Escala de áreas e volumes

Duas figuras planas são semelhantes com razão de semelhança $k = 3$.

a) Por qual número se multiplicam os comprimentos?

b) Por qual número se multiplica a área?

c) Se fossem corpos geométricos, por qual número se multiplicaria o volume?

Dois quadrados são semelhantes com razão $k = 2$. Se o pequeno tem $5$ cm de lado:

a) Quanto mede o lado do grande?

b) Quais são as áreas dos dois quadrados?

Justifique se são verdadeiras ou falsas estas afirmações:

a) Se eu duplicar os lados de um retângulo, duplico a sua área.

b) A razão das áreas de duas figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança.

c) Se a razão de semelhança de dois corpos é $2$, o volume do grande é $8$ vezes o do pequeno.

d) Numa planta à escala $1:50$, um centímetro quadrado da planta representa $50\ \text{cm}^2$ euros.

Numa planta à escala $1:100$, um quarto ocupa $12\ \text{cm}^2$. Qual é a sua superfície real? Exprime-a em metros quadrados.

Amplia-se uma fotografia de $40\ \text{cm}^2$ numa fotocopiadora a $150\%$. Qual é a área da ampliação?

Observe os dois retângulos semelhantes da figura.

a) Verifique que a razão de semelhança é $3$.

b) Se a área do retângulo pequeno é $8\ \text{cm}^2$, qual é a área do grande?

Uma artista pinta um mural a partir de um esboço de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ aplicando uma razão de escala $k = 8$.

a) Quais as dimensões do mural?

b) Qual será a área do mural?

c) Se uma lata de tinta cobre $2\ \text{m}^2$, de quantas latas necessitará, no mínimo?

Na planta de um loteamento, desenhada na escala $1:75$, um jardim retangular ocupa $96\ \text{cm}^2$. Qual é a área real do jardim em metros quadrados?

Numa planta à escala $1:2\,000$, um campo de futebol ocupa $17,5\ \text{cm}^2$.

a) Qual é a sua superfície real em metros quadrados?

b) Aproxima-se da superfície regulamentar de um campo de futebol, de cerca de $7\,000\ \text{m}^2$?

Problema inverso. Uma empresa de entregas sustentável deseja redesenhar a sua caixa padrão de cartão. Vão encomendar um novo modelo com exatamente a mesma forma (semelhante), mas reduzindo as dimensões para que a área total de cartão necessária seja $64\,\%$ da área da caixa original (ou seja, a área da nova caixa é $0,64$ vezes a área da antiga).\n\na) Formula a relação entre as áreas e obtém a razão de semelhança linear $k$ entre a caixa nova e a original.\nb) Se a altura da caixa original era de $35\text{ cm}$, quanto deve medir a altura do novo modelo?\nc) Que percentagem do volume original conservará a nova caixa? O volume reduz-se na mesma proporção que o cartão? Justifica a tua resposta interpretando a escala de volumes.

a) A razão entre as áreas de duas figuras planas semelhantes é $9$. Qual é a razão de semelhança entre os seus lados? E a razão entre os seus perímetros?

b) Os volumes de dois corpos semelhantes estão na razão $\frac{27}{8}$. Qual é a razão de semelhança?

c) As áreas de dois terrenos semelhantes estão na razão $\frac{1}{4}$. Qual é a razão entre os seus lados?

Um cubo tem $4$ cm de aresta e outro cubo, semelhante a ele, tem a aresta com o dobro do comprimento.

a) Qual é o volume de cada cubo?

b) Quantas vezes maior é o volume do cubo grande em relação ao do pequeno?

Numa maqueta à escala $1:50$, um depósito tem um volume de $80\ \text{cm}^3$. Qual é o volume do depósito real? Exprime-o em metros cúbicos.

Para a maqueta de um bairro, foram construídas duas casinhas semelhantes com razão de semelhança $1,5$. A casinha pequena precisou de $7,2\ \text{dm}^2$ de cartolina e o seu volume interior é de $6,4$ litros.

a) Quanta cartolina será necessária para a casinha grande?

b) Qual será o seu volume interior?

Um estaleiro constrói uma maqueta de um veleiro na escala $1:40$ que pesa $3$ kg. Se o barco real fosse construído com os mesmos materiais e a mesma densidade média, quanto pesaria? Expresse o resultado em toneladas.

Observa os dois cubos da figura: o pequeno tem $2$ cm de aresta e o grande, $6$ cm. O volume do cubo pequeno é $8\ \text{cm}^3$.

a) Qual é a razão de semelhança?

b) Calcula o volume do cubo grande sem usar a fórmula do volume do cubo, a partir do volume do pequeno.

c) Se a área total do cubo pequeno é $24\ \text{cm}^2$, qual é a área total do grande?

Um projetor forma um quadrado de $1,5$ m de lado num ecrã situado a $3$ m. Ao afastar o ecrã até $6$ m, a imagem continua a ser quadrada, como se mostra na figura.

a) Qual é a razão de semelhança entre as duas imagens? Quanto mede o lado do quadrado a $6$ m?

b) Quantas vezes maior é a área da imagem distante do que a da mais próxima?

c) Como a mesma quantidade de luz se distribui por toda a superfície, com que fração do brilho por metro quadrado se vê a imagem a $6$ m relativamente à imagem a $3$ m?

d) A que distância seria necessário colocar o ecrã para que a área da imagem fosse $9$ vezes a inicial?

Erro alheio. O Marcos quer imprimir uma faixa publicitária para as festas do bairro a partir de um esboço que mede $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ (área: $600\text{ cm}^2$). Para a faixa final, decide triplicar o tamanho de todos os lados, aplicando uma razão de semelhança $k = 3$. Na tipografia, o Marcos calcula o custo dizendo: «Como multipliquei os lados por $3$, precisarei exatamente do triplo de lona e de tinta, ou seja, $3 \cdot 600 = 1800\text{ cm}^2$».\n\na) Sem necessidade de calcular as novas medidas dos lados, explica por palavras tuas por que razão o raciocínio do Marcos é errado, apoiando-te na relação entre comprimentos e áreas.\nb) Corrige o cálculo: qual será a área real da faixa em $\text{cm}^2$ e em $\text{m}^2$? Por que número se multiplica realmente o gasto de lona e tinta?

Estima e verifica. Uma gelataria artesanal vende copos cilíndricos semelhantes de dois tamanhos. O copo «Pequeno» tem um diâmetro de $6\text{ cm}$ e uma capacidade de $125\text{ ml}$. O copo «Gigante» é exatamente semelhante ao pequeno, mas o seu diâmetro mede $12\text{ cm}$.\n\na) Estima: Antes de fazeres operações com fórmulas, reflete: ao duplicar o diâmetro, o copo gigante conterá o dobro do gelado ($250\text{ ml}$), o quádruplo ($500\text{ ml}$) ou bastante mais? Escreve a tua previsão fundamentando brevemente em que te baseias.\nb) Verifica: Determina a razão de semelhança linear $k$ e calcula a capacidade exata do copo gigante em mililitros.\nc) Compara o resultado com a tua estimativa inicial e avalia se é razoável que o copo gigante custe o triplo do pequeno, tendo em conta a quantidade de gelado que contém.

Dois aquários são semelhantes: o pequeno mede $40$ cm de comprimento e o grande, $80$ cm.

a) Qual é a razão de semelhança?

b) Se o vidro do aquário pequeno custou $30\text{ €}$, quanto custará o do grande, ao mesmo preço por superfície?

c) Se encher de água o pequeno custa $5\text{ €}$, quanto custará encher o grande?

Uma escultura e a sua miniatura de recordação são semelhantes com razão $5$.

a) Se para pintar a miniatura se gastam $120$ ml de tinta, quantos litros serão necessários para pintar a escultura?

b) Se a miniatura pesa $2$ kg e ambas são do mesmo material, quanto pesa a escultura?

Modela. Uma cooperativa de azeite de Santarém comercializa o seu azeite virgem extra gourmet em garrafas de vidro de design semelhante em dois formatos: uma garrafa individual de $100\text{ ml}$ e uma garrafa familiar de $800\text{ ml}$.\n\na) Ambas as garrafas são sólidos geométricos semelhantes. A partir das suas capacidades, determina a razão de semelhança linear $k$ entre a garrafa familiar e a individual.\nb) Se a garrafa individual tem uma altura de $14\text{ cm}$, que altura terá a garrafa familiar?\nc) Se o rótulo adesivo que envolve a garrafa individual tem uma área de $25\text{ cm}^2$, quantos centímetros quadrados medirá o rótulo da garrafa familiar?\nd) Para fabricar o corpo da garrafa individual utilizam-se $120\text{ g}$ de vidro fundido (que forma exclusivamente a parede exterior do recipiente, cuja espessura é a mesma nos dois formatos). Um operário afirma que para a garrafa familiar serão necessários $960\text{ g}$ de vidro ($8$ vezes mais). Justifica se o operário tem razão ou não, indicando a quantidade real aproximada de vidro necessária.

Uma empresa de mudanças quer "duplicar a capacidade" das suas caixas cúbicas e decide fabricá-las com a aresta com o dobro do comprimento. O chefe afirma: "Assim caberá o dobro de coisas".

a) Explique o erro do chefe.

b) Quantas vezes mais capacidade terá realmente a nova caixa?

c) Se a caixa pequena tem um volume de $27\ \text{dm}^3$, qual será o volume da nova?

Dois depósitos cilíndricos são semelhantes e a razão das suas alturas é $2$. Encher de água o depósito pequeno custa $15\text{ €}$ e pintar a sua superfície exterior custa $40\text{ €}$.

a) Quanto custará encher de água o depósito grande?

b) Quanto custará pintar a sua superfície exterior?

c) Um operário afirma que «tudo custará o dobro, porque o depósito é o dobro do tamanho». Corrija a afirmação dele usando os resultados anteriores e explique porque é que ele se engana.

Escolhe o método. Um gabinete de arquitetura projeta a cobertura de um pavilhão desportivo municipal composta por $150$ placas triangulares diferentes entre si, unidas como um mosaico poliédrico. No gabinete constroem uma maquete à escala $1:20$ ($k = 20$). Depois de medirem a maquete, sabem que a área total de plástico das $150$ placas perfaz exatamente $1,2\text{ m}^2$. Para encomendar as placas de policarbonato para a obra real, dois arquitetos discutem como proceder:\n\n- Método da Alba: Medir com um paquímetro os três lados de cada um dos $150$ triângulos na maquete, multiplicar cada comprimento por $20$, calcular a área de cada triângulo real e somar as $150$ áreas obtidas.\n- Método do Bruno: Tomar a área total da maquete ($1,2\text{ m}^2$) e multiplicá-la diretamente por $k^2 = 20^2 = 400$.\n\na) Compara ambos os métodos: qual dos dois é preferível do ponto de vista da eficiência e da acumulação de erros de arredondamento? Justifica a tua escolha.\nb) Aplica o método mais conveniente para calcular a área total de policarbonato que se deve comprar para a cobertura real.\nc) Se o metro quadrado de policarbonato custa $38\text{ \euro}$, qual será o custo do material da cobertura?

Modela e transfere. Um escultor funde em bronze uma estátua comemorativa. Para verificar o equilíbrio e calcular o orçamento, fabrica primeiro uma maquete maciça de $20\text{ cm}$ de altura, que pesa $1,5\text{ kg}$ e cuja base de apoio tem uma área de $75\text{ cm}^2$. A escultura monumental definitiva medirá $3\text{ m}$ de altura e será fundida com a mesma liga de bronze.\n\na) Determina a razão de semelhança linear $k$ entre a escultura real e a maquete.\nb) Se a estátua monumental fosse fabricada totalmente maciça (tal como a maquete), qual seria a sua massa em quilogramas e em toneladas?\nc) Que área ocupará a base de apoio da grande escultura no pedestal?\nd) A pressão suportada pelo pedestal sob a escultura é proporcional a $\frac{\text{Massa}}{\text{Área}}$. Expressa como se transforma esta fração em função de $k$ e demonstra por que razão a escultura grande exerce uma pressão muito maior por centímetro quadrado do que a maquete. Que solução técnica adotam os escultores na realidade para evitar este problema de excesso de peso?

Desafio do tema. Alguma vez quiseste calcular a altura de um elemento do teu ambiente sem subir a ele e planear a sua réplica? Transforma-te em topógrafo e desenhador técnico a partir de casa.

1. Recolha de dados e Tales: Num dia de sol, mede com uma fita métrica a tua altura ($h_1$) e o comprimento da tua sombra ($s_1$). Mede ao mesmo tempo a sombra projetada por um objeto alto próximo ($s_2$, como um candeeiro de rua ou uma árvore). Aplicando a semelhança de triângulos e o teorema de Tales, deduz a sua altura real ($h_2$).

2. Aplicação de Pitágoras: Tomando $s_2$ e $h_2$ como catetos de um triângulo retângulo, aplica o teorema de Pitágoras para determinar a distância real desde o topo do objeto até ao extremo da sua sombra.

3. Escalas em folha de cálculo: Modela uma maqueta à escala $1:20$ ($k = 0,05$). Numa folha de cálculo (ou GeoGebra), tabula as medidas reais e as da maqueta. Calcula a escala de áreas ($k^2$) para estimar a superfície de material que gastarias e a escala de volumes ($k^3$) para comparar a capacidade ou massa da réplica face ao original.

Elabora um relatório breve com os teus dados, operações justificadas e captura de ecrã da tua folha de cálculo.

Avaliar-se-á:

• Rigor geométrico ao aplicar Tales e Pitágoras com medidas recolhidas por ti.

• Correta dedução e uso das escalas $k$, $k^2$ e $k^3$ na folha de cálculo.

• Clareza, ordem e justificação matemática no relatório final.