Experiências aleatórias e espaço de resultados

Quais destas experiências são aleatórias? Porquê?

1. a) Retirar uma carta de um baralho bem baralhado e registar o seu naipe.
2. b) Medir o comprimento do seu caderno com uma régua.
3. c) Registar o número de golos do próximo jogo da sua equipa.
4. d) Calcular o perímetro de uma mesa conhecendo as suas medidas.

Indique se cada uma das seguintes experiências é aleatória ou determinística, justificando a sua resposta:

1. a) Calcular quanto custam $3$ kg de laranjas a $2,10\ \text{€}$ o quilo.
2. b) Registar o resultado de lançar uma pionés e ver se cai com a ponta para cima ou de lado.
3. c) Medir o tempo que demora a ferver um litro de água ao lume.
4. d) Registar quem ganha o jogo de basquetebol no sábado.
5. e) Calcular a área de um quadrado de $5$ cm de lado.

O Mateo afirma na aula o seguinte sobre três situações distintas:

1. «Lançar um ovo fresco de um terceiro andar contra o chão é uma experiência aleatória, porque não podemos prever com exatidão em quantos pedaços a casca se vai partir».

2. «Num saco com $5$ berlindes verdes numerados de $1$ a $5$ e $1$ berlinde vermelho com o número $6$, o espaço de resultados é $E = \{\text{verde}, \text{vermelho}\}$, pelo que tirar vermelho é tão provável como tirar verde».

3. «Nesse mesmo saco, o acontecimento “tirar um número menor do que $10$” é um acontecimento possível mas não certo, porque depende da sorte».

1. a) Explica por que razão a afirmação 1 contém um erro concetual: diferencia o resultado essencial do fenómeno (que o ovo se vai partir pelas leis físicas, sendo determinista) dos detalhes secundários.
2. b) Corrige a afirmação 2: escreve o espaço de resultados completo se a experiência consistir em registar a cor e o número do berlinde extraído, e explica por que razão o raciocínio do Mateo sobre a probabilidade é erróneo.
3. c) Corrige a afirmação 3: define o que é um acontecimento certo e justifica que tipo de acontecimento é realmente «tirar um número menor do que $10$» no referido saco.

Escreva o espaço de resultados (todos os resultados possíveis) destas experiências:

1. a) Lançar um dado e registar os pontos.
2. b) Lançar uma moeda e registar o resultado.
3. c) Retirar ao acaso uma bola de um globo numerado de $1$ a $5$.

Escreve o espaço de resultados de cada uma destas experiências aleatórias:

1. a) Lançar uma moeda e registar o resultado.
2. b) Retirar uma bola de uma urna que contém uma bola vermelha, uma verde, uma azul e uma amarela, e registar a sua cor.
3. c) Rodar uma roleta com os números de $1$ a $6$ e registar o número.
4. d) Escolher ao acaso um dia da semana e registar se é «dia útil» ou «fim de semana».

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) emite para um município de montanha um aviso de queda de neve com três níveis possíveis de alerta consoante a espessura de neve prevista em $24$ horas: nível verde (sem risco, menos de $2\text{ cm}$), nível amarelo (risco baixo, entre $2$ e $5\text{ cm}$) e nível laranja (risco significativo, mais de $5\text{ cm}$).

1. a) Classifica a experiência «observar o nível de alerta que é finalmente ativado no sábado» como aleatória ou determinista. Justifica a tua resposta tendo em conta a natureza das previsões meteorológicas.
2. b) Escreve o espaço de resultados $E$ dos níveis de alerta contemplados para esse dia.
3. c) Classifica os seguintes acontecimentos em certo, possível ou impossível, justificando cada caso a partir do espaço de resultados:

• Acontecimento $A$: «É ativado o nível verde ou o nível laranja».

• Acontecimento $B$: «É ativado o nível vermelho (risco extremo)», sabendo que para esse dia o IPMA não contemplou o referido nível.

• Acontecimento $C$: «É ativado algum dos níveis verde, amarelo ou laranja».

1. d) Se as autoridades decidirem suspender os transportes escolares unicamente se for ativado o nível laranja, a suspensão do transporte escolar é um acontecimento certo, possível ou impossível no sábado de manhã antes de se conhecer o alerta definitivo? Justifica a tua resposta.

Ao lançar um dado de $6$ faces, classifique estes acontecimentos em certo, possível ou impossível:

1. a) Obter um $5$.
2. b) Obter um $7$.
3. c) Obter um número menor do que $7$.
4. d) Obter um número maior do que $2$.

Numa caixa há $6$ cromos: $4$ de jogadores e $2$ de emblemas. Se tirarmos um cromo ao acaso, classifique estes acontecimentos em certo, possível ou impossível:

1. a) Tirar um cromo de jogador.
2. b) Tirar um cromo de treinador.
3. c) Tirar um cromo de jogador ou de emblema.
4. d) Tirar um cromo de emblema.

Para a festa de final de ano da tua escola estás a desenhar uma roleta da sorte circular dividida em casas numeradas. Deves escolher que números colocar nas casas cumprindo em simultâneo estas quatro condições:

1. O espaço de resultados $E$ dos números que podem sair deve ter exatamente $4$ resultados possíveis distintos.

2. O acontecimento «obter um número ímpar» deve ser um acontecimento certo.

3. O acontecimento «obter um número maior do que $30$» deve ser um acontecimento impossível.

4. O acontecimento «obter um múltiplo de $5$» deve ser um acontecimento possível, mas não certo.

1. a) Propõe um espaço de resultados $E$ que cumpra simultaneamente as quatro condições.
2. b) Justifica passo a passo por que razão a tua proposta cumpre cada uma das condições apresentadas.
3. c) Se adicionasses à tua roleta o número $18$, que condição das anteriores deixaria de se cumprir? Justifica a tua resposta.

Num saco há $9$ bolas vermelhas e $1$ bola azul. Ordene os seguintes acontecimentos da experiência «retirar uma bola ao acaso» do mais provável ao menos provável, explicando o seu critério:

• Acontecimento A: «retirar uma bola vermelha».

• Acontecimento B: «retirar uma bola azul».

• Acontecimento C: «retirar uma bola que não seja verde».

• Acontecimento D: «retirar uma bola verde».

Indique se as seguintes afirmações sobre o acaso são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta:

1. a) Obter um $7$ ao lançar um dado é um acontecimento impossível.
2. b) Se um acontecimento é muito improvável, então é impossível.
3. c) Se eu lançar uma moeda $10$ vezes, é certo que sairá cara exatamente $5$ vezes.
4. d) Se saíram $4$ caras seguidas, no próximo lançamento é mais provável que saia coroa «para compensar».

1. a) Crie uma experiência aleatória cujo espaço de resultados tenha exatamente $6$ resultados equiprováveis. Escreva qual é o seu espaço de resultados.
2. b) Agora, crie uma experiência aleatória que também tenha $6$ resultados possíveis, mas que não sejam equiprováveis, e explique porque não são.
3. c) Para a sua experiência da alínea b), descreva um acontecimento certo, um impossível e um pouco provável.

Num saco opaco há apenas bolas vermelhas e azuis, num total de $10$ bolas, mas não sabemos quantas há de cada cor.

1. a) Descreva um acontecimento certo desta experiência (retirar uma bola ao acaso).
2. b) Descreva um acontecimento impossível.
3. c) Se lhe disserem que o acontecimento «retirar uma bola vermelha» é muito improvável, o que se pode deduzir sobre a composição do saco? Dê duas composições possíveis coerentes com essa informação.
4. d) E se «retirar uma bola vermelha» fosse tão provável quanto «retirar uma bola azul»?

Lançamos duas moedas ao ar e anotamos se sai cara (C) ou coroa (+) em cada uma. A figura mostra o espaço de resultados da experiência.

1. a) Quantos resultados possíveis a experiência tem? Escreve todos eles.
2. b) São equiprováveis? Justifica a tua resposta.
3. c) De quantas formas pode ocorrer o acontecimento «sai pelo menos uma cara»?
4. d) E o acontecimento «saem as duas iguais»?

Lançamos dois dados tetraédricos (dados de $4$ faces numeradas de $1$ a $4$) e calculamos o produto dos dois números obtidos.

1. a) Estima e raciocina previamente: sem construir ainda a tabela completa, achas que o espaço de resultados dos produtos conterá mais de $10$ resultados distintos ou menos de $10$? Pensas que será mais frequente obter um produto par ou um produto ímpar? Justifica a tua intuição inicial.
2. b) Confirma a tua estimativa: desenha no teu caderno uma tabela de dupla entrada de $4 \times 4$ onde as linhas representem o primeiro dado e as colunas o segundo dado, e escreve em cada quadrícula o produto de ambos os números.
3. c) A partir da tabela, escreve entre chavetas o espaço de resultados $E$ de todos os produtos distintos que podem sair. Quantos elementos tem? Compara esta contagem com a tua estimativa da alínea a).
4. d) Conta quantas quadrículas da tabela dão um produto par e quantas dão um produto ímpar. A tua intuição prévia estava correta? Explica matematicamente por que razão nesta experiência os resultados pares são muito mais frequentes do que os ímpares.

Lançamos dois dados de cores diferentes (um azul e um verde) e anotamos a soma dos pontos obtidos.

1. a) Quantos resultados diferentes pode ter a soma? Escreva todos eles.
2. b) Esses resultados são equiprováveis? Verifique, completando no seu caderno uma tabela de dupla entrada com os $36$ pares possíveis (dado azul, dado verde) e contando de quantas formas se obtém cada soma.
3. c) Qual é a soma mais provável? De quantas formas se pode obter?
4. d) E a menos provável?

Num torneio escolar de xadrez participam quatro escolas: IES Ramón y Cajal ($R$), IES Severo Ochoa ($S$), IES Clara Campoamor ($C$) e IES Miguel Delibes ($M$). Para a jornada inaugural deve escolher-se por sorteio um emparelhamento de duas escolas (a ordem não importa: o jogo $R-S$ é o mesmo que $S-R$). Três alunos discutem como determinar o espaço de resultados de todos os confrontos possíveis sem esquecer nenhum:

• O João propõe escrever combinações diretamente ao acaso à medida que lhe forem ocorrendo.

• A Beatriz propõe construir uma tabela de dupla entrada de $4 \times 4$, riscar a diagonal (uma escola não joga contra si própria) e selecionar unicamente as quadrículas acima da diagonal para não duplicar confrontos.

• O Carlos propõe fazer um diagrama em árvore de dois níveis e depois ir apagando à mão os ramos que correspondam a jogos repetidos.

1. a) Compara os três métodos avaliando a sua ordem e eficácia: qual deles é o mais adequado para garantir que não esquecemos nenhum resultado nem contamos jogos duplicados? Justifica a tua escolha face aos outros dois.
2. b) Aplica o método mais adequado que escolheste e escreve detalhadamente o espaço de resultados $E$ de todos os jogos possíveis. Quantos elementos compõem $E$?
3. c) Considera os seguintes acontecimentos nesta experiência e classifica-os em certo, possível ou impossível, indicando os elementos que formam cada acontecimento:

• Acontecimento $A$: «No jogo participa o IES Clara Campoamor».

• Acontecimento $B$: «No jogo defrontam-se duas escolas que começam pela mesma letra».

• Acontecimento $C$: «No jogo participa pelo menos uma das quatro escolas inscritas».

Estás a desenhar um baralho temático para uma oficina de matemática. Dispões de cartões em branco e deves escrever em cada um deles um número natural de $1$ a $20$ e desenhar uma figura geométrica (estrela ou círculo). O teu objetivo é selecionar um conjunto de cartões que cumpra rigorosamente e em simultâneo as seguintes cinco condições:

1. O baralho deve conter exatamente $6$ cartões distintos (este conjunto de $6$ cartões será o espaço de resultados $E$ ao extrair um cartão ao acaso).

2. O acontecimento «extrair um número múltiplo de $3$» deve ser um acontecimento certo.

3. O acontecimento «extrair um cartão com um triângulo» deve ser um acontecimento impossível.

4. O acontecimento «extrair uma estrela com número primo» deve ser um acontecimento possível, mas não certo.

5. Se chamarmos acontecimento $A$ a «tirar um número maior do que $10$» e acontecimento $B$ a «tirar um cartão com círculo», nenhum elemento do espaço de resultados pode pertencer em simultâneo a $A$ e a $B$ (ou seja, nenhum círculo pode ter um número maior do que $10$).

1. a) Desenha um baralho que cumpra todas as condições, detalhando de forma explícita o espaço amostral $E$ com os seus $6$ elementos (indicando o número e a figura de cada cartão).
2. b) Demonstra, analisando uma a uma as cinco condições, que o teu espaço amostral proposto satisfaz todos os requisitos.
3. c) Raciocina matematicamente: seria possível cumprir todas as condições se alterássemos a condição 2 para «extrair um número que seja em simultâneo primo e par», mantendo a exigência de que o baralho tenha $6$ cartões distintos? Justifica a tua resposta com base na definição de número primo.