Exercícios: Teorema de Pitágoras

Num treino de futebol, um jogador corre em linha reta de um canto do campo até ao canto oposto. Se o campo mede $80$ metros de comprimento e $60$ metros de largura, que distância percorre o jogador na sua corrida diagonal?

Uma escada dupla aberta tem uma altura vertical de $2,4$ metros. Se a distância entre os pés apoiados no chão é de $1,4$ metros, quanto mede cada um dos braços da escada? Dica: Nota que a altura divide a escada em dois triângulos retângulos iguais.

Verifique se um triângulo cujos lados medem $7$ cm, $10$ cm e $12$ cm é um triângulo retângulo. Para isso, verifique se a igualdade do Teorema de Pitágoras é satisfeita entre os seus lados.

Queremos colocar um cabo do ponto mais alto de uma antena de telecomunicações de $12$ metros de altura até um ponto de ancoragem situado no chão, a $9$ metros da base da antena. Que comprimento deve ter o cabo para ficar totalmente esticado?

Encontra o comprimento do lado desconhecido ($c$) no seguinte triângulo retângulo, sabendo que a hipotenusa mede $13$ cm e um dos catetos mede $5$ cm.

Os ecrãs de televisão são medidos pela sua diagonal em polegadas. Se uma televisão tem uma largura de $32$ cm e uma altura de $24$ cm, quantos centímetros mede a sua diagonal?

Calcule o perímetro de um losango cujas diagonais medem $16$ cm e $12$ cm. Lembre-se de que as diagonais de um losango são perpendiculares e cruzam-se no seu ponto médio, formando quatro triângulos retângulos.

Um farol projeta uma luz que chega até um barco. O farol tem uma altura de $30$ metros e o barco encontra-se a uma distância horizontal de $40$ metros da base do farol. Qual é a distância direta entre a lâmpada do farol e o barco?

Para calcular o comprimento da diagonal de um ecrã retangular de televisão que mede $40\text{ cm}$ de largura e $30\text{ cm}$ de altura, a Maria escreve no seu caderno o seguinte procedimento:

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Explica detalhadamente que erro algébrico cometeu a Maria com a raiz quadrada e por que razão a raiz de uma soma não se pode separar na soma das raízes.
2. b) Sem realizar ainda o cálculo correto, raciocina geometricamente por que razão um resultado de $70\text{ cm}$ é impossível para essa diagonal (lembra-te da desigualdade triangular: o comprimento de qualquer lado de um triângulo deve ser menor do que a soma dos outros dois).
3. c) Corrige o procedimento da Maria e determina a medida real da diagonal desse ecrã.

Um campo desportivo escolar de basquetebol tem dimensões oficiais de $28\text{ m}$ de comprimento por $15\text{ m}$ de largura. O professor de Educação Física pede aos seus alunos que corram em linha reta desde um canto até ao canto diagonalmente oposto.

1. a) Antes de fazeres qualquer operação com raízes, realiza uma estimativa fundamentada: justifica por que razão a distância diagonal percorrida deve ser obrigatoriamente maior do que $28\text{ m}$ e menor do que $43\text{ m}$. Entre que dois números inteiros achas que se encontrará o resultado?
2. b) Aplica o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento exato da diagonal, arredondando o resultado às centésimas de metro.
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa prévia e avalia criticamente se o resultado obtido faz sentido prático num campo desportivo.

Para fixar uma rede de voleibol no pátio da escola, foi colocado um cabo esticador desde a parte superior de um poste até uma ancoragem no chão. O poste tem uma altura de $2,4$ metros e a distância da base do poste até à ancoragem é de $1,8$ metros. Se quisermos colocar um cabo idêntico noutro poste que é uma ampliação em escala $k = 1,5$ do primeiro, quanto medirá o novo cabo esticador?

Um ecrã de smartphone de formato retangular tem uma altura de $12\text{ cm}$ e uma largura de $5\text{ cm}$. Um tablet é semelhante ao smartphone e o seu lado menor mede $15\text{ cm}$. Calcule primeiro a diagonal do smartphone usando o Teorema de Pitágoras e, depois, utilize a razão de semelhança para encontrar a diagonal do tablet.

Um carpinteiro está a projetar duas prateleiras triangulares semelhantes para os cantos de um quarto. A prateleira pequena tem dois lados (catetos) de $30\text{ cm}$ e $40\text{ cm}$. A prateleira grande tem um perímetro de $240\text{ cm}$. Quanto mede o lado mais longo (hipotenusa) da prateleira grande?

Num parque há uma rampa de skate que, vista de perfil, forma um triângulo retângulo. A base da rampa mede $4\text{ metros}$ e a altura máxima é de $3\text{ metros}$. A uma distância de $1,6\text{ metros}$ da base, foi colocado um suporte vertical de reforço.

• a) Calcule o comprimento total da rampa (a parte inclinada).

• b) Usando a semelhança de triângulos, calcule a altura do suporte vertical.

Um jardim tem a forma de um triângulo isósceles. Os seus dois lados iguais medem $13\text{ metros}$ e o lado diferente (a base) mede $10\text{ metros}$. Queremos construir uma maqueta deste jardim que seja uma redução e cuja base na maqueta seja de $20\text{ cm}$. Calcule:

• a) A altura real do jardim.

• b) A área que a maqueta ocupará em $\text{cm}^2$.

Dois edifícios projetam a sua sombra na mesma hora do dia. O edifício A tem uma altura de $15\text{ metros}$ e a sua sombra mede $12\text{ metros}$. O edifício B está ao lado dele e projeta uma sombra de $20\text{ metros}$.

• a) Qual é a altura do edifício B?

• b) Se unirmos o ponto mais alto de cada edifício à extremidade da sua sombra, formam-se dois triângulos retângulos. Calcula o comprimento dessas linhas imaginárias (hipotenusas) para ambos os edifícios.

Calcule a área de um hexágono regular de lado $8\text{ cm}$. Lembre-se de que um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Deverá usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o apótema do hexágono antes de calcular a sua área total.

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos que medem $9\text{ cm}$ e $16\text{ cm}$.

• a) Calcule a altura do triângulo usando o Teorema da Altura ($h^2 = m \cdot n$, onde $m$ e $n$ são os dois segmentos da hipotenusa).

• b) Uma vez encontrada a altura, utilize o Teorema de Pitágoras para calcular quanto medem os dois catetos do triângulo original.

Uma oficina de carpintaria precisa de desenhar uma peça de união que tenha a forma de um triângulo retângulo e cuja hipotenusa meça exatamente $\sqrt{65}\text{ dm}$.

1. a) Encontra dois pares distintos de números inteiros positivos $(a, b)$ que possam ser os comprimentos dos catetos em decímetros. Demonstra algebricamente, através do Teorema de Pitágoras, que ambos os pares dão como resultado exato a hipotenusa pretendida.
2. b) Se a oficina decidisse que a peça deveria ser, além de retângulo, um triângulo isósceles (com ambos os catetos iguais) conservando a hipotenusa de $\sqrt{65}\text{ dm}$, formula uma equação e deduz quanto deveria medir exatamente cada um dos catetos. Podem medir um número inteiro de decímetros neste segundo caso? Justifica a tua resposta.

Durante as tarefas de vigilância de incêndios na Serra da Estrela, um posto de vigia florestal da Autoridade Florestal Nacional encontra-se situado a uma altitude de $1900\text{ m}$. O vigilante deteta uma coluna de fumo cuja posição no mapa cartográfico se localiza a $1200\text{ m}$ para este e $900\text{ m}$ para norte da torre, mas numa depressão situada a uma cota mais baixa, a $1100\text{ m}$ de altitude.

1. a) Modela a situação no plano horizontal e calcula a distância em linha reta sobre o mapa (distância horizontal) que separa o posto de vigia da coluna de fumo.
2. b) Modela a situação em três dimensões tendo em conta a diferença de altitude entre a torre e o fogo. Calcula a distância real e direta que percorreria um drone de reconhecimento em linha reta no espaço desde o posto de vigia até ao foco de incêndio.

Um serviço de entregas utiliza caixas de cartão com formato de paralelepípedo retângulo (prisma retangular). Uma das suas caixas maiores tem dimensões de $60\text{ cm}$ de comprimento, $45\text{ cm}$ de largura e $30\text{ cm}$ de altura. Um cliente precisa de enviar um tubo rígido que mede exatamente $82\text{ cm}$.

Utilize o Teorema de Pitágoras para determinar se o tubo cabe dentro da caixa (colocando-o na diagonal, unindo dois vértices opostos do espaço interior) e justifique a sua resposta com os cálculos necessários.

Um arquiteto projetou um vitral com formato de triângulo isósceles cuja base mede $12\text{ m}$ e cujos lados iguais medem $10\text{ m}$ cada um. Por motivos de iluminação, precisa de colocar uma travessa horizontal exatamente a meio da altura do triângulo.

Calcule primeiro a altura total do vitral usando o Teorema de Pitágoras e, posteriormente, utilize a semelhança de triângulos para determinar o comprimento da travessa horizontal.

Uma empresa de publicidade criou uma lona em formato de losango para cobrir a fachada de um edifício. As diagonais do losango medem $16\text{ m}$ e $12\text{ m}$. A empresa quer fabricar uma réplica à escala para um escritório cuja razão de semelhança em relação à original é $k = 0,25$.

Calcule o perímetro da lona original (usando o Teorema de Pitágoras para encontrar o lado) e, a partir desse dado, determine o perímetro e a área da réplica pequena sem necessidade de calcular os seus lados um a um.

Um drone está a sobrevoar um terreno plano a uma altura de $120\text{ m}$. Em determinado momento, a sua câmara deteta a parte superior de uma torre de controlo. Os sensores indicam que a distância em linha reta (diagonal) do drone até ao topo da torre é de $150\text{ m}$. Sabendo que a sombra da torre nesse mesmo instante mede $18\text{ m}$, calcula:

1. A distância horizontal no solo do drone até à vertical da torre.

2. A altura da torre de controlo utilizando a semelhança entre a torre e a sua sombra, sabendo que os raios solares incidem com um ângulo que faz com que um poste de $2\text{ m}$ projete uma sombra de $1,2\text{ m}$.

Um jardim tem a forma de um hexágono regular de $8\text{ m}$ de lado. Pretende-se instalar um sistema de rega circular que cubra exatamente até aos pontos médios de cada lado (ou seja, o círculo inscrito no hexágono).

1. Calcule o raio desse círculo (apótema do hexágono) utilizando o Teorema de Pitágoras.

2. Se uma planta do jardim foi feita à escala $1:200$, qual será a área do hexágono na planta em $\text{cm}^2$?

Dois edifícios verticais estão separados por uma distância de $16\text{ m}$. O edifício A mede $24\text{ m}$ de altura e o edifício B mede $36\text{ m}$. Pretende-se esticar um cabo de fibra ótica que vá do topo do edifício A até ao topo do edifício B.

1. Qual é o comprimento mínimo que o cabo deve ter?

2. Se um técnico se posicionar no cabo a uma distância horizontal de $4\text{ m}$ do edifício A, a que altura do solo estará nesse ponto? (Utiliza semelhança de triângulos).

Tem-se uma pirâmide quadrangular regular cuja base é um quadrado de $10\text{ cm}$ de lado. A altura da pirâmide (do centro da base ao vértice superior) é de $12\text{ cm}$.

1. Calcule a altura de uma face lateral (apótema da pirâmide) usando Pitágoras.

2. Se construirmos uma pirâmide semelhante menor com uma razão de semelhança $k = 0,5$, calcule o volume da pirâmide pequena sabendo que o volume da original é $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área da base} \cdot \text{Altura}$.

Num parque, um baloiço é formado por dois postes metálicos que se cruzam formando um "X". As bases dos postes estão separadas por $3\text{ m}$ no chão. Os postes medem $5\text{ m}$ cada um, estão inclinados simetricamente (formam o mesmo ângulo com o chão) e cruzam-se exatamente a uma altura de $2\text{ m}$ em relação ao chão.

Calcule a distância entre as extremidades superiores dos postes utilizando as propriedades da semelhança (triângulos em posição de Tales) e o Teorema de Pitágoras para encontrar as distâncias auxiliares necessárias.

Na maqueta de um parque infantil, uma rampa reta para trotinetes tem a forma de um triângulo retângulo com uma base de $12\text{ cm}$ e uma altura de $5\text{ cm}$. A rampa real construída no parque é uma ampliação semelhante à escala com razão de semelhança $k = 20$. Para determinar o comprimento do piso inclinado da rampa real (a hipotenusa), dois alunos propõem caminhos diferentes:

• Método do Marcos: Calcula primeiro a hipotenusa da maqueta usando o Teorema de Pitágoras e depois multiplica essa medida pela razão de semelhança $k = 20$.

• Método da Sara: Multiplica primeiro as duas dimensões da maqueta pela razão $k = 20$ para determinar a base e a altura reais do parque, e depois aplica o Teorema de Pitágoras sobre esses valores maiores.

1. a) Desenvolve por completo ambos os métodos passo a passo e verifica se ambos conduzem ao mesmo resultado numérico em metros.
2. b) Se tivesses de resolver este exercício num teste sem usar calculadora, qual dos dois métodos escolherias e porquê? Justifica a tua escolha analisando a dificuldade operatória dos cálculos envolvidos e apoiando-te nas propriedades da semelhança.

Os bombeiros de Lisboa dispõem de uma escada de salvamento com um comprimento fixo de $6,5\text{ m}$. Para aceder a uma varanda, apoiam a extremidade superior na fachada vertical de um edifício e a base sobre um passeio horizontal, a uma distância de $2,5\text{ m}$ da parede.

1. a) Modela a situação com um triângulo retângulo e calcula a que altura da fachada chega a extremidade superior da escada nessa posição inicial.
2. b) Para desobstruir uma ciclovia, os bombeiros aproximam a base da escada $0,9\text{ m}$ em direção à parede (ficando a $1,6\text{ m}$ dela). A extremidade superior subirá pela parede exatamente os mesmos $0,9\text{ m}$ que a base se deslocou para dentro? Formula uma hipótese justificada antes de calcular e, de seguida, calcula a nova altura alcançada para testar a tua hipótese.
3. c) Compara a variação horizontal da base com a variação vertical da altura e explica por que razão, devido à relação quadrática do Teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$), o deslocamento horizontal e o vertical não mantêm uma proporção constante e, em geral, não são iguais.