Monómios e operações com monómios

No mundo da álgebra, nem todas as expressões são «monómios». Lembra-te de que um monómio é o produto de um número por uma letra (ou várias) com expoentes naturais. Indica quais das seguintes expressões são monómios e quais não são. Em caso negativo, explica o motivo:

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Copia a seguinte tabela para o teu caderno e completa os elementos que faltam para cada monómio. Tem cuidado com os sinais e os expoentes invisíveis!

Dois monómios são "semelhantes" se têm exatamente a mesma parte literal. Na lista seguinte, há três pares de monómios semelhantes escondidos. Encontra-os e agrupa-os!

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Num videojogo de estratégia, os recursos são armazenados por meio de expressões algébricas. Completa a seguinte tabela para que o programador possa organizar o inventário corretamente:

Simplifique estas expressões somando ou subtraindo os monómios que forem semelhantes. Se não for possível simplificar, indique o motivo:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

Num videojogo de aventura, a tua personagem recolhe gemas de energia. As gemas vermelhas valem $x$ pontos cada uma. Se durante a primeira fase conseguires $5x$ gemas, na segunda encontrares outras $8x$ e na terceira perderes $3x$ por causa de um feitiço, simplifica a expressão para saberes quantas gemas tens no final.

A Beatriz está a rever as operações com monómios e no seu caderno deixou escritas estas duas afirmações:

1) $4x^3 + 5x^3 = 9x^6$

2) $2a + 3b = 5ab$

Identifica o erro conceptual que a Beatriz cometeu em cada uma das duas operações. Explica, apoiando-te na propriedade distributiva e na definição de monómios semelhantes, por que razão os seus raciocínios são errados. Por último, escreve as respostas corrigidas para ambos os casos.

Estás a organizar os ficheiros do teu computador. Para poupar espaço, só podes somar ou subtrair aqueles "ficheiros" (monómios) que forem semelhantes. Reduz a seguinte expressão ao máximo:

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

Na loja de banda desenhada, $x$ representa uma quantidade de mangas. Se o Tomás comprar o triplo do quadrado dessa quantidade e depois lhe descontarem o dobro do quadrado dessa quantidade, que monómio representa a quantidade final de mangas que pagou? Escreve a operação e simplifica.

Deseja-se cercar com uma fita LED uma estante com uma forma poligonal especial. Calcule o monómio que representa o perímetro total da figura somando os seus lados:

Para organizar uma festa, compras pacotes de refrigerante. Cada pacote contém $6$ latas e o preço de uma lata é $y$ euros. Se comprares $4$ pacotes iguais, escreve o monómio que representa o custo total da compra.

Um agricultor tem uma horta retangular para plantar tomates. Ajude-o a calcular a expressão da área da horta multiplicando os seguintes monómios:

Realize as seguintes multiplicações de monómios, lembrando que se multiplicam os coeficientes entre si e se somam os expoentes das letras iguais:

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

Queremos descobrir a identidade de um monómio desconhecido, ao qual chamaremos $M$, do qual conhecemos as seguintes pistas:

1) O seu coeficiente é um número inteiro negativo estritamente maior do que $-5$.

2) A sua parte literal é formada pelas letras $x$ e $y$, ambas com expoente maior ou igual a $1$.

3) Ao multiplicar o monómio desconhecido $M$ pelo monómio $3x^2y$, obtém-se um monómio de coeficiente $-12$ e grau total $6$.

Deduz e justifica fundamentadamente o coeficiente e os possíveis valores dos expoentes de $M$. Escreve pelo menos um monómio que cumpra exatamente todas as condições e, de seguida, propõe outro monómio diferente que seja semelhante a ele.

Um servidor de streaming divide um pacote de dados de tamanho $24x^6$ entre $4x^2$ utilizadores. Escreva o monómio que representa a quantidade de dados que cada utilizador recebe.

Simplifique as seguintes divisões de monómios:

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Inventa dois monómios, $M_1$ e $M_2$, que satisfaçam todas estas condições ao mesmo tempo:

1. Ambos devem ter como parte literal $a^2b$.

2. A sua soma deve ser um monómio cujo coeficiente seja $-10$.

3. Ao dividir $M_1$ por $M_2$, o resultado deve ser o número $4$.

Escreve os dois monómios e verifica se satisfazem as condições.

Um "Monómio Misterioso" perdeu algumas das suas partes depois de passar por uma máquina de operações. A tua missão é reconstruir a igualdade original encontrando o monómio que falta em cada caso (representado pelo sinal $?$):

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

Aplique a propriedade distributiva para eliminar os parênteses e reduza os termos semelhantes na seguinte expressão:

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Determine a expressão da área do seguinte retângulo na forma de monómio. Lembre-se de que a área é calculada multiplicando a base pela altura ($A = b \cdot h$).

Propomos-te analisar a seguinte operação combinada entre monómios:

1. a) Estima sem calcular: Antes de realizares as operações numéricas passo a passo, raciocina qual deve ser o grau do monómio resultante do primeiro bloco (a fração algébrica) e que sinal terá o seu coeficiente. A partir daí, deduz se será possível ou não subtrair-lhe o termo $- 5x^4$.
2. b) Verifica calculando: Resolve a expressão passo a passo respeitando a prioridade das operações: primeiro multiplica os monómios do numerador, divide depois pelo denominador e, por último, efetua a subtração de termos semelhantes.
3. c) Avalia: Compara o resultado final com as tuas previsões da alínea a). O grau e o sinal coincidiram com o que tinhas raciocinado previamente? Justifica por que razão o resultado final é um monómio e não uma expressão irredutível de dois termos.

Um artista urbano está a projetar um mural com formas geométricas entrelaçadas. O desenho central consiste num grande retângulo de base $5x^2$ e altura $3y$. Dentro desse retângulo, o artista deixa um espaço sem pintar em forma de triângulo cuja base mede $2x^2$ e a altura é de $y$. Escreva o monómio simplificado que represente a área que finalmente será pintada de colorido.

Simplifique a seguinte expressão combinada, prestando muita atenção à ordem das operações e às propriedades das potências:

Explique passo a passo como reduziu cada termo antes de realizar a soma e a subtração final. Qual é o grau do polinómio resultante antes da simplificação total?