Tabelas de frequências

Numa escola de Lisboa, deseja-se realizar um estudo para saber qual é o desporto favorito dos alunos do 7.º ano. Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas:

• O desporto preferido (Futebol, Basquetebol, Ténis...).

• O número de horas por semana que praticam desporto.

• A marca dos ténis que utilizam.

• A altura em centímetros de cada aluno.

• O número de medalhas ou troféus que têm em casa.

A direção de uma escola quer saber se os alunos gostam da nova ementa da cantina. Para não perguntar aos 800 alunos, escolheram aleatoriamente 25 alunos de cada ano para responder a um inquérito. Identifica os seguintes elementos do estudo:

• População: _____

• Amostra: _____

• Indivíduo: _____

Num instituto de Madrid quer-se realizar um estudo sobre os hábitos de lazer dos seus alunos. Para isso, pergunta-se aos $30$ estudantes de 1º ESO C qual é a sua rede social favorita. Identifica de forma fundamentada os seguintes elementos do estudo estatístico:

• População.

• Amostra.

• Indivíduo.

• Tipo de variável (Qualitativa ou Quantitativa).

Durante o recreio, perguntámos a um grupo de amigos qual é a sua fruta favorita para o lanche. Os resultados foram:

Maçã, Banana, Pera, Maçã, Maçã, Pera, Banana, Maçã, Pera, Banana.

Cria no teu caderno uma tabela de frequências que inclua uma coluna para a Contagem (usando riscos) e outra para a Frequência Absoluta ($f_i$).

Numa loja de videojogos, foram registadas as vendas de uma manhã:

• Ação: $12$

• Aventura: $8$

• Desporto: $15$

• Estratégia: $5$

Calcule o valor de $N$ (o número total de dados) somando as frequências absolutas de todas as categorias.

Foi realizado um inquérito sobre o número de animais de estimação que 20 famílias possuem. A frequência absoluta de famílias que possuem "2 animais de estimação" é $4$. Calcule a frequência relativa ($h_i$) desse valor, expressando-a na forma de fração e na forma decimal.

Numa turma do 7.º ano, $20\%$ dos alunos vai para a escola a pé. Se a frequência relativa na tabela é $0,25$ para os que vão de autocarro, que percentagem de alunos representa esse último número?

Copie e complete os dados que faltam nesta tabela de frequências sobre a cor dos olhos de um grupo de pessoas. Lembre-se de que a soma das frequências relativas deve ser $1$.

Observe a seguinte tabela de frequências que mostra as notas de uma prova de Matemática de $20$ alunos:

Responde às seguintes perguntas:

1. Quantos alunos tiraram "Bom"?

2. Qual é a nota que mais se repete (a mais frequente)?

3. Quantos alunos foram aprovados na prova (considerando aprovado de Suficiente até Excelente)?

Foi realizado um inquérito a $40$ adolescentes sobre o seu desporto preferido para praticar no pavilhão desportivo municipal. Complete os valores que faltam na seguinte tabela de frequências sabendo que a dimensão da amostra é $N = 40$.

Foi realizado um estudo sobre o número de irmãos dos alunos de uma escola. O investigador cometeu alguns erros ao calcular as frequências relativas. Indique quais são e corrija-os para que a tabela seja válida.

O Tomás fez um inquérito aos seus 20 colegas de turma sobre o número de irmãos que têm ($0$, $1$, $2$ ou $3$). Ao construir a coluna de frequências acumuladas ($F_i$), obteve os seguintes resultados anotados no seu caderno:

• Para 0 irmãos ($f_1 = 5$): escreve $F_1 = 5$.

• Para 1 irmão ($f_2 = 9$): escreve $F_2 = 1 + 9 = 10$.

• Para 2 irmãos ($f_3 = 4$): escreve $F_3 = 2 + 4 = 6$.

• Para 3 irmãos ($f_4 = 2$): escreve $F_4 = 3 + 2 = 5$.

Ao terminar, o Tomás diz preocupado: «A última frequência acumulada dá-me 5 em vez de 20, por isso não sei o que fiz mal».

1. a) Identifica o erro conceptual do Tomás e explica que valores está a somar por engano.
2. b) Escreve a coluna de frequências acumuladas ($F_i$) calculada corretamente.
3. c) Explica com uma frase completa que significado real tem o valor de $F_2$ no contexto desta turma.

Numa aula de música, perguntou-se aos alunos quantos instrumentos sabem tocar. Os resultados da frequência absoluta acumulada ($F_i$) são:

• $0$ instrumentos: $F_1 = 4$

• $1$ instrumento: $F_2 = 15$

• $2$ instrumentos: $F_3 = 22$

• $3$ instrumentos: $F_4 = 25$

Calcule a frequência absoluta ($f_i$) para cada valor e determine quantos alunos há no total na turma. Qual a percentagem de alunos que sabe tocar exatamente $2$ instrumentos?

Num teste de cálculo mental de 1.º de ESO classificado com pontuações de 1 a 5, um grupo de $N = 25$ alunos obteve várias notas. A lista de notas individuais extraviou-se, mas conservam-se estas pistas do relatório estatístico:

1. A primeira frequência acumulada é $F_1 = 3$.

2. A frequência acumulada até à nota 2 é $F_2 = 8$.

3. A frequência relativa da nota 3 é exatamente $h_3 = 0,24$.

4. A frequência acumulada até à nota 4 é $F_4 = 22$.

5. Todos os alunos avaliados obtiveram uma nota entre 1 e 5.

1. a) Deduz passo a passo a frequência absoluta ($f_i$) de cada uma das 5 notas possíveis, indicando a operação ou propriedade que utilizas em cada caso.
2. b) Quantos alunos passaram no teste (nota 3 ou superior)? Responde utilizando dois procedimentos distintos: um somando frequências absolutas e outro usando as frequências acumuladas.
3. c) Que percentagem de alunos obteve a nota máxima (5)?

Um grupo de amigos registou o número de vezes que foi ao cinema nos últimos seis meses. Os dados obtidos são:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1$.

Organize esses dados numa tabela de frequências que inclua: o valor da variável ($x_i$), a frequência absoluta ($f_i$) e a frequência absoluta acumulada ($F_i$).

Um centro de reciclagem analisou o conteúdo de um contentor de reciclagem. $45\%$ dos objetos eram garrafas de plástico, $30\%$ eram latas de refrigerante, $15\%$ eram pacotes de leite e o restante era de outras embalagens metálicas. Se no total foram analisados $200$ objetos, construa uma tabela de frequências que mostre a frequência absoluta de cada tipo de resíduo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A partir do gráfico de barras a seguir, que representa as classificações obtidas pelos alunos de uma turma num teste de recuperação, reconstrói a tabela de frequências completa ($x_i, f_i, h_i, \%$).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Durante uma semana, um nutricionista pediu a $50$ pessoas que registassem quantas porções de fruta comem por dia. Os dados resumidos são:

• $20\%$ não come nenhuma porção.

• $15$ pessoas comem $1$ porção.

• A frequência relativa das pessoas que comem $2$ porções é $0,3$.

• O restante come $3$ porções.

Construa a tabela de frequências completa e responda: qual ou quais são os números de porções de fruta que correspondem à moda deste estudo?

Seguindo uma iniciativa sobre consumo responsável de ecrãs, um grupo de 1.º de ESO inquiriu 50 famílias do seu bairro para registar quantos dispositivos de ecrã grande (computadores, tablets e televisores inteligentes, sem contar com telemóveis) têm em casa. Os dados obtidos são:

• 1 dispositivo: 6 famílias.

• 2 dispositivos: 14 famílias.

• 3 dispositivos: 18 famílias.

• 4 dispositivos: 8 famílias.

• 5 dispositivos: 4 famílias.

1. a) Modela estes dados elaborando uma tabela de frequências completa que inclua: número de dispositivos ($x_i$), frequência absoluta ($f_i$), frequência relativa ($h_i$), percentagem ($\%$) e frequência acumulada ($F_i$).
2. b) Considera-se «equipamento moderado» ter no máximo 3 dispositivos em casa. Que coluna e valor da tabela te indica diretamente quantas famílias cumprem esta condição sem teres de somar linha a linha? Que percentagem do total representam?
3. c) Se a junta municipal oferecer um programa de empréstimo de computadores às famílias com 2 ou menos dispositivos, quantas famílias da amostra beneficiaria? Expressa o resultado sob a forma de fração irredutível e de percentagem.

Numa sondagem sobre o número de animais de estimação em 50 lares de um bairro, a tabela de frequências ficou manchada e vários dados perderam-se. A tua missão é reconstruir a tabela completa utilizando as pistas restantes:

1. O total da amostra é $N = 50$.

2. A frequência relativa de ter 1 animal de estimação é exatamente $0,32$.

3. O número de lares com 3 animais de estimação é o dobro do número de lares com 4 animais de estimação.

4. Há apenas um lar com 5 animais de estimação.

5. A percentagem de lares sem animais de estimação (0) é de $12\%$.

Completa a tabela calculando a Frequência Absoluta ($f_i$), a Frequência Relativa ($h_i$) e a Percentagem ($\%$) para cada valor.

Uma plataforma de streaming analisou o número de horas que 40 adolescentes passam a ver séries durante o fim de semana. Forneceram-nos apenas a coluna das Frequências Absolutas Acumuladas ($F_i$):

• 1 hora: $F_1 = 6$

• 2 horas: $F_2 = 15$

• 3 horas: $h_3 = 0,25$ (Frequência relativa, não acumulada)

• 4 horas: $F_4 = 34$

• 5 horas: $F_5 = 40$

A partir desses dados, obtenha a tabela de frequências completa, incluindo a Frequência Absoluta ($f_i$) de cada valor, a Frequência Relativa Acumulada ($H_i$) e a Percentagem ($\%$) de cada um.

Num torneio de e-sports, regista-se o número de vitórias de 80 participantes. Sabe-se que o gráfico circular que representa estes dados tem os seguintes ângulos para cada categoria:

• 0 vitórias: $72^\circ$

• 1 vitória: $108^\circ$

• 2 vitórias: $144^\circ$

• 3 vitórias: O restante do círculo.

Construa a tabela de frequências completa ($f_i$, $h_i$, $\%$) sabendo que o total de indivíduos é $N = 80$. Quantos jogadores obtiveram o número máximo de vitórias?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma prova de matemática do 1º ano do ESO tem notas de 1 a 10. O professor dá-nos a seguinte informação sobre os resultados dos 30 alunos:

1. $20\%$ da turma obteve classificação 5.

2. As classificações 1, 2, 3 e 10 têm frequência absoluta igual a 0.

3. Há o mesmo número de alunos com classificação 6 e classificação 7.

4. A frequência relativa dos que tiveram classificação 9 é $0,1$.

5. Há 4 alunos com classificação 4 e 3 alunos com classificação 8.

Calcule quantos alunos tiveram classificação 6 e classificação 7, e elabore a tabela de frequências completa com todas as colunas estudadas ($f_i, F_i, h_i, H_i, \%$).

A Câmara Municipal registou o número de ocupantes dos veículos que entraram no centro ontem. Foram detetados erros no relatório final. Identifique quais os dados impossíveis ou incorretos na seguinte tabela de 200 veículos e corrija-a, supondo que, na linha de "3 pessoas", o dado incorreto é o da coluna $f_i$ (e não os de $h_i$ nem da porcentagem):

Foi realizado um estudo sobre o consumo diário de fruta numa amostra de pessoas. Sabe-se que:

• $H_2$ (Frequência relativa acumulada de consumir 2 peças) é $0,75$.

• $f_1 = 12$

• $f_0$ (0 peças) é metade de $f_1$.

• O total da amostra é $N = 40$.

Calcule a frequência absoluta de consumir 2 peças ($f_2$) e complete a tabela para os valores 0, 1, 2 e 3 (sabendo que 3 é o valor máximo do estudo).

Num controlo de qualidade de uma fábrica de lâmpadas, são testadas 120 unidades para ver quantas horas duram antes de falhar (arredondado a milhares de horas). Os dados recolhidos são:

• $35\%$ duraram 1000h.

• A frequência absoluta das de 2000h é 30.

• A frequência relativa das de 3000h é $0,15$.

• O resto das lâmpadas durou 4000h.

Organiza estes dados numa tabela de frequências que inclua frequências absolutas, relativas, percentagens e frequências acumuladas. Que percentagem de lâmpadas durou 3000 horas ou mais?

Pergunta-se a um grupo de alunos o número de livros lidos no último ano. Não nos dão o total de alunos, mas sabemos que:

• Frequência absoluta de 1 livro: $f_1 = 8$.

• Frequência relativa de 1 livro: $h_1 = 0,16$.

• Frequência relativa acumulada até 2 livros: $H_2 = 0,5$.

• Frequência absoluta de 3 livros: $f_3 = 15$.

• O restante dos alunos leu 4 livros (todos leram pelo menos 1 livro e ninguém leu mais de 4).

Primeiro, calcule o tamanho da população ($N$). Depois, complete a tabela de frequências e descubra quantos alunos leram 4 livros.

Duas turmas de 1.º de ESO competem numa campanha escolar de reciclagem de embalagens durante uma semana:

• No 1.º A há 25 alunos, e 15 deles reciclaram mais de 5 embalagens.

• No 1.º B há 30 alunos, e 17 deles reciclaram mais de 5 embalagens.

Para atribuir o prémio à turma mais empenhada propõem-se dois critérios:

• Critério do Sérgio: «Deve ganhar o 1.º B porque a sua frequência absoluta é maior ($17 > 15$). Reciclaram mais alunos».

• Critério da Laura: «Não é justo comparar frequências absolutas porque os grupos não têm a mesma dimensão; devemos comparar frequências relativas ou percentagens».

1. a) Aplica ambos os métodos: calcula a frequência absoluta e a frequência relativa (em percentagem) de alunos empenhados em cada turma. Que grupo ganha segundo cada critério?
2. b) Justifica de forma fundamentada qual dos dois métodos é estatisticamente válido para comparar duas amostras de dimensões diferentes ($N_A \ne N_B$) e por que razão o outro pode levar a conclusões erradas.
3. c) Apresenta um exemplo numérico com dois grupos de dimensões diferentes ($N_1 = 20$ e $N_2 = 40$) onde ambos os critérios (absoluto e relativo) coincidam ao apontar o mesmo grupo como vencedor, e explica por que razão isso acontece.

Num clube de leitura juvenil analisa-se quantos livros leram os seus membros durante o último trimestre. A variável assume apenas valores inteiros de 0 a 4. Devido a uma falha informática, parte do relatório foi apagada, mas conhecem-se as seguintes relações:

1. A frequência relativa acumulada para 2 ou menos livros é $H_2 = 0,70$ (ou seja, $70\,\%$ dos membros leu no máximo 2 livros).

2. Exatamente $20\,\%$ dos membros leu 3 livros ($h_3 = 0,20$).

3. Apenas 4 membros leram 4 livros ($f_4 = 4$).

4. O número de membros que não leu nenhum livro ($x_0 = 0$) é exatamente igual ao número de membros que leu 2 livros ($x_2 = 2$).

5. O número de membros que leu 1 livro ($x_1 = 1$) é o dobro do dos que não leram nenhum.

1. a) A partir das proporções dos membros que leram 3 e 4 livros, deduz fundamentadamente a dimensão total da amostra ($N$).
2. b) Utilizando o total $N$ e as condições sobre 0, 1 e 2 livros, calcula a frequência absoluta ($f_i$) de cada um desses três valores.
3. c) Constrói a tabela de frequências completa ($x_i$, $f_i$, $h_i$, $\%$, $F_i$) e verifica se se cumprem todas as condições do enunciado e as somas de controlo.

Numa turma de 1.º de ESO com $N = 40$ estudantes realiza-se uma votação sobre o principal meio de transporte que utilizam para se deslocarem para a escola:

• A pé: 18 alunos.

• De autocarro urbano: 12 alunos.

• De bicicleta ou trotinete: 6 alunos.

• De carro familiar: 4 alunos.

1. a) Estima sem calcular:

• Observando que o total é 40, a percentagem de estudantes que vai a pé será maior, menor ou igual a $50\,\%$? Justifica a tua estimativa com uma frase.

• O grupo de carro familiar chegará aos $15\,\%$ do total? Justifica porquê.

1. b) Calcula: constrói a tabela de frequências completa com as colunas: meio de transporte ($x_i$), frequência absoluta ($f_i$), frequência relativa ($h_i$) e percentagem ($\%$).
2. c) Verifica: compara as percentagens exatas que obtiveste com as tuas estimativas da alínea a) e verifica as somas de controlo: $\sum f_i$ e $\sum h_i$.