Exercícios e aplicações da semelhança

A maqueta de um novo centro desportivo está construída na escala $1:200$. Se a piscina olímpica mede $25 \text{ cm}$ de comprimento na maqueta, quantos metros medirá a piscina na realidade?

Um mapa rodoviário tem uma escala $1:50\,000$. Se a distância entre duas cidades vizinhas no mapa é de $12 \text{ cm}$, quantos quilómetros de distância real as separam?

Dois municípios, A e B, estão separados por $18$ km na realidade. Num mapa rodoviário, essa distância é representada por um segmento de $12$ cm.

1. Calcule a escala do mapa.

2. Se duas outras povoações estão separadas no mesmo mapa por $7,5$ cm, qual é a sua distância real em quilómetros?

Temos dois retângulos semelhantes. O primeiro mede $8 \text{ cm}$ de largura e $12 \text{ cm}$ de altura. Se o segundo tem uma largura de $20 \text{ cm}$, qual deve ser a sua altura para que mantenha a mesma forma?

Para decorar uma parede, queremos ampliar uma fotografia que mede $10 \text{ cm} \times 15 \text{ cm}$ até que o seu lado maior meça $1,2 \text{ metros}$. Quanto medirá o lado menor da fotografia ampliada?

Um smartphone de $6 \text{ pulgadas}$ de diagonal tem um ecrã que mede $13,2 \text{ cm}$ de altura e $7,4 \text{ cm}$ de largura. Se quisermos ver o mesmo conteúdo num tablet que é exatamente o dobro (razão de semelhança $k=2$), quais serão as dimensões do ecrã do tablet?

Na planta de uma habitação à escala $1:75$, a sala tem forma retangular com dimensões de $8$ cm de comprimento e $6$ cm de largura. Calcule a área real da sala em metros quadrados ($m^2$).

Uma fotografia retangular de $10 \times 15$ cm deve ser ampliada para fazer um póster. Se quisermos que o lado maior da ampliação seja de $1,2$ metros:

1. Quanto medirá o lado menor do póster?

2. Quantas vezes a área do póster é maior do que a área da fotografia original?

Dois ecrãs de televisão são semelhantes. O primeiro tem uma diagonal de $32$ polegadas e a sua superfície é de aproximadamente $2800$ $cm^2$. Se o segundo ecrã tem uma diagonal de $48$ polegadas:

1. Qual é a razão de semelhança entre o ecrã grande e o pequeno?

2. Que superfície ocupa o ecrã de $48$ polegadas?

O Marcos quer imprimir uma faixa gigante para as festas da sua terra a partir de um cartaz publicitário original. O cartaz original mede $40\text{ cm}$ de largura por $60\text{ cm}$ de comprimento, e o seu custo de impressão foi de $8$ €. Para a faixa grande, o Marcos decide triplicar ambas as dimensões (razão de semelhança $k = 3$), de modo a que meça $120\text{ cm} \times 180\text{ cm}$. No seu orçamento escreve: «Como as novas dimensões são o triplo das originais, a quantidade de tinta e o custo da faixa serão o triplo, ou seja, $8 \cdot 3 = 24$ €».\n\na) Identifica o erro no raciocínio do Marcos e explica por palavras tuas por que razão o custo não triplica.\nb) Utilizando a relação entre as áreas de figuras semelhantes, calcula o custo real que terá imprimir a faixa gigante.

Um atelier de paisagismo de Lisboa deve desenhar duas zonas ajardinadas com relvado de forma triangular e estritamente semelhantes. O canteiro pequeno tem uma área de $12\text{ m}^2$ e o seu lado mais longo mede $6\text{ m}$. O caderno de encargos da Câmara Municipal impõe que o canteiro grande deve ter exatamente uma área de $108\text{ m}^2$.\n\na) Determina a razão entre as áreas de ambos os canteiros e deduz a partir dela qual deve ser a razão de semelhança linear $k$ entre os seus lados.\nb) Quanto medirá o lado mais longo do canteiro grande?\nc) Se para contornar todo o perímetro do canteiro pequeno foram utilizados $16\text{ m}$ de lancil metálico, calcula quantos metros de lancil serão necessários para delimitar o canteiro grande. Justifica a tua resposta sem necessidade de calcular a medida dos outros dois lados individuais.

Num mapa de escala $1:25\,000$, uma reserva natural tem a forma de um trapézio. No papel, as suas bases medem $4 \text{ cm}$ e $6 \text{ cm}$, e a sua altura é de $3 \text{ cm}$.

1. a) Calcule a área da reserva no mapa em $\text{cm}^2$.
2. b) Utilizando a razão de semelhança das áreas, calcule a área real da reserva em quilómetros quadrados ($\text{km}^2$).
3. c) Se o governo decidir ampliar a reserva aumentando todas as suas dimensões lineares em $20\%$, qual será a nova superfície real?

Um artista fez uma escultura de bronze que pesa $12$ kg e mede $40$ cm de altura. Se ele quiser fazer uma réplica exata do mesmo material, mas com uma altura de $1$ metro, quanto pesará a nova escultura? (Tenha em conta que o peso é proporcional ao volume).

Um designer de jogos eletrónicos está a criar dois modelos de uma torre defensiva. O modelo pequeno tem uma superfície lateral de $150 \text{ cm}^2$ e um volume de $250 \text{ cm}^3$. Se o modelo grande deve ter uma superfície lateral de $600 \text{ cm}^2$ para que os detalhes fiquem bem visíveis:

1. a) Qual é a razão de semelhança $k$ entre as dimensões de ambos os modelos?
2. b) Qual será o volume do modelo grande?
3. c) Se para fabricar o modelo pequeno foram necessárias 40 gramas de resina, quantos quilogramas de resina serão necessários para fabricar 10 modelos grandes?

Para medir a altura de uma árvore no pátio da escola, aproveitámos um dia de sol. Uma ripa espetada verticalmente no solo, com $1,5 \text{ m}$ de altura, projeta uma sombra de $0,9 \text{ m}$. Se, nesse mesmo instante, a sombra da árvore mede $6 \text{ m}$, qual é a altura da árvore?

Estás a fazer uma caminhada pela Serra da Estrela e queres descobrir a altura de uma torre miradouro de madeira sem subir a ela. Às $11:30$ da manhã, cravas no solo horizontal um bastão de caminhada de $1,20\text{ m}$ de altura, que projeta uma sombra de $80\text{ cm}$. Nesse mesmo instante, medes a sombra que a torre projeta sobre o solo plano e obténs $6,4\text{ m}$.\n\na) Antes de realizar qualquer cálculo numérico formal, faz uma estimativa fundamentada: a altura da torre será maior ou menor do que o comprimento da sua sombra? Achas que superará os $10\text{ m}$?\nb) Formula a proporção de semelhança entre as alturas e as sombras para calcular com exatidão a altura do miradouro.\nc) Compara o valor obtido com a tua estimativa inicial e avalia se o resultado é coerente com a realidade.

Um criador de conteúdos está a gravar um vídeo ao ar livre. Para calcular a altura de uma escultura moderna, posiciona o seu tripé, que mede $1,20$ metros de altura, de forma a projetar uma sombra de $90$ cm no solo. Nesse mesmo instante, a sombra da escultura mede $4,5$ metros. Qual é a altura da escultura?

Calcula a altura do edifício ($x$) utilizando a semelhança dos triângulos que se formam na figura. Os olhos da pessoa estão a $1,60$ m do chão, a distância da pessoa à vedação é de $2$ m e a distância da vedação ao edifício é de $10$ m. A altura da vedação é de $2,40$ m.

Para medir a altura da Torre dos Clérigos, no Porto, sem usar instrumentos complexos, um grupo de alunos utiliza um espelho colocado no solo. O aluno mais alto, que mede $1,85 \text{ m}$, posiciona-se a uma distância tal que vê o topo da torre refletido no centro do espelho. O espelho está a $120 \text{ m}$ da base da torre e o aluno está a $2,3 \text{ m}$ do espelho. Se os olhos do aluno estão a $10 \text{ cm}$ do topo da sua cabeça:

1. a) Desenhe um esquema da situação identificando os triângulos semelhantes.
2. b) Calcule a altura da torre sabendo que o ângulo de incidência da luz é igual ao de reflexão.
3. c) Se outro aluno de $1,60 \text{ m}$ de altura, com os olhos também a $10 \text{ cm}$ do topo da sua cabeça, quisesse ver o mesmo sem mover o espelho, a que distância do espelho se deveria posicionar?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dois edifícios verticais estão separados por uma rua de $20 \text{ m}$ de largura. O edifício mais alto mede $45 \text{ m}$ e o mais baixo $30 \text{ m}$. Do topo do edifício mais baixo, observa-se a base do edifício alto. Nesse mesmo raio visual interpõe-se um poste de iluminação que está a $5 \text{ m}$ do edifício baixo.

1. a) Que altura deve ter o poste para que a sua parte superior esteja exatamente nessa linha visual?
2. b) Se do topo do edifício alto esticarmos um cabo reto até ao topo do edifício baixo, qual será o comprimento do cabo?
3. c) A que altura do solo esse cabo se cruzaria com o poste (supondo que o poste é suficientemente alto)?

Uma câmara escura é uma caixa fechada com um pequeno orifício pelo qual entra a luz, projetando a imagem de um objeto exterior na parede oposta. Se temos uma caixa de $25 \text{ cm}$ de profundidade e queremos fotografar uma árvore de $12 \text{ m}$ de altura que se encontra a uma distância de $30 \text{ m}$ da câmara:

1. a) Qual será a altura da imagem da árvore projetada dentro da caixa?
2. b) Se aproximarmos a câmara da árvore até que a imagem projetada meça o dobro, a que distância da árvore estaremos?
3. c) Qual é a razão de semelhança entre o objeto real e a imagem neste último caso?

Calcule o valor do segmento desconhecido $x$ na figura seguinte, sabendo que os dois triângulos estão em posição de Tales:

Quer-se dividir um terreno triangular de $300 \text{ m}^2$ de área em duas parcelas mediante uma vedação paralela a um dos seus lados. A vedação é colocada de modo a cortar os outros dois lados a um terço de distância a partir do vértice superior comum.

1. a) Qual é a razão de semelhança entre o triângulo pequeno (superior) e o terreno original?
2. b) Calcule a área de cada uma das duas parcelas resultantes.
3. c) Se a base do terreno original medisse $30 \text{ m}$, quanto mediria a nova vedação?

Na figura a seguir, as retas $r$ e $s$ são cortadas por três retas paralelas entre si. Sabendo que os segmentos sobre a reta $r$ medem $AB = 3 \text{ cm}$ e $BC = 4 \text{ cm}$, e que o segmento correspondente sobre a reta $s$ é $A'B' = 4,5 \text{ cm}$, calcule o comprimento do segmento $B'C'$.

Para renovar o design de uma estante, um carpinteiro coloca três prateleiras paralelas cortadas por duas ripas laterais, como mostra a figura. Se as medidas dos segmentos numa das ripas são $AB = 25$ cm e $BC = 40$ cm, e na outra ripa o segmento homólogo a $AB$ mede $A'B' = 30$ cm, quanto medirá o segmento $B'C'$?

Um parque tem a forma de um hexágono regular de $40 \text{ m}$ de lado. Pretende-se construir uma fonte circular no seu centro que seja semelhante a uma pequena fonte de $2 \text{ m}$ de diâmetro que existe na entrada. Se a razão de semelhança entre o raio do círculo inscrito no hexágono (apótema) e o raio da fonte deve ser $4$:

1. a) Calcule o apótema do hexágono (pode usar Pitágoras).
2. b) Calcule o diâmetro da nova fonte central.
3. c) Qual é a razão entre a área do parque e a área da fonte central?

Nas obras de modernização do porto de Leixões está a ser instalada uma rampa de carga para veículos pesados. O perfil lateral da rampa tem a forma de um triângulo retângulo, apoiado sobre a sua hipotenusa no solo horizontal. Precisamente no vértice do ângulo reto coloca-se um pilar vertical de apoio de altura $h$ perpendicular ao solo, o qual divide o comprimento total da base em dois troços: um de $4,5\text{ m}$ e outro de $8\text{ m}$.\n\na) Modela a situação identificando que elementos do triângulo retângulo representam os dois troços do solo e a altura do pilar.\nb) Calcula a altura exata que o pilar vertical deve ter aplicando o teorema da altura ($h^2 = m \cdot n$).\nc) Determina o comprimento dos dois troços inclinados da rampa (os catetos) aplicando o teorema do cateto ($b^2 = m \cdot c$).\nd) Verifica se os três lados do triângulo retângulo global cumprem o teorema de Pitágoras.

No triângulo retângulo da figura, a hipotenusa mede $25 \text{ cm}$. A altura relativa à hipotenusa, $h$, divide-a em dois segmentos, $m$ e $n$. Sabendo que o cateto $b$ mede $15 \text{ cm}$:

1. a) Calcule a medida da projeção $m$ utilizando o Teorema do Cateto.
2. b) Calcule o valor da altura $h$ utilizando o Teorema da Altura.
3. c) Determine a área e o perímetro do triângulo total.

No projeto de uma treliça de madeira com a forma de um triângulo retângulo para o telhado de uma habitação bioclimática, a viga vertical de reforço coincide com a altura sobre a hipotenusa. A viga inferior horizontal (a hipotenusa) mede $25\text{ m}$ e a projeção da vertente menor sobre o solo mede $9\text{ m}$. É necessário calcular o comprimento exato da viga vertical de reforço ($h$).\n\nPara o resolver, duas estudantes de arquitetura propõem caminhos distintos:\n- A Beatriz diz: «Primeiro calculo a outra projeção sobre o solo subtraindo à hipotenusa total ($n = 25 - 9 = 16\text{ m}$) e depois calculo diretamente $h$ com o teorema da altura».\n- A Leonor diz: «Primeiro calculo a vertente menor (o cateto) com o teorema do cateto e, assim que tiver esse lado, aplico o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por esse cateto, a sua projeção de $9\text{ m}$ e a altura $h$».\n\na) Desenvolve por completo ambos os métodos com as respetivas fórmulas e verifica se se chega ao mesmo valor para $h$.\nb) Compara os dois procedimentos e justifica de forma crítica qual dos dois é preferível em termos de economia de operações e menor probabilidade de cometer erros de arredondamento ou de cálculo.\nc) Se noutro telhado não conhecêssemos a hipotenusa total, mas apenas o comprimento do cateto e a sua projeção, poder-se-ia continuar a utilizar o método da Beatriz sem calcular previamente a hipotenusa? Justifica-o.

O Instituto Geográfico Nacional (IGN) publica mapas à escala $1:25\,000$. Uma equipa de prevenção de incêndios do Instituto da Conservação da Natureza e das Florestas analisa na planta uma zona florestal da Serra da Estrela que tem a forma de um triângulo retângulo. No mapa oficial, a hipotenusa deste triângulo mede $10\text{ cm}$ e a projeção de um dos seus catetos sobre a hipotenusa mede $3,6\text{ cm}$.\n\na) Utilizando os teoremas da altura e do cateto diretamente sobre as medidas do mapa, determina os comprimentos dos dois catetos e da altura sobre a hipotenusa (em centímetros de papel).\nb) Calcula a área da zona florestal no mapa (em $\text{cm}^2$). Em seguida, determina a superfície real dessa zona em hectares ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$) utilizando exclusivamente a razão de semelhança entre áreas $k^2$, sem converter previamente cada lado para metros reais. Explica por que razão este procedimento é mais direto.\nc) Se as brigadas florestais tiverem como protocolo de limpeza desmatar uma faixa perimetral de segurança e avançarem a um ritmo médio de $1,2\text{ km}$ lineares por dia, de quantos dias completos de trabalho necessitarão para percorrer e proteger todo o perímetro real do recinto triangular?