Problemas com números inteiros

A Salma tem $34\ €$ no seu mealheiro. Decide comprar um livro que custa $15\ €$ e uma mochila que custa $25\ €$. Como não tem dinheiro suficiente, os pais dizem que ela pode ficar a dever o valor que falta. Que número inteiro representa o saldo final da Salma em relação aos pais?

Num torneio de videojogos, a equipa "Os Gamers" tem um total de $-150$ pontos acumulados por ter cometido infrações. Se na última ronda conseguir uma bonificação de $225$ pontos, quantos pontos tem agora no seu placar?

O João tem um saldo de $-24\ €$ no seu cartão de transporte porque se esqueceu de o carregar. Se aceder à aplicação de transportes e fizer um carregamento de $30\ €$, qual será o seu novo saldo disponível para viajar?

A Marta tem $45€$ na sua conta bancária. Durante o fim de semana, realiza as seguintes operações: paga a assinatura de uma plataforma de séries por $12€$, recebe uma transferência MB WAY do pai de $20€$ e compra um livro que lhe custa $15€$. Se no final do domingo o banco lhe cobrar uma comissão de manutenção de $3€$, qual é o saldo final da sua conta?

Um estafeta de comida ao domicílio entra no elevador de um grande centro comercial no piso da terceira cave, que se indica como piso $-3$. Primeiro sobe $7$ pisos para entregar um pedido e, logo depois, desce $2$ pisos para recolher outra encomenda. Em que piso se encontra o estafeta depois destes movimentos?

Na figura podes ver os pisos do elevador e o ponto de partida.

Um mergulhador está submerso no oceano a uma profundidade de $18$ metros abaixo do nível do mar ($-18\ m$). Se ele sobe $7$ metros para observar um recife de coral e depois volta a descer $4$ metros, a que profundidade se encontra no final? Exprime o resultado com um número inteiro.

O pico mais alto de uma ilha vulcânica está a $1\ 200$ metros acima do nível do mar. Na mesma ilha, existe uma caverna submarina cuja base está a $85$ metros abaixo do nível do mar. Qual é a diferença de altitude entre o topo do pico e a base da caverna?

Um mergulhador que está a explorar um recife de coral encontra-se a $14$ metros abaixo do nível do mar. Se decidir descer outros $18$ metros para observar vestígios arqueológicos e depois subir $9$ metros para se aproximar da superfície, a que profundidade se encontra agora? Represente a situação usando números inteiros.

O cume do Everest está a uma altitude de $+8\,848$ metros acima do nível do mar, enquanto o ponto mais profundo da Fossa das Marianas se encontra a $-11\,034$ metros. Qual é a distância vertical total entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo do planeta?

Um historiador está a estudar a vida de um escultor da Grécia Antiga. Segundo os registos, o escultor nasceu no ano $495$ a.C. e faleceu no ano $429$ a.C. Quantos anos viveu esse escultor?

Para descobrir quantos anos viveu o imperador romano César Augusto, que nasceu no ano $63$ a.C. e morreu no ano $14$ d.C., o Marcos faz no seu caderno a seguinte operação: $63 - 14 = 49$ anos.

1. a) Explica detalhadamente porque é que a abordagem do Marcos é incorreta do ponto de vista da reta numérica e da passagem do tempo.
2. b) Que erro cometeu com os sinais dos números inteiros que representam cada data histórica?
3. c) Escreve a operação correta com números inteiros (indicando o sinal de cada ano e a subtração entre eles) e calcula a idade real com que Augusto faleceu.

Pitágoras, o famoso matemático e filósofo grego, nasceu no ano $570$ a.C. e morreu no ano $495$ a.C. Com que idade morreu Pitágoras? Utiliza números inteiros (associando os anos antes de Cristo a números negativos) para realizares o cálculo.

A filósofa grega Hipátia de Alexandria morreu no ano $415$ d.C. à idade de $45$ anos. O seu pai, Teão de Alexandria, era um famoso matemático que nasceu $80$ anos antes de ela morrer.

1. a) Em que ano nasceu Hipátia? (Exprime como um número inteiro).
2. b) Em que ano nasceu o seu pai Teão?
3. c) Que idade tinha Teão quando a sua filha nasceu?

Numa estância de esqui da Serra da Estrela, o termómetro marcava às 8:00 da manhã uma temperatura de $-6\,^\circ\mathrm{C}$. Às 12:00 do meio-dia, a temperatura tinha subido $9\,^\circ\mathrm{C}$, e às 20:00 da noite tinha descido $7\,^\circ\mathrm{C}$ em relação à do meio-dia. Que temperatura marcava o termómetro no final do dia?

Um estafeta da Amazon começa o seu turno no andar $3$ de um grande centro logístico. Primeiro desce $5$ andares para ir buscar uma encomenda à cave, depois sobe $7$ andares para a entregar num escritório e, finalmente, desce outros $3$ andares para descansar no bar. Em que andar fica o bar? Exprime o resultado com um número inteiro.

Num jogo de tabuleiro, ganham-se $15$ pontos por cada resposta correta, mas perdem-se $8$ pontos por cada erro e $4$ pontos por cada pergunta deixada sem resposta. Se de um total de $20$ perguntas acertou $12$, errou $5$ e não respondeu às demais, qual é a pontuação final?

Um cientista está a realizar uma experiência química. Introduz um composto num congelador especial que baixa a temperatura da amostra $4^\circ C$ a cada hora. Se a amostra estava inicialmente à temperatura ambiente de $18^\circ C$, que temperatura terá a amostra depois de $6$ horas? Expressa o resultado por meio de uma operação combinada de números inteiros.

Uma equipa de espeleologia explora um sistema de algares na Serra da Estrela. A entrada da gruta situa-se a $+1\,240\text{ m}$ acima do nível do mar. Durante a expedição registam os seguintes troços verticais sucessivos: descem um algar vertical de $180\text{ m}$, descem por uma rampa de rocha outros $95\text{ m}$, escalam uma chaminé interior subindo $40\text{ m}$ e, finalmente, descem por um poço de $115\text{ m}$ até alcançar uma sala com um lago subterrâneo.

1. a) Modela a expedição escrevendo uma única expressão com números inteiros que inclua a cota inicial e cada um dos deslocamentos verticais com o seu sinal correspondente.
2. b) Calcula a altitude da sala subterrânea em relação ao nível do mar realizando as somas por ordem, da esquerda para a direita.
3. c) Que distância vertical total separa a entrada da gruta do lago subterrâneo?

Numa estação de esqui nos Pirenéus, o termómetro marcava $-5^{\circ}C$ às sete da manhã. Às doze horas, a temperatura tinha subido $8^{\circ}C$, mas ao chegar à meia-noite, desceu $6^{\circ}C$ em relação à temperatura do meio-dia. Que temperatura o termómetro marcava no final do dia?

Numa estação meteorológica do IPMA na Guarda, o termómetro marca às 07:00 da manhã uma temperatura de $-7\,^\circ\text{C}$. Ao longo do dia registam-se as seguintes variações térmicas: sobe $11\,^\circ\text{C}$ até ao meio-dia, desce $4\,^\circ\text{C}$ a meio da tarde e desce outros $3\,^\circ\text{C}$ ao cair da noite.

1. a) Antes de calcular o resultado exato, estima de forma fundamentada se a temperatura final à meia-noite será positiva, negativa ou exatamente $0\,^\circ\text{C}$, comparando mentalmente a subida total com as descidas totais acumuladas.
2. b) Escreve a cadeia de somas com números inteiros, calcula passo a passo e da esquerda para a direita a temperatura que o termómetro marca no final do dia e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

Um jovem empreendedor decide abrir uma loja online de t-shirts personalizadas. Durante o seu primeiro mês, regista os seguintes movimentos na sua conta bancária:

• Recebe um investimento inicial de $1\,200$ €.

• Paga o aluguer da plataforma e a publicidade: $450$ €.

• Compra materiais no valor de $600$ €.

• Vende $45$ t-shirts a $15$ € cada uma.

• Devolvem-lhe $8$ t-shirts com defeito, pelas quais tem de reembolsar o valor integral aos clientes.

• No final do mês, o banco cobra-lhe uma comissão de $12$ €.

Calcule o balanço final do mês e explique se ele obteve lucros ou prejuízos em relação ao seu investimento inicial.

Num laboratório científico, está a ser realizada uma experiência com uma substância gasosa. A temperatura inicial da amostra é de $12$ ºC abaixo de zero. O processo segue estas fases:

1. Durante os primeiros $5$ minutos, a temperatura desce $3$ ºC por minuto.

2. Depois, é introduzida numa câmara de calor onde a temperatura sobe $48$ ºC no total.

3. Finalmente, a câmara é desligada e a temperatura desce a um ritmo constante de $4$ ºC por minuto até atingir a temperatura de congelação da amostra, que é de $-25$ ºC.

Quanto tempo durou a fase final de arrefecimento (ponto 3)? Qual foi a temperatura máxima atingida durante toda a experiência?

Um explorador de grutas submarinas começa o seu mergulho a partir de uma plataforma situada a $4$ metros acima do nível do mar.

• Primeiro, desce a uma velocidade constante de $2$ metros por minuto durante $15$ minutos.

• Depois, encontra uma corrente ascendente que o eleva $12$ metros.

• Finalmente, desce até ao fundo da gruta, cuja posição em relação ao nível do mar é o triplo da posição em que se encontra nesse momento.

Considera o nível do mar como $0$, de modo que as posições acima são positivas e as que estão abaixo são negativas.

Em que posição se encontra o fundo da gruta? Expressa o resultado como um número inteiro relativo ao nível do mar.

Um estafeta utiliza um elevador num grande centro logístico que possui andares acima e abaixo do solo (andar $0$). Realiza o seguinte percurso:

1. Sobe do andar $0$ até ao andar $+12$.

2. Desce $15$ andares para ir buscar uma encomenda.

3. Sobe $7$ andares para a entregar.

4. Desce o dobro de andares que acabou de subir.

5. Finalmente, sobe até ficar a meio caminho entre o andar onde está e o andar $+8$.

Em que andar se encontra o entregador no final do seu dia de trabalho? Quantos andares ele percorreu no total (contando subidas e descidas)?

Um drone de vigilância florestal descola de uma base situada a $850$ metros de altitude. Durante a sua patrulha, realiza os seguintes movimentos:

1. Sobe $120$ metros para evitar uma montanha.

2. Desce $300$ metros para analisar uma área de vegetação baixa.

3. Desloca-se horizontalmente (sem mudar de altitude) e depois desce outros $150$ metros.

4. Por uma falha técnica, cai no fundo de um barranco que está a uma altitude de $-20$ metros (abaixo do nível do mar).

Calcula:

1. a) Quantos metros desceu o drone na sua última queda (passo 4)?

1. b) Se o drone fosse capaz de subir do barranco diretamente até à base inicial, quantos metros deveria ascender?

O clube desportivo de uma escola gere os seus fundos para o trimestre. Dispõem de um saldo inicial de $+180$ € na conta escolar. Durante o trimestre registam estes seis movimentos: compra de material de treino ($-95$ €), quotas de sócios inscritos ($+140$ €), reparação de balizas ($-60$ €), receitas de uma rifa solidária ($+210$ €), pagamento a equipas de arbitragem ($-130$ €) e taxa de inscrição num torneio distrital ($-80$ €).

Dois membros da direção propõem dois métodos de cálculo diferentes:

• Método 1 (cronológico): Escrever o saldo inicial e somar ou subtrair cada movimento um a um, na ordem temporal exata em que aconteceram.

• Método 2 (por blocos): Somar por um lado todas as receitas ao saldo inicial, somar por outro lado todas as despesas em valor absoluto e, finalmente, subtrair ambas as quantias.

1. a) Aplica ambos os métodos separadamente e verifica que se obtém o mesmo saldo final.
2. b) Imagina que a entidade bancária cobra uma penalização fixa de $15$ € no instante exato em que a conta passa a estar a descoberto (saldo estritamente inferior a $0$ €). Justifica qual dos dois métodos é indispensável utilizar para averiguar se o clube terá de pagar essa penalização e deduz se o clube chegou a ter saldo negativo em algum momento do trimestre.

Uma equipa de arqueologia marinha na baía de Lagos estuda vestígios submersos a diferentes profundidades em relação à superfície do mar ($0\text{ m}$) e em diferentes épocas históricas:

• Vestígios fenícios: datados do ano $750$ a.C. e situados a $-38\text{ m}$ de profundidade.

• Galé romana: datada do ano $125$ d.C. e situada a $-54\text{ m}$ de profundidade.

1. a) Modela através de uma subtração de números inteiros o tempo decorrido entre ambos os acontecimentos históricos e calcula quantos anos passaram entre o naufrágio fenício e o romano, justificando por que razão a distância em anos é sempre um valor positivo.
2. b) Um drone submarino parte dos vestígios fenícios, desce em linha reta até à profundidade da galé romana para a filmar e, em seguida, sobe $21\text{ m}$ na vertical para transmitir os dados recolhidos. Escreve a expressão com números inteiros e determina a que profundidade final fica o drone.
3. c) Justifica a diferença matemática entre a posição final do drone em relação à superfície do mar (grandeza com sinal) e a distância total percorrida pelo drone nas suas duas manobras verticais (grandeza que acumula distâncias).