Experiências e frequências
A Leonor lança duas moedas de 1 € ao ar, 100 vezes. Será que sai «uma cara e uma coroa» tantas vezes como «duas caras»? E se numa série de lançamentos um resultado nunca aparecer, quer isso dizer que ele não pode acontecer? Vamos descobrir.
Frequência relativa e probabilidade
Quando repetimos uma experiência aleatória muitas vezes, registamos quantas vezes sai cada resultado. Esse número é a frequência absoluta. Dividindo-a pelo número total de repetições, obtemos a frequência relativa.
A frequência relativa depende da experiência que foi feita: se a repetirmos, os valores mudam. A probabilidade teórica, calculada a partir do espaço de resultados, não muda. Quando o número de repetições é grande, as frequências relativas tendem a aproximar-se da probabilidade teórica.
O Tomás retirou, 200 vezes e sempre com reposição, uma carta de um baralho de 40 cartas (10 cartas de cada naipe: copas, espadas, ouros e paus) e registou o naipe: |…
O Tomás retirou, 200 vezes e sempre com reposição, uma carta de um baralho de 40 cartas (10 cartas de cada naipe: copas, espadas, ouros e paus) e registou o naipe:
| Naipe | Copas | Espadas | Ouros | Paus |
|---|---|---|---|---|
| Frequência absoluta | 46 | 55 | 48 | 51 |
- a) Calcula a frequência relativa de cada naipe.
- b) Qual é a probabilidade teórica de sair cada naipe numa única extração?
- c) Se o Tomás repetir a experiência 1 000 vezes, quantas cartas de espadas espera obter, aproximadamente? Justifica.
Experiências com dois passos
Para calcular a probabilidade teórica quando a experiência tem dois passos (duas moedas, dois dados…), constrói-se uma tabela de dupla entrada com todos os resultados possíveis.
Repara que «uma cara e uma coroa» é duas vezes mais provável do que «duas caras»: há duas maneiras de o obter.
Também podes organizar os resultados num diagrama em árvore: da 1.ª moeda saem dois ramos (C e K) e de cada um saem outros dois ramos, da 2.ª moeda. Os quatro caminhos, (C, C), (C, K), (K, C) e (K, K), são os resultados e cada um tem probabilidade $\frac{1}{4}$.
A Leonor lançou duas moedas de 1 €, simultaneamente, 100 vezes, e registou os resultados: | Resultado | Duas caras | Uma cara e uma coroa | Duas coroas |…
A Leonor lançou duas moedas de 1 €, simultaneamente, 100 vezes, e registou os resultados:
| Resultado | Duas caras | Uma cara e uma coroa | Duas coroas |
|---|---|---|---|
| Frequência absoluta | 22 | 54 | 24 |
- a) Calcula a frequência relativa de cada resultado.
- b) Usando uma tabela de dupla entrada, determina a probabilidade teórica de cada um dos três resultados.
- c) Compara as frequências relativas com as probabilidades teóricas e comenta.
Dois dados e a soma dos pontos
Ao lançar dois dados cúbicos há $6\times 6=36$ pares equiprováveis. Na tabela seguinte está a soma dos pontos de cada par.
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Dividir «casos favoráveis» por «casos possíveis» é correto porque cada resultado tem a mesma probabilidade: somar $\frac{1}{36}$ tantas vezes quantos os casos favoráveis dá precisamente esse quociente. Só se pode usar quando os resultados são equiprováveis.
Considera a experiência «lançar dois dados cúbicos e adicionar os pontos», cujo espaço de resultados é formado por 36 pares equiprováveis. a) Calcula a probabilidade de…
Considera a experiência «lançar dois dados cúbicos e adicionar os pontos», cujo espaço de resultados é formado por 36 pares equiprováveis.
- a) Calcula a probabilidade de a soma ser 7.
- b) Calcula a probabilidade de a soma ser 12.
- c) Calcula a probabilidade de a soma ser maior do que 9.
Improvável não é impossível
Um acontecimento impossível tem probabilidade $0$: nunca acontece. Um acontecimento improvável tem probabilidade pequena, mas maior do que $0$: pode acontecer, só que raramente.
Se $P(A)=\dfrac{1}{12}$, esperamos que $A$ ocorra em cerca de $\dfrac{1}{12}$ das repetições. Em $n$ repetições, o número esperado de vezes é aproximadamente $n\times P(A)$.
Vamos fechar o gancho do início: se «uma cara e uma coroa» tem probabilidade $\frac{1}{2}$ e «duas caras» só $\frac{1}{4}$, é natural que a Leonor veja o primeiro cerca de duas vezes mais.
A Marta lançou uma moeda e um dado 10 vezes seguidas e nunca obteve o resultado (cara, 6). Concluiu: «É impossível sair cara e 6 ao mesmo tempo.» a) Quantos resultados…
A Marta lançou uma moeda e um dado 10 vezes seguidas e nunca obteve o resultado (cara, 6). Concluiu: «É impossível sair cara e 6 ao mesmo tempo.»
- a) Quantos resultados tem o espaço de resultados da experiência «lançar uma moeda e um dado»?
- b) Calcula a probabilidade teórica do acontecimento «sair cara e 6».
- c) Em 120 lançamentos, quantas vezes se espera que saia (cara, 6)?
- d) Explica por que razão a conclusão da Marta está errada, relacionando a improbabilidade de um acontecimento com a sua impossibilidade.
Em resumo
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Frequência relativa = frequência absoluta ÷ número de repetições; depende da experiência feita.
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Com muitas repetições, a frequência relativa aproxima-se da probabilidade teórica.
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Numa tabela de dupla entrada listam-se todos os resultados de duas etapas.
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A probabilidade de um acontecimento é a soma das probabilidades dos resultados que o compõem; com equiprováveis, é casos favoráveis ÷ casos possíveis.
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Número esperado de ocorrências em $n$ repetições: $n\times P$.
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Improvável ($P$ pequena) não é impossível ($P=0$).