Problemas com acontecimentos compostos
A Matilde e o Tomás vão tirar à sorte quem lava a loiça: cada um tira um papel de um saco, um a seguir ao outro. Quantas combinações podem sair? E qual é a probabilidade de a Matilde tirar o primeiro papel e o Tomás o segundo? Para responder, primeiro tens de listar tudo o que pode acontecer, sem esquecer nada e sem repetir.
Experiências com duas etapas
Muitas experiências têm duas etapas: rodar duas roletas, lançar um dado e uma moeda, tirar duas bolas de um saco. O resultado é um par, por exemplo (vermelho, 2).
Para não falhar nenhum, organizamos os resultados numa tabela de dupla entrada ou num diagrama em árvore.
Exemplo: uma roleta tem as cores vermelho (V), azul (A) e verde (E), e outra tem os números 1 e 2. Todos os setores são iguais.
Há $3 \times 2 = 6$ resultados possíveis, todos com a mesma probabilidade: $\frac{1}{6}$.
Numa festa de anos há duas roletas. A roleta das cores tem três setores iguais: vermelho, azul e verde. A roleta dos números tem dois setores iguais: 1 e 2. O Salvador…
Numa festa de anos há duas roletas. A roleta das cores tem três setores iguais: vermelho, azul e verde. A roleta dos números tem dois setores iguais: 1 e 2. O Salvador roda as duas roletas e regista o resultado na forma (cor, número).
- a) Lista todos os resultados possíveis.
- b) Qual é a probabilidade de sair (vermelho, 2)?
- c) Qual é a probabilidade de sair a cor azul?
- d) Qual é a probabilidade de não sair a cor verde?
Sem reposição
Numa caixa há quatro cartões: A, B, C e D. A Beatriz tira um cartão e, sem o repor, tira outro. Como o primeiro cartão já não está na caixa, a segunda letra tem de ser diferente da primeira.
Na tabela, a diagonal fica vazia (não se pode sair duas vezes a mesma letra):
| 1.ª \ 2.ª | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| A | — | (A, B) | (A, C) | (A, D) |
| B | (B, A) | — | (B, C) | (B, D) |
| C | (C, A) | (C, B) | — | (C, D) |
| D | (D, A) | (D, B) | (D, C) | — |
Há $4 \times 3 = 12$ resultados possíveis (4 hipóteses para a primeira, 3 para a segunda). Com reposição seriam $4 \times 4 = 16$.
Numa caixa há quatro cartões com as letras A, B, C e D. A Beatriz retira um cartão ao acaso e, sem o repor, retira um segundo cartão, registando as letras por ordem de…
Numa caixa há quatro cartões com as letras A, B, C e D. A Beatriz retira um cartão ao acaso e, sem o repor, retira um segundo cartão, registando as letras por ordem de saída.
- a) Quantos resultados possíveis tem a experiência?
- b) Calcula a probabilidade de a primeira letra ser A.
- c) Calcula a probabilidade de saírem as letras A e B, por qualquer ordem.
- d) Calcula a probabilidade de não sair a letra D.
Escolher sem ordem
Por vezes a ordem não interessa. Num grupo estão a Ana (A), a Beatriz (B), a Carla (C), o Duarte (D) e o Eduardo (E), e a professora escolhe dois para apresentarem o trabalho. Escolher «Ana e Beatriz» é o mesmo que «Beatriz e Ana».
Lista os pares sem repetir:
AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE
São 10 pares. Se contasses a ordem seriam $5\times4=20$, o dobro: cada par contado duas vezes.
Num grupo de trabalho há três raparigas — a Ana, a Beatriz e a Carla — e dois rapazes — o Duarte e o Eduardo. A professora escolhe, ao acaso, dois elementos do grupo…
Num grupo de trabalho há três raparigas — a Ana, a Beatriz e a Carla — e dois rapazes — o Duarte e o Eduardo. A professora escolhe, ao acaso, dois elementos do grupo para apresentarem o trabalho.
- a) Lista todos os pares possíveis de apresentadores. Quantos são?
- b) Calcula a probabilidade de serem escolhidas duas raparigas.
- c) Calcula a probabilidade de ser escolhido um rapaz e uma rapariga.
- d) Calcula a probabilidade de serem escolhidos dois rapazes.
Tabelas com somas
O Gonçalo tira duas bolas de um saco com as bolas 1, 2, 3, 4 e 5, sem reposição, e regista os números por ordem de saída. Na tabela, cada célula mostra a soma:
| 1.ª \ 2.ª | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | — | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 3 | — | 5 | 6 | 7 |
| 3 | 4 | 5 | — | 7 | 8 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | — | 9 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | — |
Há 20 resultados possíveis. A tabela permite ver depressa qualquer acontecimento.
Num saco há cinco bolas numeradas de 1 a 5. O Gonçalo retira, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco, registando os números por ordem de saída. a) Quantos…
Num saco há cinco bolas numeradas de 1 a 5. O Gonçalo retira, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco, registando os números por ordem de saída.
- a) Quantos resultados possíveis tem a experiência? Organiza-os numa tabela de dupla entrada.
- b) Calcula a probabilidade de a primeira bola ter um número par.
- c) Calcula a probabilidade de a soma dos dois números ser ímpar.
- d) Calcula a probabilidade de as duas bolas terem números maiores do que 3.
De volta ao início: a Matilde e o Tomás tiram papéis sem reposição, por isso há $2\times1=2$ resultados e a probabilidade de a Matilde tirar o primeiro é $\frac{1}{2}$.
Em resumo
-
Lista os resultados com uma tabela de dupla entrada ou um diagrama em árvore, sem esquecer nem repetir.
-
Em duas etapas, o número de resultados é o produto: com reposição $n\times n$, sem reposição $n\times(n-1)$.
-
$P=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}$ quando os resultados são equiprováveis; é a soma das probabilidades dos resultados favoráveis.
-
Se a ordem não interessa, cada par aparece uma só vez.
-
«Não acontecer» tem probabilidade $1 - P$.