Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos iguais. Verifique se os dois triângulos a seguir são semelhantes calculando o ângulo que falta em cada um:

• O triângulo A tem dois ângulos que medem $45^\circ$ e $75^\circ$.

• O triângulo B tem dois ângulos que medem $75^\circ$ e $60^\circ$.

Lembre-se de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$.

Verifica se estes dois triângulos são semelhantes utilizando o critério dos lados proporcionais (critério LLL). Para isso, divide os lados correspondentes (o maior pelo maior, o médio pelo médio e o menor pelo menor) e vê se obténs o mesmo resultado.

• Triângulo 1: Lados de $6$ cm, $9$ cm e $12$ cm.

• Triângulo 2: Lados de $4$ cm, $6$ cm e $8$ cm.

Dois alunos do 8.º ano, Beatriz e Marcos, estão a verificar se duas velas triangulares dos seus barcos à vela são semelhantes. A vela da Beatriz tem dois ângulos que medem $65^\circ$ e $45^\circ$. A vela do Marcos tem um ângulo de $45^\circ$ e outro de $70^\circ$.

a) Calcule o terceiro ângulo de cada uma das velas.

b) Justifique, utilizando os critérios de semelhança, se as duas velas têm a mesma forma (são semelhantes).

Temos dois triângulos isósceles. O primeiro tem um ângulo desigual de $40^\circ$ e os seus lados iguais medem $10\text{ cm}$ cada um. O segundo também tem um ângulo desigual de $40^\circ$, mas os seus lados iguais medem $15\text{ cm}$.

a) Estes dois triângulos são semelhantes? Justifique a sua resposta, indicando o critério de semelhança aplicado.

b) Qual é a razão de semelhança entre o segundo e o primeiro?

c) Se a base do primeiro triângulo mede $6,84\text{ cm}$, quanto medirá a base do segundo?

Calcule a razão de semelhança $k$ que transforma o triângulo pequeno no triângulo grande, sabendo que são semelhantes. Uma vez encontrada a $k$, indique quanto deve medir o lado marcado com a letra $x$.

Calcule a medida dos lados de um triângulo semelhante a outro cujos lados medem $5$ cm, $7$ cm e $9$ cm, se a razão de semelhança for $k = 3$. Como será o novo triângulo, maior ou menor do que o original?

A Câmara Municipal quer instalar uma rampa de acesso para cadeiras de rodas. O projeto original é um triângulo retângulo de base $4$ metros e altura $0,8$ metros. Por norma, devem ampliar a base até aos $6$ metros mantendo a mesma inclinação (ângulo).

a) Qual será a altura da nova rampa?

b) Se para a rampa original eram necessários $4,08$ metros de superfície de rolamento (hipotenusa), quantos metros serão necessários para a rampa ampliada?

Marta desenhou dois triângulos em posição de Tales. Sabendo que os segmentos horizontais são paralelos, calcule a medida do lado $x$ utilizando a proporção entre os respetivos lados correspondentes.

Utiliza o Teorema de Tales para encontrar o valor de $x$ na figura seguinte, onde as prateleiras da estante triangular são paralelas à base.

No projeto de uma estrutura metálica para um telhado, utilizam-se duas vigas paralelas para reforçar a armação principal. Sabendo que os triângulos formados estão em posição de Tales, calcula o comprimento dos segmentos assinalados como $x$ e $y$ no seguinte esquema:

(Nota: Na base, o segmento pequeno mede $4\text{ m}$ e o total $10\text{ m}$. Na vertente inclinada, o segmento pequeno mede $5\text{ m}$. Determina $x$, a base restante, e $y$, o segmento restante da vertente inclinada).

Calcula a distância entre os pontos $B$ e $D$ da seguinte figura, sabendo que os segmentos $BC$ e $DE$ são paralelos e que os pontos $A$, $B$ e $D$ estão alinhados, tal como $A$, $C$ e $E$. Os dados conhecidos são: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ e $DE = 12,5\text{ cm}$.

Para calcular a largura de um rio sem o atravessar, um topógrafo coloca várias estacas como mostrado na figura. Os triângulos formados, $ABC$ e $CDE$, são semelhantes porque as margens são paralelas e as linhas de visão se cruzam no ponto $C$. Se as medidas tomadas são $AB = 24$ m, $BC = 30$ m e $CD = 15$ m, determine a largura do rio ($ED$) e explique qual o critério de semelhança que foi aplicado.

Num triângulo $ABC$, o lado $AB$ mede $12$ cm e o lado $AC$ mede $15$ cm. Traçamos um segmento $PQ$ paralelo ao lado $BC$, de tal forma que o ponto $P$ está em $AB$ e o ponto $Q$ está em $AC$. Se o segmento $AP$ mede a terça parte do que mede o segmento $PB$, calcule os comprimentos dos segmentos $AP$ e $AQ$. Justifique a sua resposta com base no Teorema de Tales.

Uma árvore projeta uma sombra de $12$ metros. Nesse mesmo instante, uma estaca de $1,5$ metros fincada verticalmente no solo projeta uma sombra de $2$ metros. Qual é a altura da árvore? Explica por que razão os triângulos formados pela árvore e pela estaca com as respetivas sombras são semelhantes.

Num parque de Coimbra, um candeeiro vertical projeta uma sombra no chão de $4,8\text{ m}$ no mesmo instante em que o Marcos, que mede $1,60\text{ m}$ de altura, projeta uma sombra de $1,20\text{ m}$.\n\na) Antes de fazeres qualquer operação escrita, observa as medidas do Marcos e da sua sombra: a sua sombra é mais comprida ou mais curta do que a sua altura real? Com base nisso, estima se a altura do candeeiro será maior ou menor do que os seus $4,8\text{ m}$ de sombra e escreve uma estimativa fundamentada de entre que valores aproximados deveria estar a sua altura real.\nb) Justifica por que razão os triângulos formados pelo candeeiro com a sua sombra e pelo Marcos com a sua são semelhantes, citando o critério de semelhança aplicável.\nc) Formula a proporção correspondente, calcula a altura exata do candeeiro e verifica se a tua estimativa da alínea a) estava correta.

Para medir a altura de um cesto de basquetebol, um grupo de alunos utiliza uma estaca de $1,5$ metros colocada verticalmente. No mesmo instante em que a sombra da estaca mede $1,2$ metros, a sombra do cesto projetada no chão mede $2,4$ metros. Calcule a altura do cesto aproveitando a semelhança dos triângulos formados pelo sol.

O Daniel quer medir a profundidade de um poço circular de $1,6$ metros de diâmetro. Para isso, afasta-se $0,8$ metros da borda até que, a partir de uma altura de $1,75$ metros (a dos seus olhos), consegue ver exatamente a borda do fundo do poço. Utiliza a semelhança de triângulos para determinar a profundidade do poço.

Um grupo de alunos do 8.º ano quer medir a altura da torre de comunicações da sua cidade. Para isso, utilizam um poste vertical de $2,5$ metros de altura. Posicionam o poste de tal maneira que, num determinado momento, a extremidade da sombra da torre e a do poste coincidem no mesmo ponto do chão. Se a distância entre a base do poste e o ponto onde terminam as sombras é de $3,2$ metros, e a distância entre a base da torre e a base do poste é de $18,4$ metros, calcule a altura da torre.

Uma câmara escura baseia-se num orifício minúsculo pelo qual entram raios de luz em linha reta: ao cruzarem-se no orifício, projetam no ecrã posterior uma imagem invertida e semelhante ao objeto exterior.\nUm grupo de alunos constrói uma câmara escura com uma caixa de $20\text{ cm}$ de profundidade (distância do orifício ao ecrã posterior). Querem fotografar um aerogerador de um parque eólico no Alentejo cuja altura total é de $45\text{ m}$. O ecrã do fundo da câmara tem uma altura útil máxima de $15\text{ cm}$.\n\na) Modela a situação descrevendo os dois triângulos que se formam em ambos os lados do orifício e demonstra por que razão são semelhantes, indicando que ângulos coincidem e que critério de semelhança se cumpre.\nb) Formula a proporção adequada e calcula a que distância mínima do aerogerador deve ser colocada a câmara para que a sua imagem completa caiba no ecrã sem ser cortada.\nc) Se por segurança os alunos forem obrigados a afastar-se até colocar a câmara exatamente ao triplo da distância calculada na alínea anterior, fundamenta sem voltar a resolver toda a equação que altura medirá agora a imagem projetada e como se relaciona com a razão de semelhança.

Um drone está a sobrevoar um parque a uma altura de $15$ metros. A sua câmara projeta um campo de visão triangular no chão. Se o drone subir até uma altura de $45$ metros:

a) Qual é a razão de semelhança entre o triângulo de visão original e o novo?

b) Se o perímetro da área que cobria no chão era de $120$ metros, qual será o perímetro da nova área?

c) Se a superfície (área) coberta originalmente era de $800\text{ m}^2$, qual será a superfície coberta na nova altura?

Duas secantes cortam-se num ponto $V$. Sobre uma delas marcam-se os pontos $A$ e $B$, e sobre a outra os pontos $C$ e $D$, de tal forma que os segmentos $AC$ e $BD$ são paralelos (configuração de Tales). Sabendo que $VA = 9$ cm, $VB = 15$ cm e a área do triângulo menor $VAC$ é de $27$ $cm^2$, calcule a área do quadrilátero $ABDC$ sabendo que os triângulos são semelhantes.

Um ecrã de cinema ao ar livre projeta uma imagem a partir de um foco situado a $12$ metros de distância. O ecrã original tem uma superfície de $24$ $m^2$. Se aproximarmos o ecrã do projetor até o colocar exatamente a metade da distância ($6$ metros do foco), a imagem projetada será menor, mas conservará a mesma forma. Qual será a área da imagem nesta nova posição? Justifica a tua resposta utilizando a relação entre a razão de semelhança e a área.

Considere dois triângulos retângulos. O primeiro tem catetos de $3$ cm e $4$ cm. O segundo triângulo é semelhante ao primeiro e a sua hipotenusa mede $15$ cm. Calcule o perímetro e a área deste segundo triângulo. (Sugestão: primeiro determine a hipotenusa do triângulo original para obter a razão de semelhança).

Um carpinteiro está a projetar uma estante reforçada com uma travessa em forma de triângulo retângulo. No triângulo da base, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos que medem $18$ cm e $32$ cm. O carpinteiro precisa de saber o comprimento dos dois listões que formam os catetos do triângulo para os comprar. Calcule a medida de ambos os catetos e a altura da travessa utilizando as relações de semelhança em triângulos retângulos.

Numa pista de skate constrói-se uma rampa de salto cuja secção lateral é um triângulo retângulo. A altura traçada sobre a hipotenusa (o chão) divide-a em dois segmentos de projeções que medem $m = 1,8\text{ m}$ e $n = 3,2\text{ m}$. Pretende-se calcular o comprimento da rampa de subida, que corresponde ao cateto menor $c$ adjacente à projeção $m$.\n\nPara o resolver, dois projetistas propõem métodos distintos:\n- Método 1 (Beatriz): Calcular primeiro a altura $h$ com o teorema da altura ($h^2 = m \cdot n$) e, depois, aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo menor para encontrar $c = \sqrt{h^2 + m^2}$.\n- Método 2 (Tomás): Aplicar diretamente o teorema do cateto derivado da semelhança de triângulos, segundo o qual $c^2 = m \cdot (m + n)$, isolando $c$ num único passo.\n\na) Aplica passo a passo ambos os métodos com os dados fornecidos e verifica que se obtém exatamente o mesmo valor numérico para o comprimento $c$.\nb) Demonstra algebricamente que a fórmula da Beatriz ($c^2 = h^2 + m^2$) equivale exatamente à do Tomás ($c^2 = m \cdot (m + n)$), substituindo nela a igualdade $h^2 = m \cdot n$ e colocando o fator comum em evidência.\nc) Se as medidas de partida dessem origem a raízes quadradas não exatas e não pudesses usar calculadora, justifica qual dos dois métodos é mais recomendável para evitar arrastar erros de arredondamento.

Dois triângulos retângulos têm um ângulo agudo igual a $37^\circ$. Podemos afirmar que são semelhantes? Justifique a sua resposta utilizando os critérios de semelhança de triângulos.

O Hugo está a estudar para o teste de Matemática e tem de determinar se dois triângulos são semelhantes. O primeiro triângulo tem lados que medem $4\text{ cm}$, $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$, e o segundo tem lados que medem $7\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $11\text{ cm}$. O Hugo escreve no seu caderno:\n«São semelhantes porque se subtraíres os lados correspondentes, $7 - 4 = 3$, $9 - 6 = 3$ e $11 - 8 = 3$; como a diferença é sempre a mesma ($3\text{ cm}$), os dois triângulos crescem ao mesmo ritmo e têm a mesma forma».\n\na) Localiza o erro conceptual que o Hugo comete e explica por palavras tuas por que razão uma diferença constante entre os lados não garante que duas figuras sejam semelhantes.\nb) Verifica matematicamente, calculando as razões dos lados correspondentes, se os triângulos do Hugo são ou não semelhantes.\nc) Escreve as medidas que o segundo triângulo deveria ter se o lado homólogo ao de $4\text{ cm}$ medisse realmente $7\text{ cm}$ para que ambos fossem semelhantes.

O Código Técnico de la Edificación (CTE) em Espanha regulamenta que as rampas de acesso para pessoas com mobilidade reduzida não devem superar uma inclinação máxima nem vencer desníveis superiores a $1,20\text{ m}$ de altura sem intercalar um patamar horizontal. Num centro de saúde de Leiria foi construída uma rampa reta. Ao inspecioná-la, o arquiteto técnico verifica que nos primeiros $3\text{ m}$ de avanço horizontal a rampa subiu $0,18\text{ m}$ de altura em relação ao chão.\n\na) Modela a situação através de triângulos retângulos e explica por que razão qualquer ponto ao longo da rampa forma com o chão um triângulo semelhante ao que abrange a rampa na sua totalidade.\nb) Se a distância horizontal total desde o início da rampa até à porta de entrada for de $18\text{ m}$, calcula a altura total vencida pela rampa.\nc) Com os dados obtidos e a regulamentação indicada, determina se a rampa pode ser contínua ou se é obrigatório incluir um patamar horizontal intermédio. Justifica a tua conclusão.

Uma oficina de artesanato fabrica molduras triangulares de madeira. Dispõem de uma moldura padrão de referência cujos lados medem $5\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$. A oficina recebe a encomenda de desenhar duas novas molduras triangulares, a moldura $A$ e a moldura $B$, que devem cumprir a condição de ter dois lados a medir exatamente $15\text{ cm}$ e $24\text{ cm}$.\n\na) Determina qual deve ser a medida exata do terceiro lado da moldura $A$ para que seja semelhante à moldura padrão. Indica que critério de semelhança aplicaste e qual é a razão de semelhança $k$ que as relaciona.\nb) Propõe uma medida inteira possível para o terceiro lado da moldura $B$ de modo a que forme um triângulo geometricamente válido (lembra-te de que a soma de dois lados quaisquer deve ser sempre maior do que o terceiro), mas que NÃO seja semelhante à moldura padrão.\nc) Demonstra detalhadamente por que razão a moldura $B$ que propuseste não é semelhante à moldura padrão, comparando as razões entre os seus lados.

Um arquiteto apresenta uma maquete de um centro cultural com formato de pirâmide de base triangular. A razão de semelhança entre a maquete e o edifício real é de $1:150$. Se o volume da maquete é de $0,8$ $dm^3$, qual será o volume do edifício real expresso em metros cúbicos ($m^3$)? Lembra-te de aplicar corretamente a relação entre a razão de semelhança e o volume.