante de design com forma de triângulo retângulo. Colocou duas prateleiras horizontais paralelas à base. A base da estante mede $1,2$ metros. A primeira prateleira está situada a uma altura de $40$ cm em relação à base e mede $90$ cm de comprimento. A segunda prateleira mede $60$ cm de comprimento. A que altura em relação à base se encontra a segunda prateleira? Qual é a altura total da estante? (Expressa todos os resultados em centímetros).

Desenhe um segmento $AB$ que meça $10\text{ cm}$ no seu caderno. Utilizando o método do Teorema de Tales, divida-o exatamente em $4$ partes iguais. Descreva brevemente os passos seguidos (traçado da semirreta auxiliar, divisões iguais e união das extremidades).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Divida um segmento de $7\text{ cm}$ em duas partes tais que a sua razão seja $2$ para $3$. Para isso, utilize uma semirreta auxiliar e marque $5$ divisões iguais ($2+3$). Quanto mede cada um dos dois novos segmentos obtidos sobre o original?

Divida graficamente um segmento $AB$ de $9$ cm de comprimento em três partes que sejam proporcionais aos números $2$, $3$ e $4$. Explique brevemente os passos realizados com base no Teorema de Tales.

Determine a quarta proporcional de três segmentos cujos comprimentos são $a = 8$ cm, $b = 12$ cm e $c = 10$ cm. Realize tanto o cálculo numérico como a construção geométrica, utilizando o Teorema de Tales sobre duas semirretas concorrentes.

Um jovem de $1,5\text{ metros}$ de altura projeta uma sombra de $1\text{ metro}$ de comprimento. Nesse mesmo instante, a sombra de um poste de iluminação da rua mede $4\text{ metros}$. Qual é a altura do poste de iluminação? Desenha um esquema com dois triângulos retângulos para visualizares a situação.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num parque, uma árvore de $2\text{ metros}$ de altura projeta uma sombra de $3,5\text{ metros}$. A poucos metros há uma estátua cuja sombra mede exatamente $7\text{ metros}$. Qual é a altura da estátua? Utilize a semelhança de triângulos estabelecida pelo Teorema de Tales.

No recreio da tua escola, às $12:00$, cravas verticalmente no chão uma régua de $1\text{ m}$ de altura e observas que a sua sombra mede exatamente $0,5\text{ m}$. Mesmo ao lado, um candeeiro projeta nesse mesmo instante uma sombra de $2,6\text{ m}$.

1. a) Sem fazeres contas com lápis e papel, estima de forma fundamentada se o candeeiro medirá mais ou menos de $5\text{ m}$, explicando a tua dedução a partir da relação entre a altura da régua e a sua sombra.
2. b) Aplica o Teorema de Tales para calcular com exatidão a altura real do candeeiro.
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa prévia e explica por que razão o resultado é coerente.

Para medir a altura de um cesto de basquetebol, um aluno do 8.º ano coloca uma estaca vertical de $1,5$ metros de altura de forma que a extremidade da sua sombra coincide exatamente com a extremidade da sombra do cesto. Se a sombra da estaca mede $2,1$ metros e a distância da base da estaca até à base do cesto é de $2,2$ metros, qual é a altura do cesto?

Para melhorar o conforto térmico de um centro de saúde, a Câmara Municipal encarrega a instalação de uma pérgula inclinada com painéis solares. A viga mestra inclinada mede $6\text{ m}$ de comprimento e fica apoiada desde o chão até à parte superior de um muro vertical de $2,4\text{ m}$ de altura. Para reforçar a estrutura metálica, colocam-se dois pilares verticais auxiliares (paralelos ao muro):

• O primeiro pilar é colocado a $1,5\text{ m}$ do apoio no chão (medidos sobre a viga inclinada).

• O segundo pilar é colocado a $4\text{ m}$ desse apoio (medidos também sobre a viga).

1. a) Modela a situação identificando os triângulos em posição de Tales e justifica por que razão os dois pilares e o muro cumprem as condições do teorema.
2. b) Calcula a altura exata que deve ter cada um dos dois pilares verticais de reforço.
3. c) Se o regulamento municipal de acessibilidade exigir que a altura livre de passagem sob qualquer ponto transitável da estrutura seja de, pelo menos, $1,5\text{ m}$, determina fundamentadamente se uma pessoa adulta que caminhe ereta pode passar por baixo do primeiro pilar.

Dois edifícios situados na mesma rua projetam sombras que se sobrepõem num dado momento do dia. O edifício A tem uma altura de $18$ metros e projeta uma sombra de $12$ metros. O edifício B está situado atrás, de modo que a sua sombra termina exatamente no mesmo ponto que a do edifício A. Se a distância entre a base do edifício A e o final da sua sombra é de $12$ metros, e a distância entre os dois edifícios é de $10$ metros, calcule a altura do edifício B.

Um artista urbano quer projetar a sombra de uma escultura vertical de $2,5$ metros de altura sobre uma parede que está a uma distância determinada. Para isso, coloca um foco de luz no chão a $6$ metros da escultura. Se a sombra projetada na parede mede exatamente $4$ metros de altura, a que distância se encontra a parede do foco de luz? Se o artista aproximar o foco $2$ metros da escultura, quanto medirá a nova sombra?

Num parque de aventuras, um cabo de tirolesa une a parte superior de duas torres verticais. Uma barra de segurança de $3$ metros de altura é colocada perpendicularmente ao chão, de forma que toca exatamente o cabo da tirolesa. Se a distância da base da torre pequena até à barra é de $12$ metros e a distância da barra até à ancoragem do cabo no chão é de $8$ metros, calcule a altura da torre pequena. Se a torre grande está a $30$ metros da ancoragem no chão, qual é a sua altura?

Para medir a profundidade de um poço circular de $2$ metros de diâmetro, uma pessoa de $1,70$ metros de altura posiciona-se a $1,2$ metros da borda do poço. A partir dessa posição, os seus olhos (situados a $1,60$ metros do chão) veem alinhados a borda do poço com a extremidade inferior da parede oposta. Desenhe um esquema da situação e calcule a profundidade do poço utilizando o Teorema de Tales.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.