O conjunto dos números racionais

Numa pizzaria, dividiram uma pizza familiar em $8$ fatias idênticas. Se o Tomás comeu $3$ fatias, expressa por meio de uma fração a parte da pizza que ele consumiu e identifica claramente qual é o numerador e qual é o denominador. Como se lê essa fração?

Escreva os seguintes números naturais em forma de fração (podes usar o denominador que preferires, desde que o resultado seja correto):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

Em matemática, os números organizam-se em "famílias" ou conjuntos. Observa o seguinte diagrama de Venn que representa os conjuntos dos números Naturais ($\mathbb{N}$), Inteiros ($\mathbb{Z}$) e Racionais ($\mathbb{Q}$).

Posiciona cada um dos seguintes números no seu lugar correspondente dentro do diagrama:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

O Tomás está a estudar os números racionais e afirma o seguinte no seu caderno:

1) «O número $A = \frac{-18}{-3}$ não pertence ao conjunto dos números racionais ($\mathbb{Q}$) porque a divisão dá $+6$, e $+6$ é um número inteiro, não uma fração».

2) «O número $B = -\frac{5}{-2}$ é negativo porque tem dois sinais menos».

Identifica o erro conceptual que o Tomás comete em cada uma das suas afirmações, explica pelas tuas palavras por que razão está enganado (relembrando a relação entre os números inteiros e os racionais, bem como a regra dos sinais nas frações) e escreve o valor simplificado e o sinal definitivo de $A$ e de $B$.

Copia no teu caderno a reta numérica da figura (com o 0, o 1 e o 2, e cada unidade dividida em 4 partes iguais) e situa nela os seguintes números racionais:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Representa na seguinte reta numérica os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ que correspondem a estes números racionais. Cada unidade está dividida em 4 partes iguais.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

No projeto de um novo chip de memória, um engenheiro precisa de posicionar três sensores numa linha lógica. O sensor A está na posição $\frac{2}{5}$ e o sensor B na posição $\frac{3}{5}$.

O engenheiro precisa de colocar um terceiro sensor C exatamente no ponto médio entre A e B. Além disso, deve colocar um sensor D que esteja no ponto médio entre A e C.

Calcule as frações que representam as posições de C e D e represente-as numa reta numérica dividida adequadamente.

Três amigos estão a completar o "Passe de Batalha" do seu videojogo favorito. Cada um progrediu uma fração diferente do total:

• Marcos: completou $\frac{12}{18}$ do total.

• Sara: completou $\frac{20}{30}$ do total.

• Alexandre: completou $\frac{2}{3}$ do total.

Raciocine se os três amigos estão no mesmo nível do jogo encontrando a fração irredutível de cada um.

Num estudo sobre a utilização do telemóvel, foi analisada que fração do armazenamento total é ocupada por diferentes aplicações no telemóvel da Beatriz:

• Redes Sociais: $\frac{3}{10}$ do total.

• Jogos: $\frac{2}{5}$ do total.

• Fotos e Vídeos: $\frac{1}{4}$ do total.

1. a) Reduza as frações ao denominador comum.
2. b) Ordene as categorias da maior para a menor ocupação.
3. c) Resta espaço livre no telemóvel? Explique a sua resposta.

Numa competição de saltos, os juízes anotam as distâncias de quatro atletas. Alguns resultados são dados em forma de fração e outros em decimal:

• Atleta 1: $6,4$ metros.

• Atleta 2: $\frac{13}{2}$ metros.

• Atleta 3: $6,35$ metros.

• Atleta 4: $\frac{32}{5}$ metros.

1. a) Passa todas as medidas para a forma decimal.

1. b) Que dois atletas saltaram exatamente a mesma distância?

1. c) Ordena os atletas desde o que saltou menos até ao que saltou mais (se houver empate, indica-o).

Para ordenar do menor para o maior os números racionais $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ e $-\frac{7}{10}$, dois alunos propõem estratégias diferentes: - O João diz: «É melhor calcular a expressão decimal de cada fração fazendo a divisão e comparar todos os números na forma decimal». - A Sara diz: «É preferível escrever $-0,8$ na forma de fração irredutível, reduzir as quatro frações a um denominador comum positivo e comparar os seus numeradores». a) Aplica o método do João e escreve a ordem obtida. b) Aplica o método da Sara para verificar o resultado. c) Qual dos dois métodos consideras mais adequado e preciso neste caso particular? Justifica a tua resposta analisando o tipo de dízima que produz a fração $-\frac{5}{6}$ e o eventual risco de arredondamento.

Três amigos, Ioana, Marcos e Rayan, estão a descarregar um videojogo. Ao cabo de uma hora, a Ioana descarregou $\frac{13}{20}$ do total, o Marcos $\frac{19}{30}$ e o Rayan completou $\frac{5}{8}$.

1. Ordene os amigos da maior para a menor quantidade descarregada utilizando o método do mínimo múltiplo comum para comparar as frações.

2. Se o videojogo ocupa $120$ GB, quantos GB faltam para cada um descarregar? Exprima os resultados com frações e números inteiros.

Num concurso de robótica, os protótipos devem percorrer uma pista de $10$ metros. O robô "Zeta" parou quando lhe faltava percorrer $\frac{1}{5}$ do total da pista. O robô "Sigma" parou quando tinha percorrido $\frac{7}{9}$ do total.

1. a) Representa numa mesma reta numérica as posições de ambos os robôs, tomando o $0$ como a partida e o $1$ como a meta (a pista completa). Divide a unidade da reta de modo a poderes situar ambos os pontos com exatidão.

1. b) Qual dos robôs ficou mais perto da meta? Justifica a tua resposta comparando as frações através do produto cruzado.

Classifique as seguintes frações em próprias, impróprias ou iguais à unidade:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Para uma festa de aniversário foram compradas várias pizzas do mesmo tamanho. No final da festa, sobraram os seguintes pedaços:

• $\frac{3}{4}$ de uma pizza de presunto.

• $\frac{5}{4}$ de pizzas de pepperoni.

• $\frac{1}{2}$ de uma pizza vegetariana.

1. a) Exprime a fração de pizza de pepperoni como um número misto.
2. b) Se juntarmos todas as sobras, temos mais ou menos de 3 pizzas inteiras? Justifica a resposta realizando a soma.

Numa estação de monitorização da bacia do rio Tejo regista-se a descida do caudal num canal de rega durante um episódio de seca. O relatório técnico indica que a variação acumulada do nível é de $-\frac{37}{8}$ metros.

1. a) Antes de calculares qualquer casa decimal, estima fundamentadamente entre que dois números inteiros consecutivos se encontra este número racional na reta numérica e justifica de qual dos dois inteiros estará mais próximo.
2. b) Efetua a divisão para obteres a sua expressão decimal exata e verifica se a tua estimativa foi acertada.
3. c) Desenha mentalmente ou descreve como localizarias exatamente este ponto na reta numérica: explica em quantas partes iguais dividirias o segmento entre os dois inteiros e quantas dessas partes contarias a partir do inteiro correspondente.

Um alfaiate tem uma peça de tecido de $15$ metros. Corta um primeiro pedaço que mede $3$ metros e $\frac{3}{4}$ de metro. Depois, corta um segundo pedaço que mede metade do que media o primeiro.

1. Exprime o comprimento de cada corte como uma fração imprópria e como um número misto.

2. Que fração do tecido original ainda resta no rolo?

Numa escavação arqueológica no sítio da Citânia de Briteiros, foram classificados diferentes achados por meio de etiquetas numéricas. Tens de ajudar os investigadores a organizar estas peças nas respetivas caixas (Conjuntos numéricos).

Dada a seguinte lista de etiquetas:

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ e $F = \sqrt{144}$

Indica, fundamentadamente, quais destes números pertencem a cada um dos seguintes conjuntos, tendo em conta que um número pode pertencer a vários:

1. Números Naturais ($\mathbb{N}$)

2. Números Inteiros ($\mathbb{Z}$)

3. Números Racionais ($\mathbb{Q}$)

Observe a seguinte figura geométrica e escreva no seu caderno a fração que representa a região sombreada a laranja.

Estamos a preparar uma festa e compramos pacotes de refrigerantes. Cada pacote tem $6$ latas. Se para a festa precisamos de utilizar $\dfrac{12}{6}$ de pacotes, quantos pacotes inteiros de refrigerantes temos de comprar? Esta fração é um número natural?

Represente graficamente no seu caderno, utilizando quadrados ou retângulos, as seguintes frações:

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Dica: vais precisar de desenhar mais de uma figura inteira).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Indique que fração de hora representam os seguintes intervalos de tempo (lembre-se de que uma hora tem $60$ minutos):

1. a) $15$ minutos.

1. b) $30$ minutos.

1. c) $10$ minutos.

1. d) $60$ minutos.

Um influencer tem $120\,000$ seguidores. Na segunda-feira, $\frac{2}{5}$ dos seus seguidores colocaram "gosto" na sua fotografia. Na terça-feira, o mesmo foi feito por $\frac{3}{4}$ partes dos que colocaram "gosto" na segunda-feira.

1. a) Quantas pessoas colocaram "gosto" na segunda-feira?
2. b) Quantas pessoas colocaram "gosto" na terça-feira?
3. c) Que fração do total de seguidores representam as pessoas que colocaram "gosto" na terça-feira?

Observe a seguinte figura geométrica. Se o quadrado grande representa a unidade ($1$), determine qual fração representa a parte sombreada em laranja. Para resolver, identifique primeiro qual fração do total representa cada uma das peças que compõem a figura.

Encontra os valores das incógnitas $x$, $y$ e $z$ para que todas as frações da seguinte sucessão sejam equivalentes entre si:

Depois de encontrares os valores, explica que número natural foi utilizado como fator de ampliação ou simplificação em cada passo em relação à fração irredutível do conjunto.

Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso porque sempre podemos encontrar uma fração entre outras duas, por mais próximas que estejam.

Encontra três frações compreendidas entre $\frac{4}{7}$ e $\frac{5}{7}$ que tenham como denominador $28$. Ordena as cinco frações resultantes da menor para a maior.

Uma das propriedades fundamentais do conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$ em relação ao dos inteiros $\mathbb{Z}$ é a densidade: entre dois números racionais distintos é sempre possível encontrar outro número racional, ao passo que entre dois inteiros consecutivos não existe nenhum outro inteiro.

1. a) Escreve os números inteiros $-3$ e $-2$ como duas frações que tenham o mesmo denominador positivo, de modo a poderes encontrar imediatamente pelo menos três números racionais distintos situados estritamente entre eles. Escreve esses três racionais sob a forma de fração irredutível.
2. b) Resolve o seguinte problema inverso: encontra uma fração irredutível $x = \frac{p}{q}$ que esteja estritamente compreendida entre $-\frac{4}{5}$ e $-\frac{3}{5}$ sabendo que:

1. O seu denominador $q$ é um número primo compreendido entre $10$ e $15$.

2. A soma do seu numerador inteiro com o seu denominador é exatamente $3$ (ou seja, $p + q = 3$).

3. O valor absoluto do seu numerador é estritamente menor do que $10$.

Demonstra detalhadamente que o número racional que encontraste cumpre todas e cada uma das condições.

Um número racional pode ser escrito sob a forma de fração $\frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ são números inteiros com $b \neq 0$. Encontra um número racional que cumpra simultaneamente as seguintes quatro condições:

1) É um número estritamente negativo.

2) O seu valor está compreendido entre $-2$ e $-1$ na reta numérica.

3) O seu denominador $b$ é um número primo menor do que $6$.

4) O valor absoluto do seu numerador é igual ao oposto de $-5$.

Escreve a fração que cumpre estas condições, verifica passo a passo que satisfaz cada uma delas e explica entre que duas divisões da reta numérica ficaria situada se dividires cada unidade em tantas partes quantas indica o seu denominador.

Numa estação meteorológica da Serra da Estrela (IPMA) registaram-se as seguintes anomalias térmicas em quatro dias consecutivos: $-\frac{9}{4}$ ºC, $-\frac{8}{3}$ ºC, $0,75$ ºC e $\frac{7}{5}$ ºC. a) Sem fazeres divisões com decimais, estima fundamentadamente entre que dois números inteiros consecutivos se encontra cada uma das duas anomalias negativas e deduz qual delas corresponde à temperatura mais baixa (menor valor). b) Passa todas as frações para a sua expressão decimal finita ou periódica para verificares com exatidão a tua estimativa prévia. c) Ordena os quatro registos do menor para o maior utilizando o símbolo $<$ e indica a que conjunto numérico mais específico (naturais $\mathbb{N}$, inteiros $\mathbb{Z}$ ou racionais $\mathbb{Q}$) pertenceria o resultado se somasses as duas anomalias positivas.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou durante quatro dias consecutivos em Bragança as seguintes anomalias térmicas (variações em relação à temperatura média habitual):

• Segunda-feira: $-\frac{7}{2}$ ºC

• Terça-feira: $+\frac{5}{4}$ ºC

• Quarta-feira: $-\frac{11}{4}$ ºC

• Quinta-feira: $-\frac{8}{5}$ ºC

1. a) Modela a evolução térmica ordenando os quatro dias por ordem crescente de anomalia (desde o dia com o desvio mais frio até ao dia com o mais quente) utilizando o símbolo $<$.
2. b) Na sexta-feira mediu-se uma anomalia térmica cujo valor absoluto foi exatamente metade do de segunda-feira, mas com sinal oposto ao de quarta-feira. Expressa a anomalia de sexta-feira sob a forma de fração irredutível e fundamenta qual dos quatro dias anteriores esteve mais próximo do registo térmico de sexta-feira.

Numa aula prática de laboratório analisam-se as perdas de carga de dois circuitos elétricos, expressas como números racionais negativos: $V_1 = -\frac{17}{24}\text{ V}$ e $V_2 = -\frac{11}{16}\text{ V}$. Para determinar qual dos dois circuitos sofre uma perda maior (ou seja, qual dos dois números racionais é menor), dois membros da equipa propõem estratégias distintas:

• Método da Alice: Dividir o numerador pelo denominador em cada fração para obter as suas expressões decimais e comparar algarismo a algarismo.

• Método do Bruno: Reduzir ambas as frações ao mesmo denominador através do mínimo múltiplo comum e comparar diretamente os seus numeradores inteiros.

1. a) Aplica ambos os métodos passo a passo para descobrires qual das duas tensões é menor.
2. b) Reflete sobre os dois procedimentos: que dificuldade acrescida apresenta a divisão da Alice relativamente aos períodos decimais? Justifica por que razão o método do Bruno se revela mais seguro, exato e representativo das propriedades algébricas do conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$.

Identifica quais das seguintes frações darão origem a uma dízima finita e quais a uma dízima infinita periódica (simples ou mista) sem realizar a divisão, observando apenas a decomposição dos seus denominadores:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Dica: Lembra-te da regra dos fatores 2 e 5 no denominador).

A Beatriz tem de determinar que tipo de dízima gera a fração $\frac{21}{60}$ sem realizar a divisão. No seu exame escreve o seguinte: «Decomponho o denominador em fatores primos: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Como na decomposição aparece o número primo 3, que é diferente de 2 e de 5, a fração gera obrigatoriamente uma dízima periódica». a) Explica detalhadamente o erro que a Beatriz cometeu no seu raciocínio. b) Corrige o procedimento simplificando previamente a fração e conclui, justificando a tua resposta, que tipo de número decimal se obtém na realidade.

Concebe duas frações distintas que cumpram ao mesmo tempo as três condições seguintes: 1) O denominador de cada fração deve ser um número inteiro compreendido entre $10$ e $20$. 2) O valor de ambas as frações deve estar compreendido estritamente entre $0,4$ e $0,6$. 3) Uma das frações deve gerar uma dízima finita e a outra deve gerar uma dízima periódica. Justifica a tua resposta verificando a fatorização dos denominadores depois de reduzidas as frações a irredutíveis e calcula a sua expressão decimal.

De acordo com dados do Ministério para a Transição Ecológica sobre a reserva hídrica em Espanha, duas albufeiras apresentam a seguinte situação no início da primavera: - A albufeira A contém $175\text{ hm}^3$ sobre uma capacidade total de $250\text{ hm}^3$. - A albufeira B contém $210\text{ hm}^3$ sobre uma capacidade total de $336\text{ hm}^3$. a) Modela a proporção de água retida relativamente ao total em cada caso através de uma fração irredutível. b) Sem fazeres a divisão completa, demonstra mediante a fatorização dos denominadores irredutíveis se a percentagem decimal de enchimento de cada albufeira corresponde a uma dízima finita ou periódica. c) Após um episódio de chuvas, a albufeira A aumenta o seu volume em $25\text{ hm}^3$ e a albufeira B em $42\text{ hm}^3$. Expressa as novas frações de enchimento, compara-as fundamentadamente e determina qual das duas albufeiras se encontra agora proporcionalmente mais cheia.

Num debate de turma sobre as propriedades do conjunto $\mathbb{Q}$, dois estudantes lançam as seguintes afirmações: - O Marcos afirma: «Qualquer fração irredutível cujo denominador termine em algarismo par dá sempre origem a uma dízima finita, porque o 2 é divisor da base decimal». - A Elena afirma: «Se somares dois números racionais que são dízimas periódicas simples, o resultado nunca pode ser um número inteiro». a) Demonstra que a afirmação do Marcos é falsa propondo um contraexemplo concreto e explica que condição se esqueceu de exigir aos fatores primos do denominador. b) Demonstra que a afirmação da Elena também é falsa encontrando duas frações com desenvolvimento decimal periódico simples cuja soma seja exatamente igual ao número inteiro $2$. c) Constrói uma fração $\frac{p}{q}$ com denominador $q = 60$ cujo valor esteja estritamente entre $1$ e $2$, e que dê origem a uma dízima finita. Explica que condição matemática teve necessariamente de cumprir o numerador $p$ relativamente à decomposição em fatores primos de $60$.