Retas

No desenho seguinte de uma estrada reta, identifica o nome que recebe cada um dos elementos marcados.

Indica qual é um segmento, qual é uma semirreta e qual representa uma reta completa.

Observe o plano destas ruas. Indique qual é a posição relativa (paralelas, secantes ou perpendiculares) dos seguintes pares de ruas:

• Rua A e Rua B.

• Rua B e Rua C.

• Rua A e Rua C.

Um grupo de amigos está a projetar um novo circuito de skate num terreno baldio. Para isso, traçaram no chão várias linhas que representam as bordas das rampas. Observa o plano que desenharam e responde às perguntas sobre a posição relativa das linhas:

1. a) Indica um par de linhas que sejam paralelas entre si.
2. b) Encontra duas linhas que sejam secantes mas não perpendiculares.
3. c) Identifica uma linha que seja perpendicular à linha $s$.
4. d) Se a linha $t$ e a linha $u$ nunca se cruzam por mais que as prolonguemos, que relação geométrica têm?

Classifique os seguintes ângulos segundo a sua abertura. Indique se são agudos, retos ou obtusos:

• $\alpha = 45^\circ$

• $\beta = 120^\circ$

• $\gamma = 90^\circ$

Dois ângulos são complementares se a sua soma é $90^\circ$. Se o ângulo $\alpha$ mede $35^\circ$, quanto deve medir o ângulo $\beta$ para que sejam complementares?

Um radar de navegação gira um total de $5^\circ$ a cada segundo. Expresse este movimento em minutos sexagesimais ($'$). Lembre-se de que $1^\circ = 60'$.

Determine o valor do ângulo $\hat{X}$ na figura seguinte, sabendo que os dois ângulos são suplementares (somam $180^\circ$).

Uma câmara de segurança de um centro comercial tem um ângulo de visão total de $110^\circ$. O técnico de manutenção decide dividir este ângulo em duas zonas: a Zona A, que cobre as lojas, e a Zona B, que cobre os corredores.

Se a Zona A mede $64^\circ 35' 50''$, calcule a medida exata (em graus, minutos e segundos) que deve ter a Zona B para cobrir o resto do campo de visão.

Um satélite de comunicações orbita em torno da Terra e realiza três medições de rotação angular para corrigir a sua trajetória. A primeira rotação é de $42^\circ \ 35' \ 48''$. A segunda rotação é o dobro da primeira. Se no final do dia o satélite tiver de ter rodado um ângulo total correspondente a um ângulo raso para ficar alinhado com a base terrestre, quanto deve medir a terceira rotação? Exprime o resultado na forma complexa (graus, minutos e segundos).

O ângulo $\alpha$ é tal que o seu suplementar mede o triplo do seu complementar.

1. a) Escreva uma igualdade utilizando os conceitos de ângulo complementar ($90^\circ - \alpha$) e suplementar ($180^\circ - \alpha$).
2. b) Calcule o valor do ângulo $\alpha$.
3. c) Como classificaria o ângulo $\alpha$ quanto à sua amplitude?

Quando duas retas se cortam, os ângulos verticalmente opostos são iguais. Observe a figura e, sem usar o transferidor, indique quanto mede o ângulo $\hat{A}$ e quanto mede o ângulo $\hat{B}$.

Consideram-se dois ângulos adjacentes, $\widehat{AOB}$ e $\widehat{BOC}$, que partilham o lado $OB$ e cujos outros lados $OA$ e $OC$ formam uma linha reta (ou seja, $A$, $O$ e $C$ estão alinhados e os dois ângulos somam $180°$). Traçam-se as bissetrizes $OX$ do ângulo $\widehat{AOB}$ e $OY$ do ângulo $\widehat{BOC}$.

Demonstra, realizando o cálculo passo a passo, quanto mede o ângulo $\widehat{XOY}$ formado por ambas as bissetrizes. Este resultado depende da medida individual dos ângulos iniciais? Justifica a tua resposta.

Estamos a analisar a estrutura de uma estante moderna. As prateleiras horizontais são paralelas entre si e estão atravessadas por um suporte inclinado.

Sabendo que o ângulo $\hat{1}$ mede $124^\circ$, utiliza as propriedades dos ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma secante para calcular, sem usar transferidor, a amplitude dos ângulos $\hat{2}, \hat{3}$ e $\hat{4}$. Justifica cada resposta (por serem verticalmente opostos, correspondentes, alternos internos, etc.).

Observe a figura seguinte, onde são mostrados vários ângulos relacionados. Sabemos que as retas $m$ e $n$ são paralelas. Se o ângulo $\hat{A} = 48^\circ$, calcule fundamentadamente o valor dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$.

No projeto de uma estrutura metálica para um telhado, há duas vigas principais paralelas, $r$ e $s$. Uma terceira viga transversal $t$ corta-as formando um ângulo obtuso de $135^\circ \ 20'$. Decide-se instalar um reforço que coincida exatamente com a bissetriz do ângulo agudo formado pelo cruzamento das vigas $s$ e $t$. Que ângulo formará este reforço com a viga $r$ na parte interna da estrutura? Raciocina se os ângulos serão alternos internos ou correspondentes.

Dada uma reta $r$ e um ponto exterior $P$, sabemos que só existe uma reta paralela a $r$ que passa por $P$.

Imagina agora que temos três retas paralelas entre si ($r, s, t$) e duas retas transversais ($m, n$) que não são paralelas entre si.

1. a) Qual é o número total de ângulos que se formam nos pontos de interseção?
2. b) Se todos os ângulos agudos formados pela reta $m$ com as paralelas medem $70^\circ$, e os ângulos agudos formados pela reta $n$ com as paralelas medem $55^\circ$, calcula o ângulo que formam entre si as retas $m$ e $n$.

Desenha no teu caderno uma reta $r$ e um ponto $P$ que não pertença a ela. Utilizando o teu esquadro e cartabão, traça uma reta $s$ que passe por $P$ e seja paralela a $r$. Quantas retas paralelas a $r$ podem passar por esse ponto $P$?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Na planta de um parque infantil, quer-se colocar um candeeiro que esteja exatamente à mesma distância do escorrega ($T$) e dos baloiços ($C$). A figura mostra a posição de ambos e a distância que os separa.

1. a) Que nome recebe a linha imaginária onde deveriam estar todos os pontos que cumprem essa condição?

1. b) Se a distância entre o escorrega e os baloiços é de $12$ metros e colocas o candeeiro no ponto médio do segmento $TC$, a que distância estará o candeeiro de cada um deles?

1. c) Desenha no teu caderno um esquema do segmento $TC$ e da sua mediatriz.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Duas avenidas principais de uma cidade cruzam-se formando um ângulo de $72^\circ 15'$. Quer-se construir uma rua pedonal que divida esse ângulo exatamente ao meio.

1. a) Como se chama tecnicamente a linha que representa essa rua pedonal?
2. b) Calcule o valor do ângulo que a nova rua formará com cada uma das avenidas.
3. c) Que tipo de ângulo é o resultado (agudo, reto ou obtuso)?

Um arquiteto está a desenhar uma praça com forma de triângulo escaleno cujos vértices são três fontes situadas nos pontos $A$, $B$ e $C$ (a figura mostra um esquema da praça). Quer colocar um candeeiro num ponto $P$ que cumpra duas condições:

1. Que esteja à mesma distância da fonte $A$ que da fonte $B$.

2. Que esteja à mesma distância da rua que une $A$ com $C$ que da rua que une $B$ com $C$.

Que construções geométricas (mediatriz, bissetriz, etc.) deve realizar o arquiteto para encontrar o ponto exato do candeeiro? Explica a propriedade dos pontos dessas retas que justifica a tua resposta.

Num jogo eletrónico de estratégia, um raio laser ricocheteia numa superfície metálica. Sabe-se que o ângulo de incidência $\alpha$ e o ângulo de reflexão $\beta$ são iguais.

Se o ângulo total que formam o raio de entrada e o de saída é de $115^\circ 20'$, calcule quanto mede o ângulo $\alpha$. Em seguida, indique se o ângulo suplementar de $\alpha$ é agudo, reto ou obtuso.

Um relógio de parede marca 15:40 da tarde.

1. a) Calcule o ângulo que o ponteiro das horas e o dos minutos formam. Tenha em consideração que o ponteiro das horas se desloca um pouco à medida que os minutos avançam.
2. b) Como classificaria esse ângulo segundo a sua amplitude (agudo, reto, obtuso ou raso)?

Calcula o ângulo exato que formam os ponteiros de um relógio analógico quando marca as 03:40.

Pista: Tem em conta que o ponteiro das horas não fica fixo no 3, mas avança proporcionalmente enquanto o ponteiro dos minutos se desloca.

1. a) Quantos graus avança o ponteiro das horas por cada minuto que passa?

1. b) Calcula a posição em graus de ambos os ponteiros relativamente às 12:00 e determina a diferença.

Foram desenhadas quatro retas secantes num plano de tal forma que cada uma corta todas as outras, mas nunca três retas passam pelo mesmo ponto.

1. a) Qual é o número máximo de pontos de interseção que se podem formar?
2. b) Em quantas regiões fica dividido o plano?

Desenhe um esquema que o represente e justifique a sua resposta contando as regiões.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.