Exercícios: O conjunto dos números racionais

Numa pizzaria, dividiram uma pizza familiar em $8$ fatias idênticas. Se o Tomás comeu $3$ fatias, expressa por meio de uma fração a parte da pizza que ele consumiu e identifica claramente qual é o numerador e qual é o denominador. Como se lê essa fração?

Observe a seguinte figura geométrica e escreva no seu caderno a fração que representa a região sombreada a laranja.

Classifique as seguintes frações em próprias, impróprias ou iguais à unidade:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Estamos a preparar uma festa e compramos pacotes de refrigerantes. Cada pacote tem $6$ latas. Se para a festa precisamos de utilizar $\dfrac{12}{6}$ de pacotes, quantos pacotes inteiros de refrigerantes temos de comprar? Esta fração é um número natural?

Represente graficamente no seu caderno, utilizando quadrados ou retângulos, as seguintes frações:

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Dica: vais precisar de desenhar mais de uma figura inteira).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Indique que fração de hora representam os seguintes intervalos de tempo (lembre-se de que uma hora tem $60$ minutos):

1. a) $15$ minutos.

1. b) $30$ minutos.

1. c) $10$ minutos.

1. d) $60$ minutos.

Copia no teu caderno a reta numérica da figura (com o 0, o 1 e o 2, e cada unidade dividida em 4 partes iguais) e situa nela os seguintes números racionais:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Escreva os seguintes números naturais em forma de fração (podes usar o denominador que preferires, desde que o resultado seja correto):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

A Beatriz tem de determinar que tipo de dízima gera a fração $\frac{21}{60}$ sem realizar a divisão. No seu exame escreve o seguinte: «Decomponho o denominador em fatores primos: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Como na decomposição aparece o número primo 3, que é diferente de 2 e de 5, a fração gera obrigatoriamente uma dízima periódica». a) Explica detalhadamente o erro que a Beatriz cometeu no seu raciocínio. b) Corrige o procedimento simplificando previamente a fração e conclui, justificando a tua resposta, que tipo de número decimal se obtém na realidade.

Concebe duas frações distintas que cumpram ao mesmo tempo as três condições seguintes: 1) O denominador de cada fração deve ser um número inteiro compreendido entre $10$ e $20$. 2) O valor de ambas as frações deve estar compreendido estritamente entre $0,4$ e $0,6$. 3) Uma das frações deve gerar uma dízima finita e a outra deve gerar uma dízima periódica. Justifica a tua resposta verificando a fatorização dos denominadores depois de reduzidas as frações a irredutíveis e calcula a sua expressão decimal.

O Tomás está a estudar os números racionais e afirma o seguinte no seu caderno:

1) «O número $A = \frac{-18}{-3}$ não pertence ao conjunto dos números racionais ($\mathbb{Q}$) porque a divisão dá $+6$, e $+6$ é um número inteiro, não uma fração».

2) «O número $B = -\frac{5}{-2}$ é negativo porque tem dois sinais menos».

Identifica o erro conceptual que o Tomás comete em cada uma das suas afirmações, explica pelas tuas palavras por que razão está enganado (relembrando a relação entre os números inteiros e os racionais, bem como a regra dos sinais nas frações) e escreve o valor simplificado e o sinal definitivo de $A$ e de $B$.

Um número racional pode ser escrito sob a forma de fração $\frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ são números inteiros com $b \neq 0$. Encontra um número racional que cumpra simultaneamente as seguintes quatro condições:

1) É um número estritamente negativo.

2) O seu valor está compreendido entre $-2$ e $-1$ na reta numérica.

3) O seu denominador $b$ é um número primo menor do que $6$.

4) O valor absoluto do seu numerador é igual ao oposto de $-5$.

Escreve a fração que cumpre estas condições, verifica passo a passo que satisfaz cada uma delas e explica entre que duas divisões da reta numérica ficaria situada se dividires cada unidade em tantas partes quantas indica o seu denominador.

Em matemática, os números organizam-se em "famílias" ou conjuntos. Observa o seguinte diagrama de Venn que representa os conjuntos dos números Naturais ($\mathbb{N}$), Inteiros ($\mathbb{Z}$) e Racionais ($\mathbb{Q}$).

Posiciona cada um dos seguintes números no seu lugar correspondente dentro do diagrama:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Três amigos estão a completar o "Passe de Batalha" do seu videojogo favorito. Cada um progrediu uma fração diferente do total:

• Marcos: completou $\frac{12}{18}$ do total.

• Sara: completou $\frac{20}{30}$ do total.

• Alexandre: completou $\frac{2}{3}$ do total.

Raciocine se os três amigos estão no mesmo nível do jogo encontrando a fração irredutível de cada um.

Representa na seguinte reta numérica os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ que correspondem a estes números racionais. Cada unidade está dividida em 4 partes iguais.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Num estudo sobre a utilização do telemóvel, foi analisada que fração do armazenamento total é ocupada por diferentes aplicações no telemóvel da Beatriz:

• Redes Sociais: $\frac{3}{10}$ do total.

• Jogos: $\frac{2}{5}$ do total.

• Fotos e Vídeos: $\frac{1}{4}$ do total.

1. a) Reduza as frações ao denominador comum.
2. b) Ordene as categorias da maior para a menor ocupação.
3. c) Resta espaço livre no telemóvel? Explique a sua resposta.

Um influencer tem $120\,000$ seguidores. Na segunda-feira, $\frac{2}{5}$ dos seus seguidores colocaram "gosto" na sua fotografia. Na terça-feira, o mesmo foi feito por $\frac{3}{4}$ partes dos que colocaram "gosto" na segunda-feira.

1. a) Quantas pessoas colocaram "gosto" na segunda-feira?
2. b) Quantas pessoas colocaram "gosto" na terça-feira?
3. c) Que fração do total de seguidores representam as pessoas que colocaram "gosto" na terça-feira?

Para uma festa de aniversário foram compradas várias pizzas do mesmo tamanho. No final da festa, sobraram os seguintes pedaços:

• $\frac{3}{4}$ de uma pizza de presunto.

• $\frac{5}{4}$ de pizzas de pepperoni.

• $\frac{1}{2}$ de uma pizza vegetariana.

1. a) Exprime a fração de pizza de pepperoni como um número misto.
2. b) Se juntarmos todas as sobras, temos mais ou menos de 3 pizzas inteiras? Justifica a resposta realizando a soma.

Identifica quais das seguintes frações darão origem a uma dízima finita e quais a uma dízima infinita periódica (simples ou mista) sem realizar a divisão, observando apenas a decomposição dos seus denominadores:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Dica: Lembra-te da regra dos fatores 2 e 5 no denominador).

Numa competição de saltos, os juízes anotam as distâncias de quatro atletas. Alguns resultados são dados em forma de fração e outros em decimal:

• Atleta 1: $6,4$ metros.

• Atleta 2: $\frac{13}{2}$ metros.

• Atleta 3: $6,35$ metros.

• Atleta 4: $\frac{32}{5}$ metros.

1. a) Passa todas as medidas para a forma decimal.

1. b) Que dois atletas saltaram exatamente a mesma distância?

1. c) Ordena os atletas desde o que saltou menos até ao que saltou mais (se houver empate, indica-o).

Numa estação meteorológica da Serra da Estrela (IPMA) registaram-se as seguintes anomalias térmicas em quatro dias consecutivos: $-\frac{9}{4}$ ºC, $-\frac{8}{3}$ ºC, $0,75$ ºC e $\frac{7}{5}$ ºC. a) Sem fazeres divisões com decimais, estima fundamentadamente entre que dois números inteiros consecutivos se encontra cada uma das duas anomalias negativas e deduz qual delas corresponde à temperatura mais baixa (menor valor). b) Passa todas as frações para a sua expressão decimal finita ou periódica para verificares com exatidão a tua estimativa prévia. c) Ordena os quatro registos do menor para o maior utilizando o símbolo $<$ e indica a que conjunto numérico mais específico (naturais $\mathbb{N}$, inteiros $\mathbb{Z}$ ou racionais $\mathbb{Q}$) pertenceria o resultado se somasses as duas anomalias positivas.

Para ordenar do menor para o maior os números racionais $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ e $-\frac{7}{10}$, dois alunos propõem estratégias diferentes: - O João diz: «É melhor calcular a expressão decimal de cada fração fazendo a divisão e comparar todos os números na forma decimal». - A Sara diz: «É preferível escrever $-0,8$ na forma de fração irredutível, reduzir as quatro frações a um denominador comum positivo e comparar os seus numeradores». a) Aplica o método do João e escreve a ordem obtida. b) Aplica o método da Sara para verificar o resultado. c) Qual dos dois métodos consideras mais adequado e preciso neste caso particular? Justifica a tua resposta analisando o tipo de dízima que produz a fração $-\frac{5}{6}$ e o eventual risco de arredondamento.

Numa estação de monitorização da bacia do rio Tejo regista-se a descida do caudal num canal de rega durante um episódio de seca. O relatório técnico indica que a variação acumulada do nível é de $-\frac{37}{8}$ metros.

1. a) Antes de calculares qualquer casa decimal, estima fundamentadamente entre que dois números inteiros consecutivos se encontra este número racional na reta numérica e justifica de qual dos dois inteiros estará mais próximo.
2. b) Efetua a divisão para obteres a sua expressão decimal exata e verifica se a tua estimativa foi acertada.
3. c) Desenha mentalmente ou descreve como localizarias exatamente este ponto na reta numérica: explica em quantas partes iguais dividirias o segmento entre os dois inteiros e quantas dessas partes contarias a partir do inteiro correspondente.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou durante quatro dias consecutivos em Bragança as seguintes anomalias térmicas (variações em relação à temperatura média habitual):

• Segunda-feira: $-\frac{7}{2}$ ºC

• Terça-feira: $+\frac{5}{4}$ ºC

• Quarta-feira: $-\frac{11}{4}$ ºC

• Quinta-feira: $-\frac{8}{5}$ ºC

1. a) Modela a evolução térmica ordenando os quatro dias por ordem crescente de anomalia (desde o dia com o desvio mais frio até ao dia com o mais quente) utilizando o símbolo $<$.
2. b) Na sexta-feira mediu-se uma anomalia térmica cujo valor absoluto foi exatamente metade do de segunda-feira, mas com sinal oposto ao de quarta-feira. Expressa a anomalia de sexta-feira sob a forma de fração irredutível e fundamenta qual dos quatro dias anteriores esteve mais próximo do registo térmico de sexta-feira.

Numa escavação arqueológica no sítio da Citânia de Briteiros, foram classificados diferentes achados por meio de etiquetas numéricas. Tens de ajudar os investigadores a organizar estas peças nas respetivas caixas (Conjuntos numéricos).

Dada a seguinte lista de etiquetas:

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ e $F = \sqrt{144}$

Indica, fundamentadamente, quais destes números pertencem a cada um dos seguintes conjuntos, tendo em conta que um número pode pertencer a vários:

1. Números Naturais ($\mathbb{N}$)

2. Números Inteiros ($\mathbb{Z}$)

3. Números Racionais ($\mathbb{Q}$)

No projeto de um novo chip de memória, um engenheiro precisa de posicionar três sensores numa linha lógica. O sensor A está na posição $\frac{2}{5}$ e o sensor B na posição $\frac{3}{5}$.

O engenheiro precisa de colocar um terceiro sensor C exatamente no ponto médio entre A e B. Além disso, deve colocar um sensor D que esteja no ponto médio entre A e C.

Calcule as frações que representam as posições de C e D e represente-as numa reta numérica dividida adequadamente.

Observe a seguinte figura geométrica. Se o quadrado grande representa a unidade ($1$), determine qual fração representa a parte sombreada em laranja. Para resolver, identifique primeiro qual fração do total representa cada uma das peças que compõem a figura.

Três amigos, Ioana, Marcos e Rayan, estão a descarregar um videojogo. Ao cabo de uma hora, a Ioana descarregou $\frac{13}{20}$ do total, o Marcos $\frac{19}{30}$ e o Rayan completou $\frac{5}{8}$.

1. Ordene os amigos da maior para a menor quantidade descarregada utilizando o método do mínimo múltiplo comum para comparar as frações.

2. Se o videojogo ocupa $120$ GB, quantos GB faltam para cada um descarregar? Exprima os resultados com frações e números inteiros.

Encontra os valores das incógnitas $x$, $y$ e $z$ para que todas as frações da seguinte sucessão sejam equivalentes entre si:

Depois de encontrares os valores, explica que número natural foi utilizado como fator de ampliação ou simplificação em cada passo em relação à fração irredutível do conjunto.

Um alfaiate tem uma peça de tecido de $15$ metros. Corta um primeiro pedaço que mede $3$ metros e $\frac{3}{4}$ de metro. Depois, corta um segundo pedaço que mede metade do que media o primeiro.

1. Exprime o comprimento de cada corte como uma fração imprópria e como um número misto.

2. Que fração do tecido original ainda resta no rolo?

Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso porque sempre podemos encontrar uma fração entre outras duas, por mais próximas que estejam.

Encontra três frações compreendidas entre $\frac{4}{7}$ e $\frac{5}{7}$ que tenham como denominador $28$. Ordena as cinco frações resultantes da menor para a maior.

Num concurso de robótica, os protótipos devem percorrer uma pista de $10$ metros. O robô "Zeta" parou quando lhe faltava percorrer $\frac{1}{5}$ do total da pista. O robô "Sigma" parou quando tinha percorrido $\frac{7}{9}$ do total.

1. a) Representa numa mesma reta numérica as posições de ambos os robôs, tomando o $0$ como a partida e o $1$ como a meta (a pista completa). Divide a unidade da reta de modo a poderes situar ambos os pontos com exatidão.

1. b) Qual dos robôs ficou mais perto da meta? Justifica a tua resposta comparando as frações através do produto cruzado.

De acordo com dados do Ministério para a Transição Ecológica sobre a reserva hídrica em Espanha, duas albufeiras apresentam a seguinte situação no início da primavera: - A albufeira A contém $175\text{ hm}^3$ sobre uma capacidade total de $250\text{ hm}^3$. - A albufeira B contém $210\text{ hm}^3$ sobre uma capacidade total de $336\text{ hm}^3$. a) Modela a proporção de água retida relativamente ao total em cada caso através de uma fração irredutível. b) Sem fazeres a divisão completa, demonstra mediante a fatorização dos denominadores irredutíveis se a percentagem decimal de enchimento de cada albufeira corresponde a uma dízima finita ou periódica. c) Após um episódio de chuvas, a albufeira A aumenta o seu volume em $25\text{ hm}^3$ e a albufeira B em $42\text{ hm}^3$. Expressa as novas frações de enchimento, compara-as fundamentadamente e determina qual das duas albufeiras se encontra agora proporcionalmente mais cheia.

Num debate de turma sobre as propriedades do conjunto $\mathbb{Q}$, dois estudantes lançam as seguintes afirmações: - O Marcos afirma: «Qualquer fração irredutível cujo denominador termine em algarismo par dá sempre origem a uma dízima finita, porque o 2 é divisor da base decimal». - A Elena afirma: «Se somares dois números racionais que são dízimas periódicas simples, o resultado nunca pode ser um número inteiro». a) Demonstra que a afirmação do Marcos é falsa propondo um contraexemplo concreto e explica que condição se esqueceu de exigir aos fatores primos do denominador. b) Demonstra que a afirmação da Elena também é falsa encontrando duas frações com desenvolvimento decimal periódico simples cuja soma seja exatamente igual ao número inteiro $2$. c) Constrói uma fração $\frac{p}{q}$ com denominador $q = 60$ cujo valor esteja estritamente entre $1$ e $2$, e que dê origem a uma dízima finita. Explica que condição matemática teve necessariamente de cumprir o numerador $p$ relativamente à decomposição em fatores primos de $60$.

Numa aula prática de laboratório analisam-se as perdas de carga de dois circuitos elétricos, expressas como números racionais negativos: $V_1 = -\frac{17}{24}\text{ V}$ e $V_2 = -\frac{11}{16}\text{ V}$. Para determinar qual dos dois circuitos sofre uma perda maior (ou seja, qual dos dois números racionais é menor), dois membros da equipa propõem estratégias distintas:

• Método da Alice: Dividir o numerador pelo denominador em cada fração para obter as suas expressões decimais e comparar algarismo a algarismo.

• Método do Bruno: Reduzir ambas as frações ao mesmo denominador através do mínimo múltiplo comum e comparar diretamente os seus numeradores inteiros.

1. a) Aplica ambos os métodos passo a passo para descobrires qual das duas tensões é menor.
2. b) Reflete sobre os dois procedimentos: que dificuldade acrescida apresenta a divisão da Alice relativamente aos períodos decimais? Justifica por que razão o método do Bruno se revela mais seguro, exato e representativo das propriedades algébricas do conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$.

Uma das propriedades fundamentais do conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$ em relação ao dos inteiros $\mathbb{Z}$ é a densidade: entre dois números racionais distintos é sempre possível encontrar outro número racional, ao passo que entre dois inteiros consecutivos não existe nenhum outro inteiro.

1. a) Escreve os números inteiros $-3$ e $-2$ como duas frações que tenham o mesmo denominador positivo, de modo a poderes encontrar imediatamente pelo menos três números racionais distintos situados estritamente entre eles. Escreve esses três racionais sob a forma de fração irredutível.
2. b) Resolve o seguinte problema inverso: encontra uma fração irredutível $x = \frac{p}{q}$ que esteja estritamente compreendida entre $-\frac{4}{5}$ e $-\frac{3}{5}$ sabendo que:

1. O seu denominador $q$ é um número primo compreendido entre $10$ e $15$.

2. A soma do seu numerador inteiro com o seu denominador é exatamente $3$ (ou seja, $p + q = 3$).

3. O valor absoluto do seu numerador é estritamente menor do que $10$.

Demonstra detalhadamente que o número racional que encontraste cumpre todas e cada uma das condições.