Expressões algébricas

No mundo dos jogos eletrónicos, é muito comum traduzir situações para a linguagem matemática. Chamando $x$ ao número de gemas que tens num baú, expressa em linguagem algébrica as seguintes situações:

• O triplo das gemas que tens.

• O número de gemas que terás se encontrares mais 15.

• O número de gemas que te sobram depois de gastares metade numa skin.

• O dobro das tuas gemas menos 5 que deves a um amigo.

A Beatriz e o seu irmão Tomás estão a comparar o dinheiro que pouparam para o próximo festival. A Beatriz tem $x$ euros. Exprime em linguagem algébrica o dinheiro que o Tomás tem em cada um destes casos independentes:

• O Tomás tem mais 12 € do que a Beatriz.

• O Tomás tem o dobro da Beatriz.

• O Tomás tem menos 5 € do que o triplo do que tem a Beatriz.

• Se juntarem o dinheiro dos dois e a Câmara Municipal lhes der 20 € extra, têm no total 100 €.

Traduza estas situações reais para a linguagem algébrica utilizando uma única variável (o $x$):

• a) O preço de um bilhete de cinema ($x$) aumentado em $10\%$ por taxa de conveniência.

• b) A idade da Beatriz, sabendo que é três anos mais nova do que o dobro da idade do seu irmão mais novo ($x$).

• c) A soma de três números inteiros consecutivos.

• d) A poupança que me resta se eu tinha $x$ euros e gastei a quarta parte num livro e depois $10$ euros num presente.

Numa plataforma de jogos online, a subscrição mensal custa $12$ euros fixos, mas de cada vez que compras um visual ou skin para a tua personagem, são cobrados $3$ euros adicionais.

• a) Escreve uma expressão algébrica que permita calcular o custo total mensal se for comprado um número $x$ de skins.

• b) Se num mês decidires comprar $4$ skins, utiliza a expressão anterior para calcular quanto pagarás no total.

• c) Traduz para a linguagem comum o que significaria a expressão $12 + 3(x + 1)$.

Nas aulas de Educação Física, o professor pede-nos para dar uma volta a um campo retangular de treino. Não sabemos as medidas exatas, mas sabemos que o comprimento mede $L$ metros e a largura mede $a$ metros.

• Escreve a expressão algébrica do perímetro do campo.

• Se o professor nos disser que o comprimento é o dobro da largura ($L = 2a$), reescreve a expressão do perímetro utilizando apenas a letra $a$.

Observa o projeto desta nova pista de skate que a Câmara Municipal quer construir. As dimensões estão expressas em metros utilizando a variável $x$.

• a) Escreve uma expressão algébrica simplificada que represente o perímetro total da pista de skate.

• b) Calcula o perímetro se o valor da incógnita for $x = 4$ metros.

A planta de um novo centro recreativo para adolescentes tem uma forma irregular composta por um retângulo central e duas áreas triangulares idênticas nas laterais. As dimensões são dadas em função de uma variável $x$ que representa a largura básica das salas.

• Escreva a expressão algébrica simplificada do perímetro total da figura.

• Escreva a expressão algébrica simplificada da área total do centro recreativo.

• Se para cumprir as normas de segurança a área total deve ser de pelo menos $150 \, m^2$, verifique se o projeto é válido quando $x = 5 \, m$.

O valor numérico é o resultado da substituição da letra por um número. Imagine que o custo de organizar uma festa de aniversário é dado pela expressão $15n + 50$, onde $n$ é o número de convidados.

Calcule quanto custará a festa se decidir convidar:

• $n = 10$ amigos.

• $n = 20$ amigos.

• $n = 25$ amigos.

Calcule o valor numérico das seguintes expressões para os valores indicados. Tenha muito cuidado com os sinais negativos e lembre-se da ordem das operações:

• $2x + 7$ para $x = -3$

• $x^2 - 5$ para $x = 4$

• $3(a + b)$ para $a = 2, b = 5$

• $\frac{x}{2} + 10$ para $x = 8$

Num teste na aula, o Marcos tinha de calcular o valor numérico da expressão algébrica $8 - 2x$ para $x = -3$. Na sua folha escreveu o seguinte:

1. a) Identifica e explica os dois erros matemáticos cometidos pelo Marcos na sua resolução.
2. b) Explica por que razão é fundamental escrever parênteses quando substituímos uma variável por um número negativo.
3. c) Corrige o procedimento e calcula o valor numérico correto.

Para simplificar expressões, só podemos somar ou subtrair monómios semelhantes (aqueles que têm a mesma parte literal). Reduza ao máximo as seguintes expressões:

• $3x + 5x - x$

• $2a + 7b - a + 3b$

• $4x^2 + 2x^2 - 5x$

• $m + m + m + n + n$

Reduz as seguintes expressões algébricas agrupando os termos que forem semelhantes. Lembra-te de aplicar corretamente a regra dos sinais:

• a) $5x^2 - 3x + 2x^2 + x - 8$

• b) $3ab + 5a - 2ab + 7b - 4a$

• c) $-(2x + 5) + 3(x - 1)$

• d) $4y^2 - (2y^2 - 5y) + 3y$

Para calcular o valor numérico da expressão algébrica:

para o valor $x = 15$, dois alunos propõem caminhos diferentes:

• Estratégia da Laura: Substitui diretamente o valor $x = 15$ na expressão tal como está e calcula as operações respeitando a prioridade das operações.

• Estratégia do David: Primeiro simplifica a expressão algébrica aplicando a propriedade distributiva e agrupando monómios semelhantes; depois, substitui $x = 15$ na expressão resultante.

1. a) Resolve o exercício seguindo passo a passo a estratégia da Laura.
2. b) Resolve o exercício seguindo passo a passo a estratégia do David.
3. c) Verifica se se obtém o mesmo resultado numérico com ambos os métodos e explica porquê.
4. d) Avalia ambos os caminhos: qual requer operações aritméticas mais simples? Se tivesses de calcular o valor numérico dessa mesma expressão para cinco valores diferentes de $x$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 10$ e $x = 100$), justifica fundamentadamente qual estratégia escolherias.

Observa a seguinte sucessão de figuras formadas com palitos de madeira. Queremos saber quantos palitos vamos precisar para construir uma fila de $n$ quadrados.

Se para 1 quadrado usas 4 palitos, para 2 quadrados usas 7 palitos e para 3 quadrados usas 10 palitos:

1. a) Quantos palitos acrescentarias por cada novo quadrado?

1. b) Escreve a fórmula ou expressão algébrica que permite calcular o número total de palitos para $n$ quadrados.

Estamos a construir uma sucessão de figuras com azulejos quadrados seguindo um determinado padrão. Observa as três primeiras figuras da sucessão:

• a) Se $n$ representa o número da figura, escreve uma expressão algébrica que indique quantos azulejos quadrados terá a figura $n$.

• b) Quantos azulejos terá a figura número $25$?

• c) Que número de figura terá exatamente $40$ azulejos?

Numa reserva natural, está a ser estudado o crescimento de uma espécie de feto que se expande seguindo um padrão geométrico. Na primeira semana (semana $n=1$), o feto tem uma folha central. Na segunda semana, crescem três folhas novas à sua volta. Na terceira, crescem outras cinco.

Observa o padrão das etapas e realiza as seguintes tarefas:

• Encontra uma expressão algébrica que determine o número total de folhas do feto na semana $n$.

• Se um feto tem 121 folhas, em que semana se encontra?

• Calcula o valor numérico para a semana $n = 15$.

No projeto de requalificação de um passeio pedonal são projetadas zonas verdes quadradas rodeadas por lajetas protetoras no seu perímetro. Se for instalada uma única floreira quadrada, são necessárias $8$ lajetas para a rodear. Se forem colocadas várias floreiras encostadas em fila formando uma fileira contínua, as floreiras interiores partilham lajetas perimetrais.

Três técnicas de urbanismo propuseram três fórmulas diferentes para calcular quantas lajetas $B$ são necessárias para uma fila de $n$ floreiras:

• Fórmula da Leonor: $B = 2(n + 2) + 2$

• Fórmula da Sara: $B = 8 + 2(n - 1)$

• Fórmula da Inês: $B = 2n + 6$

1. a) Interpreta o significado geométrico das fórmulas: explica fundamentadamente como contou as lajetas a Leonor e como as contou a Sara para chegarem às suas expressões.
2. b) Utiliza as operações algébricas (propriedade distributiva e redução de termos semelhantes) para demonstrar se as três fórmulas são equivalentes entre si.
3. c) A Câmara Municipal dispõe de uma palete com $75$ lajetas para uma avenida. Propõe uma estratégia a partir das expressões anteriores para calcular quantas floreiras completas em fila se podem rodear no máximo e quantas lajetas irão sobrar exatamente.

Marta está a projetar uma estante modular. Cada módulo quadrado exige $4$ tábuas longas e $4$ conectores nos cantos. No entanto, ao unir módulos lado a lado, partilham uma tábua vertical e os dois conectores das suas extremidades.

• Escreve uma expressão algébrica que dê o número de tábuas necessárias para montar uma fila de $x$ módulos.

• Se cada tábua custa $a$ euros e cada conector custa $b$ euros, escreve a expressão do custo total de uma fila de $x$ módulos.

• Simplifica a expressão do custo total sabendo que o conector custa a quarta parte de uma tábua ($b = a/4$).

O serviço público de bicicletas partilhadas de uma cidade portuguesa cobra aos utilizadores sem passe anual uma tarifa fixa de desbloqueio de $1,20$ € por trajeto, mais $0,15$ € por cada minuto de utilização.

1. a) Escreve uma expressão algébrica que permita calcular o custo total de um trajeto realizado por um utilizador que pedala durante $m$ minutos.
2. b) Se utilizares uma bicicleta durante $18$ minutos para ir da tua casa até à biblioteca, calcula o valor exato que te irão cobrar aplicando a tua expressão.
3. c) O que representa a variável $m$ neste contexto real? Justifica se faria sentido prático calcular o valor numérico da expressão para $m = -4$ ou para $m = 25,5$.

Um influencer está a analisar o crescimento dos seus seguidores. Criou uma fórmula para estimar os "pontos de impacto" ($I$) das suas publicações:

$I = 10a + 5b - 2c$

Onde:

• $a$ é o número de "gostos" (em milhares).

• $b$ é o número de vezes que a publicação é partilhada.

• $c$ é o número de comentários negativos.

Calcule o valor numérico do impacto ($I$) para os seguintes dados:

• $a = 5$

• $b = 20$

• $c = 15$

De acordo com registos meteorológicos habituais na Península Ibérica, ao subir uma montanha a temperatura diminui aproximadamente $1\text{ }^\circ\text{C}$ por cada $150\text{ m}$ de altitude. Num dia de primavera, a temperatura $T$ (em graus Celsius) na encosta da Serra da Estrela em função da altitude $a$ (em metros) pode ser modelada através da expressão:

1. a) Na povoação situada na base ($a = 600\text{ m}$) o termómetro marca $16\text{ }^\circ\text{C}$. Antes de fazeres o cálculo exato, estima de forma fundamentada se no cume da Torre ($a = 2400\text{ m}$) a temperatura estará acima ou abaixo de $5\text{ }^\circ\text{C}$. Explica em que te baseias para fazer a tua estimativa.
2. b) Verifica a tua estimativa calculando o valor numérico exato da temperatura para a altitude do cume ($a = 2400\text{ m}$).
3. c) Um caminhante afirma que a $3300\text{ m}$ a temperatura seria de $-2\text{ }^\circ\text{C}$. Verifica se a fórmula matemática dá esse resultado e avalia criticamente se faz sentido aplicar este modelo a essa altitude na Serra da Estrela, sabendo que o seu ponto mais alto não chega aos $2500\text{ m}$.

Queremos descobrir uma expressão algébrica desconhecida que cumpra todas as condições seguintes:

1. Utiliza uma única variável, $x$, e o seu grau é $2$.

2. É um binómio formado por um termo com $x^2$ e um termo independente (um número sem letra).

3. Para $x = 0$, o seu valor numérico é $-5$.

4. Para $x = 3$, o seu valor numérico é $13$.

1. a) Deduz passo a passo qual deve ser o termo independente utilizando a condição dada para $x = 0$.
2. b) Descobre que coeficiente deve multiplicar $x^2$ para que se cumpra o valor numérico pedido quando $x = 3$, e escreve a expressão algébrica completa.
3. c) Sem necessidade de realizar operações longas, qual será o valor numérico da tua expressão para $x = -3$? Justifica a tua resposta prestando atenção ao sinal e ao expoente.

Um grupo de amigos quer alugar um campo de padel durante várias horas ($h$). O preço do aluguer é de $12$ euros por hora. Além disso, precisam de alugar raquetes para todos. O aluguer de cada raquete custa $3$ euros por toda a sessão. Se o grupo for formado por $n$ pessoas:

• Escreva a expressão algébrica do custo total do aluguer ($C$) em função do número de horas ($h$) e do número de pessoas ($n$).

• Se decidirem pagar o custo total em partes iguais, escreva a expressão do valor que cada pessoa deve pagar.

• Simplifique a expressão anterior. A parte correspondente às raquetes depende do número de pessoas que forem? Justifique a sua resposta.

Identificar as partes de um monómio é fundamental para "falar" álgebra. Complete mentalmente ou no caderno as informações para os seguintes monómios:

• $5x^3 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grau: ___

• $-ab^2 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grau: ___

• $\frac{1}{2}y \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grau: ___

• $-7 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grau: ___

No estudo dos monómios, é fundamental identificar as suas partes para poder operar com eles. Complete as informações da seguinte lista de monómios:

• Monómio A: $-5ax^3$

• Monómio B: $\frac{2}{3}y^2z$

• Monómio C: $-x^2y^2$

• Monómio D: $12$

Para cada um, indique:

1. O coeficiente.

2. A parte literal.

3. O grau do monómio.

4. Escreva um monómio que seja semelhante ao Monómio A.

Realiza as seguintes operações com monómios e simplifica o resultado sempre que possível. Se o resultado for um número, indica-o:

• a) $(3x^2) \cdot (4x^3)$

• b) $(-15a^4b^2) : (3a^2b)$

• c) $2 \cdot (5xy) \cdot (-x^2)$

• d) $\frac{10x^3y}{2x^3y}$

Considere os seguintes três monómios: $A = 12x^2y$, $B = -4x^2y$ e $C = 5xy^2$.

Realize as seguintes operações combinadas e simplifique o resultado ao máximo:

• $A + B - \frac{1}{2}A$

• $(A \cdot C) : (2xy)$

• Explique de forma fundamentada por que razão não podes somar o monómio $A$ com o monómio $C$. Que condição deveria mudar na sua parte literal para que fosse possível?

Num jogo de RPG, o dano causado por um feitiço de fogo é calculado com a expressão: $D = \frac{3(x + 2y)^2 - 6xy}{2}$, onde $x$ é o nível de magia da personagem e $y$ é a potência do cajado.

• Calcule o dano se a personagem tiver nível de magia $x = 4$ e potência de cajado $y = 1$.

• Um programador afirma que, se a personagem não tiver cajado ($y = 0$), o dano se simplifica numa expressão proporcional ao quadrado do nível de magia. Demonstre se isso é verdade, realizando a substituição e simplificando.

• Se dobrarmos o nível de magia ($2x$) e mantivermos o cajado em $y = 0$, quantas vezes aumenta o dano total?