Exercícios: Porcentagens

Num torneio de e-sports, $20\%$ dos $150$ participantes jogam a partir de um tablet, enquanto os restantes jogam num computador. Calcule o número exato de jogadores que utilizam tablet para competir.

A barra de carregamento do teu jogo preferido indica que já foi concluído $75\%$ da transferência total. Se o ficheiro completo ocupa um espaço de $40$ GB, quantos gigabytes já foram transferidos?

Calcule mentalmente as seguintes percentagens utilizando as estratégias de divisão aprendidas na aula (dividir por $2$ para $50\%$, por $4$ para $25\%$ e por $10$ para $10\%$):

1. a) $50\%$ de $84$ espectadores numa transmissão em direto.
2. b) $25\%$ de uma pizza de $400$ gramas.
3. c) $10\%$ de um passe de transportes que custa $35$ euros.

Observe a seguinte grelha que representa a planta de uma área de lazer num centro comercial. Cada quadrado pequeno representa $1\%$ do total. Se a área sombreada a laranja está reservada para máquinas de jogos, que percentagem do total ocupa essa área? Expresse o resultado também sob a forma de fração irredutível.

Ténis desportivos que custavam $60$ euros têm hoje um desconto de $15\%$. Quantos euros se poupa ao comprá-los hoje? Qual é o preço final que pagará por eles?

O teu telemóvel indica que ainda resta $12\%$ de bateria. Se a capacidade total da bateria é de $4500$ mAh (miliamperes-hora), quantos mAh de energia restam exatamente no dispositivo?

Num inquérito realizado na sua turma do 7.º ano, $18$ dos $30$ alunos confirmaram que preferem cinema de terror a cinema de comédia. Calcule a percentagem de alunos que preferem cinema de terror.

Calcule, raciocinando em cada passo:

1. a) $200\%$ de $45$. (Pensa: $200\%$ de uma quantidade é o seu dobro.)
2. b) $150\%$ de $60$.
3. c) $0,5\%$ de $800$.
4. d) $300\%$ de $12$.

Numa loja de desporto do teu bairro, uma mochila escolar custa $49{,}90\text{ €}$ e tem um desconto de $15\,\%$.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo no papel, faz uma estimativa mental do dinheiro que te vão descontar: arredonda o preço às dezenas mais próximas e obtém mentalmente os $10\,\%$ e a metade desse valor para os $5\,\%$. Entre que dois números inteiros de euros se encontrará o desconto?
2. b) Calcula o preço final exato da mochila aplicando o fator multiplicativo de desconto correspondente: $\left(1 - \dfrac{15}{100}\right)$.
3. c) Compara o teu resultado exato com a estimativa que realizaste na alínea a). O resultado final é razoável? Justifica por que razão estimar previamente o resultado nos ajuda a detetar possíveis enganos ao pagar na caixa.

Para calcular $25\,\%$ de $180\text{ €}$, três colegas de turma propõem caminhos diferentes:

• A Alba diz: «Eu divido $180$ por $4$, porque $25\,\%$ equivale à quarta parte do total».

• O Bruno diz: «Eu multiplico $180$ por $0{,}25$, que é a representação decimal da razão $\dfrac{25}{100}$».

• A Carla diz: «Eu calculo primeiro $10\,\%$ de $180$, dobro-o para obter $20\,\%$ e somo-lhe a metade de $10\,\%$ para completar os $25\,\%$.»

1. a) Verifica que os três métodos dão exatamente o mesmo resultado, realizando as operações propostas por cada um.
2. b) Se tivesses de fazer o cálculo de cabeça, sem usar lápis nem papel, qual dos três métodos escolherias? Explica por que razão te parece o mais ágil.
3. c) Se o desconto não fosse de $25\,\%$, mas sim de $17\,\%$, e pudesses usar calculadora, qual das três abordagens seria a mais direta e eficaz? Justifica a tua resposta.

A bateria do tablet da Beatriz tem uma capacidade total de $5000$ mAh. Se depois de jogar um pouco ao "Roblox" ainda lhe resta $18\%$ de bateria, quantos mAh de energia ainda lhe restam? Que percentagem da bateria já consumiu?

Na votação para escolher as atividades do festival da escola, participaram $1200$ alunos. $65\%$ escolheu o torneio de desporto e o restante preferiu a oficina de robótica. Quantos alunos votaram na oficina de robótica?

Para organizar a viagem de fim de ano, os alunos do 7.º ano venderam bilhetes de uma rifa. Se já venderam $360$ bilhetes, o que representa $75\%$ do total que tinham, quantos bilhetes tinham no total para vender? Quantos ainda faltam vender?

Um videojogo de aventura ocupa $12$ GB na memória de uma consola. Se o sistema indica que esse jogo ocupa $15\%$ da memória total disponível, quantos GB de capacidade tem a memória da consola no total?

Numa prova de matemática de escolha múltipla com $40$ questões, um aluno respondeu corretamente a $28$ questões, errou $8$ e deixou $4$ em branco. Calcule a percentagem de respostas corretas, a de erros e a de questões não respondidas sobre o total. Verifique se a soma das três percentagens é $100\%$.

O preço de um computador portátil numa loja é de $450$ € sem incluir impostos. Se for necessário aplicar $21\%$ de IVA (Imposto sobre o Valor Acrescentado), qual será o preço final a pagar pelo computador portátil?

A Marta enviou um vídeo para o "TikTok". Nas primeiras duas horas, conseguiu $180$ "gostos". Se ela sabe que $12\%$ das pessoas que veem o vídeo dão "gosto", quantas visualizações teve o vídeo no total durante essas duas horas?

Um bairro tinha $1\,200$ moradores há dez anos e hoje tem $3\,000$.

1. a) Em quantos moradores a população aumentou?
2. b) Que percentagem de aumento isso representa em relação aos moradores que havia há dez anos? É uma percentagem maior ou menor que $100\%$? Interprete o resultado.

As percentagens também podem ser menores que $1\%$:

1. a) Um soro fisiológico contém $0,9\%$ de sal. Quantos gramas de sal há numa bolsa de $500$ g de soro?
2. b) Um lote de $2\,000$ kg de farinha tem $0,05\%$ de impurezas. Quantos quilogramas de impurezas contém?

O Marcos comprou um teclado para o seu computador por $121\text{ €}$, preço que já inclui os $21\,\%$ de IVA. Para averiguar quanto dinheiro corresponde ao IVA e quanto ao preço original do produto (base tributável), faz a seguinte operação:

Por isso, o Marcos conclui que o teclado custava sem IVA $121 - 25{,}41 = 95{,}59\text{ €}$.

1. a) Encontra o erro concetual cometido pelo Marcos. Sobre que quantia se aplicam os $21\,\%$ de IVA: sobre o preço original ou sobre o preço final faturado?
2. b) Verifica o que aconteceria se o preço sem IVA fosse realmente $95{,}59\text{ €}$ e lhe aplicasses um aumento de $21\,\%$. Obtêm-se os $121\text{ €}$ iniciais?
3. c) Corrige o cálculo do Marcos utilizando a divisão pelo fator multiplicativo correspondente para determinar o preço real do teclado antes de impostos e o valor exato do IVA.

De acordo com o balanço elétrico peninsular da Red Eléctrica de España, num dia de inverno a procura energética total foi de $650\text{ GWh}$ (gigawatts-hora). Desta procura, $60\,\%$ foi coberta por energias renováveis. Além disso, dentro do conjunto da produção renovável desse dia, $65\,\%$ correspondeu à produção eólica graças a um temporal de vento.

1. a) Modela a situação através de operações encadeadas com percentagens e calcula quantos $\text{GWh}$ de energia renovável foram gerados no total durante esse dia.
2. b) Determina quantos $\text{GWh}$ foram fornecidos especificamente pelos aerogeradores eólicos.
3. c) Que percentagem representou a energia eólica sobre a procura energética total do país nesse dia? Deduz esta percentagem final operando diretamente com as taxas percentuais, sem necessidade de recorrer aos valores em $\text{GWh}$.

Numa loja de ténis de moda, um modelo que custa $85 \text{ €}$ tem um desconto de $20\%$. No entanto, por ser o último dia de saldos, aplicam um desconto adicional de $10\%$ sobre o preço já com desconto. Qual é o preço final dos ténis? É o mesmo que aplicar um único desconto de $30\%$? Justifica a resposta calculando ambos os casos.

João comprou um computador para jogar os seus jogos de vídeo favoritos. O preço final que pagou, incluindo o $21\%$ de IVA, foi de $1452 \text{ €}$. O seu amigo diz-lhe que o computador custava $1200 \text{ €}$ antes dos impostos. O seu amigo tem razão? Realize os cálculos necessários para encontrar o preço base (sem IVA) do computador.

Num inquérito realizado na escola sobre o uso de redes sociais, $45\%$ dos alunos prefere o Instagram, $35\%$ prefere o TikTok e os 48 alunos restantes escolhem outras plataformas. Quantos alunos há no total na escola? Quantos deles preferem o Instagram?

Um serviço de streaming de filmes custa $9,99 \text{ €}$ por mês. Se decidires pagar o ano completo de uma vez, oferecem-te um desconto de $15\%$. No entanto, este mês há uma promoção especial e, sobre esse preço anual já com desconto, descontam outros $10 \text{ €}$ fixos. Quanto vais poupar no total ao ano se aproveitares ambas as ofertas, comparado com pagar mês a mês?

O armazenamento de um telemóvel é de $128 \text{ GB}$. O sistema operativo ocupa $12,5\%$ do total. Se o Álex já ocupou $60\%$ do espaço livre que restava, quantos Gigabytes ainda tem disponíveis para instalar novas aplicações?

Num teatro com capacidade para $750$ pessoas, hoje ficaram por vender $12\%$ dos bilhetes. Dos bilhetes vendidos, $65\%$ foram para adultos e os restantes para menores de 18 anos. Quantos menores de 18 anos assistiram hoje ao espetáculo no teatro?

Uma marca de refrigerantes decidiu reduzir o conteúdo de açúcar da sua bebida principal. Antes, uma lata de $330 \text{ ml}$ continha $35 \text{ g}$ de açúcar. Agora lançaram uma versão com uma redução do açúcar de $40\%$ e, além disso, aumentaram o tamanho da lata em $10\%$.

1. Quantos gramas de açúcar tem a nova lata?

2. Que percentagem de açúcar representa o peso do açúcar sobre o volume total na nova lata? (Considera $1 \text{ ml} = 1 \text{ g}$ para o refrigerante).

Nas eleições para o conselho da escola, a candidata A obteve $30\%$ dos votos, o candidato B obteve $25\%$ e o candidato C recebeu o resto dos votos. Se o candidato C ganhou com 28 votos a mais do que o candidato B, quantos alunos votaram no total? Quantos votos recebeu cada candidato?

O número de sócios de um clube de leitura juvenil aumentou este ano $150\%$ em relação ao ano passado, quando havia $24$ sócios.

1. a) Um aluno diz: «aumentar $150\%$ significa que agora há $150$ sócios». Explique o erro dele.
2. b) Calcule quantos sócios há agora. Lembre-se: aumentar $150\%$ significa somar ao número inicial o seu $150\%$.
3. c) Se no próximo ano o clube quiser chegar a triplicar os sócios do ano passado, que percentagem de aumento é necessária em relação ao ano passado?

Numa livraria juvenil de Coimbra, uma banda desenhada tinha um determinado preço inicial. Por ocasião do Dia do Livro, foi-lhe aplicado um desconto de $15\,\%$. Duas semanas depois, perante o esgotamento da tiragem, a loja aumentou em $15\,\%$ o preço já com desconto, ficando fixado num preço definitivo de $19{,}55\text{ €}$.

1. a) Um cliente garante que a banda desenhada voltou a custar o mesmo que no início porque «descer $15\,\%$ e depois subir $15\,\%$ anula a alteração». Explica detalhadamente por que razão este raciocínio está incorreto utilizando os conceitos de base de referência e fatores de variação.
2. b) Escreve uma expressão matemática que relacione o preço original desconhecido ($P$) com o preço final através dos fatores multiplicativos correspondentes, e calcula o preço que a banda desenhada tinha antes de qualquer desconto.
3. c) Calcula a variação percentual real global que o preço da banda desenhada sofreu entre o valor inicial e o preço final de $19{,}55\text{ €}$.

Um hipermercado apresenta duas promoções diferentes para a mesma marca de azeite, cujo preço original é de $8\text{ €}$ por garrafa:

• Promoção A: «Pague 2, Leve 3: leva 3 garrafas e paga apenas 2».

• Promoção B: «Segunda unidade com $70\,\%$ de desconto» (por cada duas garrafas adquiridas, a segunda tem $70\,\%$ de desconto).

1. a) Se uma família tem previsto comprar um lote de 6 garrafas:

• Modela e calcula o custo total e a percentagem de desconto global que se obtém com a Promoção A sobre o valor original das 6 garrafas.

• Modela e calcula o custo total e a percentagem de desconto global que se obtém com a Promoção B sobre o valor original das 6 garrafas.

1. b) Justifica de forma fundamentada qual das duas promoções é mais económica para adquirir as 6 garrafas.
2. c) Se um consumidor for à loja com a intenção de adquirir apenas 2 garrafas e o estabelecimento não permitir acumular promoções, qual é a percentagem real de desconto por garrafa que se aplicaria com cada uma das duas opções? Justifica qual lhe convém nesse caso.

Desafio do tema. Imagina que organizas uma refeição saudável para a tua turma. Vais elaborar uma proposta de orçamento utilizando uma folha de cálculo ou o GeoGebra com dados reais.

1. Recolha de dados e razão: Consulta o site de um supermercado e anota o preço de $3$ ingredientes (por exemplo, um pacote de $1,5$ kg de arroz, legumes e fruta). Calcula a razão custo por quilograma e o custo unitário por dose.

2. Proporcionalidade direta e percentagens: Modela na folha de cálculo o custo da refeição em função do número de comensais ($4$, $8$ e $12$ pessoas). Aplica ao carrinho um cupão de desconto de $15\,\%$ e adiciona depois os $10\,\%$ de IVA reduzido.

3. Proporcionalidade inversa: O aluguer da cozinha comunitária tem um preço fixo de $60$ €. Noutra tabela, calcula quanto deve pagar cada participante consoante vão $2$, $4$, $6$ ou $12$ pessoas. Representa o gráfico desta relação.

4. Proposta final: Redige um relatório breve comparando o custo final por pessoa consoante o grupo e explica como influencia a divisão dos custos fixos.

Será valorizado:

• Identificação correta e cálculo preciso de razões e percentagens.

• Distinção e modelação matemática adequada da proporcionalidade direta e inversa.

• Utilização rigorosa de ferramentas digitais (tabela e gráfico) e dados reais.

• Clareza e justificação fundamentada nas conclusões do relatório.