Proporcionalidade direta

Em matemática, dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra é multiplicada por esse mesmo número. Analisa as seguintes situações do dia a dia e indica quais são de proporcionalidade direta:

1. a) O número de seguidores de um streamer e a quantidade de gostos (likes) que ele recebe num vídeo (supondo que todos os seus seguidores gostam do vídeo).
2. b) A idade de uma pessoa e a sua altura em centímetros.
3. c) O número de caixas de pizza encomendadas e o preço total pago (se todas as pizzas custarem o mesmo).
4. d) A velocidade de um carro e o tempo que ele demora a chegar ao seu destino.
5. e) Os quilogramas de maçãs comprados e o dinheiro que custam.

No teu videojogo favorito, podes comprar "Gemas" para conseguir novos aspetos para a tua personagem. Sabemos que as gemas têm sempre o mesmo preço unitário. Completa a seguinte tabela de proporcionalidade no teu caderno para saberes quanto custam diferentes quantidades de gemas:

O Mateus acompanha o pai para comprar bilhetes para um festival de teatro escolar. Na bilheteira observam o cartaz: «$3$ bilhetes custam $21\text{ €}$». O Mateus precisa de calcular quanto custarão $5$ bilhetes para toda a sua família e raciocina da seguinte maneira: «Como $5$ bilhetes são mais $2$ bilhetes do que $3$, ao preço de $21\text{ €}$ só tenho de somar $2\text{ €}$. Portanto, os $5$ bilhetes custarão $23\text{ €}$».

1. a) Explica detalhadamente por que razão o raciocínio aditivo do Mateus é erróneo e o que significa realmente que o número de bilhetes e o preço sejam grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Corrige o cálculo utilizando o método de redução à unidade: encontra o preço de um bilhete e calcula o preço real que a família deve pagar pelos $5$ bilhetes.

Um pacote de cromos do campeonato de futebol contém $6$ cromos, e $3$ destes pacotes custam $3,60$ €. Se quisermos completar a caderneta e decidirmos comprar $8$ pacotes iguais, quanto dinheiro gastaremos no total? Utiliza o método de redução à unidade (calcula primeiro quanto custa um único pacote).

Para cozinhar panquecas para $4$ pessoas, são necessários exatamente $200$ gramas de farinha. Se neste fim de semana vierem convidados e o total for de $6$ pessoas, que quantidade de farinha será necessária para que as panquecas fiquem perfeitas? Lembra-te de que as quantidades da receita são diretamente proporcionais ao número de pessoas.

Um skater percorre uma pista a uma velocidade constante. Na primeira parte do circuito, percorreu $150$ metros em $30$ segundos. Se mantiver o mesmo ritmo durante todo o trajeto:

1. a) Que distância percorrerá em $1$ minuto ($60$ segundos)?
2. b) Qual é a sua constante de proporcionalidade (quantos metros percorre por cada segundo)?

Para celebrar o final do período, um grupo de amigos quer comprar "gemas" para o seu videojogo favorito. Viram que um pacote de $1200$ gemas custa $14,40\text{ €}$. Se um amigo tem poupados exatamente $21\text{ €}$, quantas gemas poderá comprar se a relação for diretamente proporcional?

Para cozinhar uma paella gigante para $12\text{ personas}$, o chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz e $3\text{ litros}$ de caldo. Se de repente mais pessoas confirmarem presença e agora forem $18$ no total, calcule pelo método de redução à unidade que quantidade de arroz e de caldo o chef precisará agora.

Observe a imagem seguinte, que representa duas balanças em equilíbrio. Na primeira balança, $3$ cubos azuis pesam exatamente $450$ gramas. Na segunda balança, queremos saber quanto pesam $5$ cubos iguais aos anteriores. Calcule o valor da incógnita $x$.

Determine o valor do termo desconhecido $x$ nas seguintes proporções para que a igualdade entre as razões seja satisfeita:

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

Na papelaria do bairro têm uma promoção de material escolar: um pacote com $3$ cadernos idênticos custa $5,40\text{ €}$. O teu grupo de trabalho precisa de comprar $7$ desses mesmos cadernos para um projeto da escola.

1. a) Antes de fazeres contas com lápis e papel, estima mentalmente se o preço total dos $7$ cadernos será maior ou menor do que $12\text{ €}$ e entre que dois números inteiros de euros se deverá situar. Explica como chegaste a essa estimativa.
2. b) Calcula o custo exato dos $7$ cadernos aplicando a redução à unidade (obtendo primeiro o preço de $1$ caderno).
3. c) Compara o valor numérico obtido com a tua estimativa prévia e raciocina se o teu resultado é coerente com o preço de partida.

Por $3$ bilhetes de cinema pagamos $25,50\ \text{€}$. Queremos comprar $7$ bilhetes para toda a turma. Resolva o problema das duas formas seguintes:

1. a) Por redução à unidade: calcule o preço de um bilhete e depois o de $7$.
2. b) Com uma regra de três simples: monte a proporção $\frac{3}{25,50} = \frac{7}{x}$ e isole $x$.
3. c) Os dois resultados coincidem? Qual método parece mais prático e porquê?

No laboratório de Ciências Naturais estão a estudar a perda de água por uma torneira avariada que pinga a um ritmo constante. Utilizando uma proveta graduada, medem que a cada $12\text{ minutos}$ se recolhem exatamente $0,36\text{ litros}$ de água.

1. a) Queres descobrir quanta água se recolherá após $36\text{ minutos}$. Compara dois caminhos possíveis: aplicar uma regra de três simples completa ou usar as propriedades da proporcionalidade direta (observando a relação multiplicativa direta entre $12$ e $36$). Justifica qual dos dois métodos é mais rápido e calcula o referido volume.
2. b) Agora precisas de calcular o volume recolhido num intervalo de $25\text{ minutos}$. O cálculo mental anterior continua a ser prático ou resulta melhor calcular previamente a constante de proporcionalidade (litros por minuto)? Justifica a tua escolha e calcula quantos litros se terão perdido nesses $25\text{ minutos}$.

Nos gráficos de proporcionalidade direta, a relação entre as duas grandezas é sempre representada por uma reta que passa pelo ponto $(0,0)$. Observa o gráfico seguinte que relaciona o número de canetas compradas e o seu custo total. Se $4$ canetas custam $6$ €, identifica o ponto no gráfico e calcula quanto custariam $10$ canetas.

Copie e complete a seguinte tabela de valores diretamente proporcionais que relaciona a quantidade de quilogramas de tinta com a superfície que se pode cobrir. Calcule também a constante de proporcionalidade $k$ expressa em $m^2/kg$.

O gráfico a seguir mostra a relação entre o tempo que uma fonte de água fica aberta e os litros que ela jorra. Observa o ponto marcado e determina quantos litros a fonte jorrará se for mantida aberta durante $15\text{ minutos}$.

O gráfico a seguir mostra a relação entre o tempo de carga de um novo modelo de smartphone e a percentagem de bateria recuperada. O fabricante afirma que a carga é diretamente proporcional durante os primeiros $40$ minutos.

1. a) Observando o ponto destacado, calcule quantos minutos o telemóvel demora a carregar $1\%$ de bateria.
2. b) Se o telemóvel tem atualmente $12\%$ de bateria e é necessário sair de casa daqui a $18$ minutos, com que percentagem de bateria sairá?

O serviço municipal de aluguer de bicicletas de uma cidade oferece duas modalidades de pagamento:

• Modalidade A (Sem passe): Não há quota fixa inicial; pagam-se $0,60\text{ €}$ por cada fração de meia hora de utilização.

• Modalidade B (Com passe anual): Paga-se uma quota fixa anual de $24\text{ €}$ e depois pagam-se $0,20\text{ €}$ por cada fração de meia hora de utilização.

1. a) Verifica se o montante total pago ao ano é diretamente proporcional ao tempo de utilização em cada uma das duas modalidades. Para o justificares, calcula o quociente (custo total / meias horas) para $1$, $2$ e $10$ meias horas em ambas as opções e analisa se se mantém constante.
2. b) Um ciclista com passe na Modalidade B afirma: «Se este ano utilizar a bicicleta o dobro do tempo do ano passado, o meu gasto anual duplicará exatamente». Demonstra com um contraexemplo numérico que a sua afirmação é falsa e explica que elemento da tarifa impede a proporcionalidade direta.
3. c) Uma pessoa calcula que utilizará o serviço exatamente $80$ meias horas durante o ano. Modela algebricamente o custo de ambas as tarifas para esse valor e determina qual lhe é mais económica, calculando a diferença de poupança em euros.

Num mapa da Serra da Estrela, a escala indica que $2\text{ cm}$ no papel representam $5\text{ km}$ na realidade. Se, para fazer uma caminhada entre duas aldeias, a distância medida no mapa é de $8,5\text{ cm}$, quantos quilómetros percorrerão os caminhantes na realidade?

Um carro híbrido consome uma média de $4,5\text{ litros}$ de combustível por cada $100\text{ km}$ percorridos. Se o depósito tem uma capacidade total de $54\text{ litros}$ e atualmente está cheio, qual é a distância máxima que o veículo poderá percorrer antes de ficar sem combustível?

Uma torneira que pinga perde aproximadamente $1,2\text{ centilitros}$ de água a cada $10\text{ segundos}$. Se não for arranjada, quantos litros de água terá desperdiçado ao fim de uma hora inteira? (Lembra-te de converter primeiro o resultado para a unidade de medida pedida).

Três agricultores trabalharam na colheita de um pomar de laranjas de forma proporcional ao tempo que cada um dedicou. Se receberam no total $1500\text{ €}$ e os tempos de trabalho foram:

• Agricultor A: $12\text{ horas}$

• Agricultor B: $18\text{ horas}$

• Agricultor C: $20\text{ horas}$

Quanto dinheiro corresponde a cada um deles?

Segundo dados técnicos de instalações de autoconsumo energético em Espanha, uma moradia unifamiliar equipada com $4$ painéis solares idênticos gera, num dia soalheiro de primavera, uma média de $6,8\text{ kWh}$ de energia elétrica. Uma família vizinha quer instalar painéis idênticos para cobrir uma necessidade energética diária de $15,3\text{ kWh}$ nas mesmas condições climáticas.

1. a) Justifica por que razão o número de painéis solares e a quantidade de energia elétrica gerada são grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Determina a constante de proporcionalidade direta $k$, indicando que grandeza representa e em que unidades se expressa.
3. c) Escreve a fórmula algébrica que modela a energia produzida ($E$, em $\text{kWh}$) em função do número de painéis instalados ($n$).
4. d) Utiliza o teu modelo para descobrir quantos painéis solares completos deve a família vizinha instalar para garantir essa produção diária.

Numa oficina de robótica, os alunos estão a programar um drone para inspecionar um parque natural. O drone consome bateria de forma diretamente proporcional à distância percorrida. Se para percorrer $2,5\ km$ o drone consome $15\%$ da sua bateria total:

1. a) Qual é a constante de proporcionalidade se expressarmos a relação como "percentagem de bateria por cada quilómetro"?
2. b) Se o ponto de retorno está a $7\,200\ metros$ da base, terá bateria suficiente para ir e voltar se levantar voo com a carga completa? Justifique a resposta com cálculos.

Uma marca de roupa sustentável utiliza fibras recicladas para fabricar as suas t-shirts. A relação entre o peso das garrafas de plástico recolhidas e o fio obtido é diretamente proporcional. Sabe-se que com $3,6\ kg$ de garrafas é possível fabricar exatamente $8$ t-shirts de tamanho L.

1. a) Se cada t-shirt de tamanho L precisa de $225\ g$ de fio, quantos gramas de fio são obtidos por cada quilograma de garrafas de plástico?
2. b) A Câmara Municipal de uma cidade recolheu $1,2\ toneladas$ de garrafas. Quantas t-shirts poderiam ser fabricadas no total?

Para tingir tecidos com corantes naturais, uma artesã mistura extrato de beterraba e água. A quantidade de extrato é diretamente proporcional ao volume de água. No seu caderno, tem anotado que para $1,5\ litros$ de água precisa de $120\ ml$ de extrato. No entanto, quer preparar um recipiente com um volume total de mistura (água + extrato) de $10,8\ litros$. Que quantidade exata de água e de extrato deve misturar para manter a proporção?

Num mapa de alta montanha com escala $1:25\,000$, a distância entre dois abrigos é de $14,4\ cm$. Um grupo de caminhantes sabe que a sua velocidade média de subida é constante e que demora $45$ minutos a percorrer $1\,500\ metros$ reais nesse terreno.

1. a) Calcule a distância real entre os dois abrigos em quilómetros.
2. b) A que horas chegarão ao segundo abrigo se saírem do primeiro às $08:30$ da manhã?

Um servidor de videojogos distribui dados aos jogadores de forma diretamente proporcional ao tempo de ligação. Um jogador descarregou $1,8\ GB$ nos últimos $12$ minutos.

1. a) Calcule a taxa de transferência em $MB$ por minuto (Lembre-se de que $1\ GB = 1\,024\ MB$).
2. b) Se a atualização total do jogo tem $15\ GB$, quantas horas e minutos demorará a concluir a transferência se a velocidade se mantiver constante?

Três turmas do 7.º ano decidiram organizar uma campanha de recolha de alimentos. O número de quilos recolhidos é diretamente proporcional ao número de alunos de cada turma. A turma A tem $24$ alunos e recolheu $36\ kg$.

1. a) Complete a tabela seguinte, justificando os cálculos:

1. b) Qual é a constante de proporcionalidade que relaciona os quilos por cada aluno? Exprima-a como uma fração irredutível.

Uma empresa de entregas utiliza carrinhas elétricas. O custo do consumo elétrico é diretamente proporcional aos quilómetros percorridos. No mês passado, uma carrinha percorreu $1\,250\ km$ com um custo total de $37,50\ €$ em eletricidade.

1. a) Este mês o preço da eletricidade subiu $20\%$. Qual será a nova constante de proporcionalidade (custo por quilómetro)?
2. b) Com o novo preço, quanto custará percorrer um trajeto de $420\ km$?

Uma impressora 3D demora $4,5$ horas a imprimir uma peça de $270$ gramas de filamento. Queremos saber quanto tempo demorará a imprimir outra peça de $420$ gramas, supondo o mesmo ritmo.

1. a) Explique por que razão o peso da peça e o tempo de impressão são grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Monte a regra de três simples diretas e calcule o tempo que a peça de $420$ gramas demorará.
3. c) Quantos gramas a máquina imprime numa hora? Verifique o seu resultado da alínea b) usando esse dado.

Num lagar de Évora comercializa-se azeite virgem extra. O preço final é estritamente proporcional ao volume de azeite adquirido, sem custos fixos de embalamento nem descontos de quantidade. Dois clientes coincidem na loja:

• O primeiro cliente compra um determinado número de garrafões de $5\text{ litros}$ e paga uma fatura de $135\text{ €}$.

• O segundo cliente compra exatamente mais $7\text{ litros}$ de azeite do que o primeiro e paga um total de $198\text{ €}$.

1. a) Deduz o preço de um único litro de azeite (a constante de proporcionalidade $k$) sem conhecer previamente quantos litros adquiriu cada um. Justifica com rigor o raciocínio que te permite calculá-lo a partir das diferenças de volume e de preço.
2. b) Constrói a expressão matemática que relaciona o custo total $C$ (em euros) em função do volume total $V$ (em litros).
3. c) A partir do teu modelo, reconstrói os dados da compra do primeiro cliente: calcula quantos litros de azeite levou e quantos garrafões completos de $5\text{ litros}$ comprou.