Triângulos

Num triângulo, conhecemos a medida de dois dos seus ângulos internos: $\hat{A} = 45^\circ$ e $\hat{B} = 75^\circ$. Calcule quanto mede o terceiro ângulo $\hat{C}$ sabendo que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$.

Na aula de Educação Visual, a Leonor está a desenhar um vitral com peças de vidro triangulares. Numa das peças, mediu com o transferidor dois dos seus ângulos internos, que resultam ser $27^\circ$ e $38^\circ$.\na) Antes de calculares o valor exato do terceiro ângulo, estima fundamentadamente se esse ângulo será agudo, reto ou obtuso (observa se a soma dos dois conhecidos supera ou não os $90^\circ$). A partir da tua estimativa, indica que tipo de triângulo esperas obter quanto aos ângulos.\nb) Calcula o valor exato do terceiro ângulo utilizando a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo e verifica se a tua estimativa estava correta.\nc) Sabendo que os três lados desta peça têm comprimentos diferentes, classifica o triângulo quanto aos lados.

Durante uma travessia de alta montanha no Parque Nacional dos Picos de Europa, três abrigos ($A$, $B$ e $C$) estão ligados por trilhos retos formando um triângulo. O guia de montanha revê as fichas técnicas:

• O ângulo no abrigo $A$ mede o triplo do ângulo no abrigo $B$.

• O ângulo no abrigo $C$ mede exatamente $20^\circ$.

• A distância em linha reta entre o abrigo $A$ e o abrigo $B$ é de $7\text{ km}$.

• A distância em linha reta entre o abrigo $B$ e o abrigo $C$ é de $18\text{ km}$.

1. a) Modela a situação estabelecendo uma equação com os ângulos internos do triângulo e determina a medida exata dos ângulos no abrigo $A$ e no abrigo $B$.
2. b) Classifica o triângulo que os três abrigos formam, tanto pelos seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo) como pelos seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno).
3. c) Um caminhante afirma: «Para ir diretamente do abrigo $C$ ao abrigo $A$ em linha reta teremos de caminhar mais de $25\text{ km}$». Demonstra matematicamente, através da desigualdade triangular, por que razão a afirmação do caminhante é impossível.
4. d) O serviço de emergência 112 precisa de instalar uma antena de emergência que fique exatamente à mesma distância dos três abrigos. Identifica o ponto notável do triângulo que os técnicos devem localizar e explica que retas devem traçar sobre o mapa para o encontrar.

No logótipo de uma nova marca de roupa desportiva, aparecem dois retângulos que se cruzam formando vários triângulos. No triângulo central $ABC$, sabemos que o ângulo em $A$ mede $45^\circ$ e que o ângulo externo ao vértice $B$ mede $115^\circ$.

1. Calcule os três ângulos internos do triângulo $ABC$.

2. Classifique o triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Para decorar o seu quarto, a Maria recortou uma bandeirola de tecido com forma de triângulo. Ao medir os seus lados, viu que medem $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ e $20\text{ cm}$. Como se classifica este triângulo quanto ao comprimento dos seus lados?

Observe o sinal de trânsito "Dar prioridade". Tem a forma de um triângulo equilátero. Indique quanto deve medir cada um dos seus ângulos internos sem necessidade de usar um transferidor. Justifique a sua resposta com base nas propriedades deste tipo de polígono.

Numa oficina de design de jogos eletrónicos, um programador precisa de criar uma personagem com a forma de um triângulo isósceles. O ângulo diferente do vértice superior mede o triplo de um dos ângulos da base, menos $20^\circ$. Calcule a medida dos três ângulos da personagem para que o design seja geometricamente correto.

Classifique os seguintes triângulos segundo a amplitude dos seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo):

• Triângulo 1: Os seus ângulos medem $90^\circ$, $40^\circ$ e $50^\circ$.

• Triângulo 2: Os seus ângulos medem $110^\circ$, $30^\circ$ e $40^\circ$.

• Triângulo 3: Os seus ângulos medem $60^\circ$, $60^\circ$ e $60^\circ$.

Numa oficina de design gráfico, estão a criar um novo logótipo que tem a forma de um triângulo. Sabemos que dois dos seus ângulos internos medem $42^\circ$ e $68^\circ$.

1. a) Calcule quanto mede o terceiro ângulo do logótipo.
2. b) Classifique o triângulo quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo).
3. c) Classifique o triângulo quanto aos lados (equilátero, isósceles ou escaleno).

Num jardim, quer-se colocar uma vedação que delimite uma área de flores com forma de triângulo isósceles. O ângulo desigual mede $100^\circ$.

1. a) Quanto mede cada um dos outros dois ângulos da área de flores?
2. b) Se traçarmos a mediana a partir do vértice do ângulo de $100^\circ$ até ao lado oposto, em que dois tipos de triângulos fica dividida a área? Classifique-os segundo os seus ângulos.

O Marcos tem três varetas de madeira para construir uma estrutura triangular. Os comprimentos das varetas são $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ e $4\text{ cm}$. A figura mostra as três varetas desenhadas à mesma escala.

Explica de forma fundamentada se o Marcos conseguirá formar um triângulo com elas ou se lhe será impossível.

Um carpinteiro tem três ripas de madeira para fabricar uma moldura triangular para um espelho. As ripas medem $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $24\text{ cm}$.

1. a) Explique, utilizando a propriedade da soma dos lados de um triângulo, se é possível construir a moldura com essas medidas.
2. b) Se decidir trocar a ripa de $24\text{ cm}$ por uma de $20\text{ cm}$, poderia construí-la agora? Justifique a sua resposta.

Um arquiteto está a desenhar uma rampa para um skatepark. Calculou que o suporte principal deve formar um triângulo de lados $x + 2$ metros, $2x - 1$ metros e $10$ metros.

1. Se o triângulo deve ser isósceles, com os lados $x + 2$ e $2x - 1$ iguais, quanto deve valer $x$?

2. Se $x = 3$, é possível construir esse triângulo? Justifica a tua resposta utilizando a propriedade da soma dos lados de um triângulo.

Num triângulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo de $90^\circ$ medem $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. Como se chamam esses dois lados na terminologia matemática dos triângulos retângulos? E como se chama o lado mais longo que fica oposto ao ângulo reto?

Um parque infantil tem uma caixa de areia em forma de triângulo retângulo. Sabemos que o lado mais longo (a hipotenusa) mede $13\text{ metros}$ e um dos lados que formam o ângulo reto mede $5\text{ metros}$.

1. a) Calcule o comprimento do outro lado da caixa de areia.
2. b) Determine o perímetro total da caixa de areia.
3. c) Calcule a superfície ocupada pela areia.

Um explorador colocou uma corda de $24$ metros a cercar um terreno triangular para montar o seu acampamento.

1. Se o terreno for um triângulo isósceles e um dos lados iguais medir $9 \text{ metros}$, quanto mede o lado restante?

2. Se o explorador quisesse que o triângulo fosse retângulo com lados de $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ e $10 \text{ m}$, a mesma corda serviria? Verifique também se o Teorema de Pitágoras se verifica neste último caso.

Três povoações, Altea ($A$), Belmonte ($B$) e Calar ($C$), estão situadas de forma a formar um triângulo escaleno, como mostra a figura. Pretende-se instalar uma torre de telecomunicações que esteja exatamente à mesma distância das três povoações.

1. a) Que ponto notável do triângulo representa a localização da torre?

1. b) Que retas notáveis tiveste de traçar para encontrar esse ponto? Desenha um esquema aproximado da situação.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Projetou-se um sinal de trânsito triangular que é um triângulo equilátero de $60\text{ cm}$ de lado.

1. a) Se quisermos colocar um rebordo refletor à volta do sinal, quantos metros de material refletor serão necessários?
2. b) Se traçarmos as três bissetrizes do triângulo, como se chama o ponto onde se cruzam? Que propriedade especial tem esse ponto relativamente aos lados do sinal?

Três povoações da serra, Manteigas, Gouveia e Seia, querem construir uma torre de telecomunicações que esteja exatamente à mesma distância das três para que todas tenham a mesma cobertura.

1. a) Como se chama o ponto notável do triângulo onde devem colocar a torre?

1. b) Se o triângulo formado pelas povoações for obtusângulo, explica de forma fundamentada se a torre ficará dentro ou fora da área delimitada pelas três povoações.

1. c) Desenha um esquema aproximado da situação: o triângulo obtusângulo com as três povoações, as linhas que usas para encontrar o ponto e a posição da torre.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um jardim tem a forma de um retângulo de $12 \times 8$ metros. Para instalar um sistema de rega, o jardim foi dividido traçando uma diagonal. Num dos dois triângulos resultantes, quer-se colocar um aspersor circular no incentro.

1. Explique o que são as bissetrizes e por que razão o aspersor no incentro é a melhor opção para ficar à mesma distância dos três lados do triângulo (as duas bordas do jardim e a diagonal).

2. Desenhe o retângulo, a diagonal e o incentro de um dos triângulos de forma esquemática.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa prova de geometria avançada, apresenta-se um triângulo onde as três medianas se intersetam num ponto $G$ (Baricentro). Se a mediana que sai do vértice $A$ mede um total de $12 \text{ cm}$, calcule a medida dos dois segmentos nos quais o ponto $G$ divide essa mediana. (Lembre-se da propriedade: o baricentro divide a mediana em duas partes, sendo uma o dobro da outra).

Observa a seguinte figura composta por dois triângulos. O triângulo $ABC$ é retângulo em $B$ e o triângulo $ACD$ é isósceles com $\overline{AC} = \overline{AD}$.

Se $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ e $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, calcule:

1. a) O comprimento do lado $\overline{AC}$.
2. b) O perímetro total da figura sombreada $ABCD$ sabendo que $\overline{CD} = 7\text{ cm}$.

Observa a figura junta, que representa uma peça metálica. Esta é formada por um triângulo retângulo grande e outro menor no seu interior. Sabemos que o cateto horizontal do grande mede $15 \text{ cm}$ e a sua área é de $60 \text{ cm}^2$. O triângulo pequeno é semelhante e tem uma base de $5 \text{ cm}$.

1. Calcula a altura do triângulo grande.

2. Utilizando a lógica das proporções, calcula a área do triângulo pequeno. (Dica: se a base é a terça parte, o que acontecerá à altura?).