Exercícios: Triângulos

Para decorar o seu quarto, a Maria recortou uma bandeirola de tecido com forma de triângulo. Ao medir os seus lados, viu que medem $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ e $20\text{ cm}$. Como se classifica este triângulo quanto ao comprimento dos seus lados?

Num triângulo, conhecemos a medida de dois dos seus ângulos internos: $\hat{A} = 45^\circ$ e $\hat{B} = 75^\circ$. Calcule quanto mede o terceiro ângulo $\hat{C}$ sabendo que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$.

O Marcos tem três varetas de madeira para construir uma estrutura triangular. Os comprimentos das varetas são $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ e $4\text{ cm}$. A figura mostra as três varetas desenhadas à mesma escala.

Explica de forma fundamentada se o Marcos conseguirá formar um triângulo com elas ou se lhe será impossível.

Classifique os seguintes triângulos segundo a amplitude dos seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo):

• Triângulo 1: Os seus ângulos medem $90^\circ$, $40^\circ$ e $50^\circ$.

• Triângulo 2: Os seus ângulos medem $110^\circ$, $30^\circ$ e $40^\circ$.

• Triângulo 3: Os seus ângulos medem $60^\circ$, $60^\circ$ e $60^\circ$.

Um jardim tem a forma de um triângulo equilátero. Se um dos seus lados mede $8\text{ metros}$, quantos metros de vedação serão necessários para o vedar completamente? Calcule o seu perímetro.

Um triângulo isósceles tem um ângulo desigual que mede $40^\circ$. Se os outros dois ângulos são iguais entre si, qual é a medida de cada um desses ângulos iguais?

Observe o sinal de trânsito "Dar prioridade". Tem a forma de um triângulo equilátero. Indique quanto deve medir cada um dos seus ângulos internos sem necessidade de usar um transferidor. Justifique a sua resposta com base nas propriedades deste tipo de polígono.

Num triângulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo de $90^\circ$ medem $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. Como se chamam esses dois lados na terminologia matemática dos triângulos retângulos? E como se chama o lado mais longo que fica oposto ao ângulo reto?

O Marcos quer construir a moldura de um espelho triangular para o seu quarto e cortou três ripas de madeira que medem $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$. Ao mostrá-las à sua irmã, afirma: «Como as três ripas têm comprimentos diferentes, poderei formar um triângulo escaleno sem qualquer problema».\na) Encontra o erro na afirmação do Marcos e explica por que motivo é fisicamente impossível construir a moldura com essas medidas, aplicando a desigualdade triangular.\nb) Se o Marcos decidir substituir unicamente a ripa de $10\text{ cm}$ por uma nova, qual é o comprimento inteiro máximo (em centímetros) que a nova ripa pode ter para poder fechar o triângulo juntamente com as de $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$?\nc) Se quisesse formar um triângulo isósceles reutilizando as ripas de $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$, indica que duas medidas inteiras distintas a ripa de substituição poderia ter.

Na aula de Educação Visual, a Leonor está a desenhar um vitral com peças de vidro triangulares. Numa das peças, mediu com o transferidor dois dos seus ângulos internos, que resultam ser $27^\circ$ e $38^\circ$.\na) Antes de calculares o valor exato do terceiro ângulo, estima fundamentadamente se esse ângulo será agudo, reto ou obtuso (observa se a soma dos dois conhecidos supera ou não os $90^\circ$). A partir da tua estimativa, indica que tipo de triângulo esperas obter quanto aos ângulos.\nb) Calcula o valor exato do terceiro ângulo utilizando a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo e verifica se a tua estimativa estava correta.\nc) Sabendo que os três lados desta peça têm comprimentos diferentes, classifica o triângulo quanto aos lados.

Numa oficina de design gráfico, estão a criar um novo logótipo que tem a forma de um triângulo. Sabemos que dois dos seus ângulos internos medem $42^\circ$ e $68^\circ$.

1. a) Calcule quanto mede o terceiro ângulo do logótipo.
2. b) Classifique o triângulo quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo).
3. c) Classifique o triângulo quanto aos lados (equilátero, isósceles ou escaleno).

Um carpinteiro tem três ripas de madeira para fabricar uma moldura triangular para um espelho. As ripas medem $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $24\text{ cm}$.

1. a) Explique, utilizando a propriedade da soma dos lados de um triângulo, se é possível construir a moldura com essas medidas.
2. b) Se decidir trocar a ripa de $24\text{ cm}$ por uma de $20\text{ cm}$, poderia construí-la agora? Justifique a sua resposta.

Uma tenda de campismo tem uma frente em forma de triângulo isósceles. A base da tenda mede $2,4\text{ metros}$ e os dois lados iguais medem $2\text{ metros}$ cada um.

1. a) Utiliza o teorema de Pitágoras para calcular a altura da tenda de campismo.
2. b) Calcula a área da lona necessária para cobrir unicamente a frente da tenda.

Três povoações, Altea ($A$), Belmonte ($B$) e Calar ($C$), estão situadas de forma a formar um triângulo escaleno, como mostra a figura. Pretende-se instalar uma torre de telecomunicações que esteja exatamente à mesma distância das três povoações.

1. a) Que ponto notável do triângulo representa a localização da torre?

1. b) Que retas notáveis tiveste de traçar para encontrar esse ponto? Desenha um esquema aproximado da situação.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um parque infantil tem uma caixa de areia em forma de triângulo retângulo. Sabemos que o lado mais longo (a hipotenusa) mede $13\text{ metros}$ e um dos lados que formam o ângulo reto mede $5\text{ metros}$.

1. a) Calcule o comprimento do outro lado da caixa de areia.
2. b) Determine o perímetro total da caixa de areia.
3. c) Calcule a superfície ocupada pela areia.

Projetou-se um sinal de trânsito triangular que é um triângulo equilátero de $60\text{ cm}$ de lado.

1. a) Se quisermos colocar um rebordo refletor à volta do sinal, quantos metros de material refletor serão necessários?
2. b) Se traçarmos as três bissetrizes do triângulo, como se chama o ponto onde se cruzam? Que propriedade especial tem esse ponto relativamente aos lados do sinal?

Observa a seguinte figura composta por dois triângulos. O triângulo $ABC$ é retângulo em $B$ e o triângulo $ACD$ é isósceles com $\overline{AC} = \overline{AD}$.

Se $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ e $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, calcule:

1. a) O comprimento do lado $\overline{AC}$.
2. b) O perímetro total da figura sombreada $ABCD$ sabendo que $\overline{CD} = 7\text{ cm}$.

Num jardim, quer-se colocar uma vedação que delimite uma área de flores com forma de triângulo isósceles. O ângulo desigual mede $100^\circ$.

1. a) Quanto mede cada um dos outros dois ângulos da área de flores?
2. b) Se traçarmos a mediana a partir do vértice do ângulo de $100^\circ$ até ao lado oposto, em que dois tipos de triângulos fica dividida a área? Classifique-os segundo os seus ângulos.

Uma equipa de design gráfico deve criar um logótipo que contenha uma figura triangular cumprindo estritamente três condições geométricas:\n1. O triângulo deve ser isósceles e além disso obtusângulo.\n2. O ângulo obtuso é o ângulo desigual e o seu valor em graus deve ser um número múltiplo de $10^\circ$.\n3. Cada um dos dois ângulos iguais deve medir estritamente mais de $25^\circ$.\na) Formula a relação matemática entre os três ângulos internos e deduz passo a passo todas as combinações possíveis de ângulos (ternos) que cumprem estas três condições.\nb) Poderia existir alguma solução válida se adicionássemos a condição de que os ângulos iguais meçam mais de $45^\circ$? Justifica a tua resposta a partir da definição de triângulo obtusângulo.

Num mapa de estradas de Castela e Leão, três capitais de distrito formam um triângulo: Palencia, Valladolid e Zamora. As distâncias medidas em linha reta são aproximadamente:\n- Entre Palencia e Valladolid: $48\text{ km}$.\n- Entre Valladolid e Zamora: $96\text{ km}$.\na) A Junta de Castela e Leão estuda a viabilidade de abrir uma estrada direta entre Palencia e Zamora. Aplicando a desigualdade triangular, calcula entre que valores mínimo e máximo (sem incluir os extremos) deve situar-se a distância em linha reta entre Palencia e Zamora para que o trajeto não fique sobreposto numa única linha reta.\nb) Se a distância real em linha reta entre Palencia e Zamora viesse a ser de $110\text{ km}$, verifica através do teorema de Pitágoras se estas três cidades poderiam formar um triângulo retângulo com ângulo reto em Valladolid (onde o troço Palencia-Zamora seria a hipotenusa).\nc) Se um folheto turístico indicasse por lapso que a distância direta entre Palencia e Zamora é de apenas $40\text{ km}$, justifica por que razão esse dado é geometricamente impossível sem necessidade de medir no terreno.

Numa oficina de design de jogos eletrónicos, um programador precisa de criar uma personagem com a forma de um triângulo isósceles. O ângulo diferente do vértice superior mede o triplo de um dos ângulos da base, menos $20^\circ$. Calcule a medida dos três ângulos da personagem para que o design seja geometricamente correto.

Três povoações da serra, Manteigas, Gouveia e Seia, querem construir uma torre de telecomunicações que esteja exatamente à mesma distância das três para que todas tenham a mesma cobertura.

1. a) Como se chama o ponto notável do triângulo onde devem colocar a torre?

1. b) Se o triângulo formado pelas povoações for obtusângulo, explica de forma fundamentada se a torre ficará dentro ou fora da área delimitada pelas três povoações.

1. c) Desenha um esquema aproximado da situação: o triângulo obtusângulo com as três povoações, as linhas que usas para encontrar o ponto e a posição da torre.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um arquiteto está a desenhar uma rampa para um skatepark. Calculou que o suporte principal deve formar um triângulo de lados $x + 2$ metros, $2x - 1$ metros e $10$ metros.

1. Se o triângulo deve ser isósceles, com os lados $x + 2$ e $2x - 1$ iguais, quanto deve valer $x$?

2. Se $x = 3$, é possível construir esse triângulo? Justifica a tua resposta utilizando a propriedade da soma dos lados de um triângulo.

No logótipo de uma nova marca de roupa desportiva, aparecem dois retângulos que se cruzam formando vários triângulos. No triângulo central $ABC$, sabemos que o ângulo em $A$ mede $45^\circ$ e que o ângulo externo ao vértice $B$ mede $115^\circ$.

1. Calcule os três ângulos internos do triângulo $ABC$.

2. Classifique o triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Um jardim tem a forma de um retângulo de $12 \times 8$ metros. Para instalar um sistema de rega, o jardim foi dividido traçando uma diagonal. Num dos dois triângulos resultantes, quer-se colocar um aspersor circular no incentro.

1. Explique o que são as bissetrizes e por que razão o aspersor no incentro é a melhor opção para ficar à mesma distância dos três lados do triângulo (as duas bordas do jardim e a diagonal).

2. Desenhe o retângulo, a diagonal e o incentro de um dos triângulos de forma esquemática.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observa a figura junta, que representa uma peça metálica. Esta é formada por um triângulo retângulo grande e outro menor no seu interior. Sabemos que o cateto horizontal do grande mede $15 \text{ cm}$ e a sua área é de $60 \text{ cm}^2$. O triângulo pequeno é semelhante e tem uma base de $5 \text{ cm}$.

1. Calcula a altura do triângulo grande.

2. Utilizando a lógica das proporções, calcula a área do triângulo pequeno. (Dica: se a base é a terça parte, o que acontecerá à altura?).

Um explorador colocou uma corda de $24$ metros a cercar um terreno triangular para montar o seu acampamento.

1. Se o terreno for um triângulo isósceles e um dos lados iguais medir $9 \text{ metros}$, quanto mede o lado restante?

2. Se o explorador quisesse que o triângulo fosse retângulo com lados de $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ e $10 \text{ m}$, a mesma corda serviria? Verifique também se o Teorema de Pitágoras se verifica neste último caso.

Numa prova de geometria avançada, apresenta-se um triângulo onde as três medianas se intersetam num ponto $G$ (Baricentro). Se a mediana que sai do vértice $A$ mede um total de $12 \text{ cm}$, calcule a medida dos dois segmentos nos quais o ponto $G$ divide essa mediana. (Lembre-se da propriedade: o baricentro divide a mediana em duas partes, sendo uma o dobro da outra).

Para averiguar se três varetas rígidas de comprimentos $a = 8\text{ cm}$, $b = 15\text{ cm}$ e $c = 25\text{ cm}$ podem ser unidas pelas suas extremidades para construir uma estrutura triangular, propõem-se na sala de aula dois caminhos:\n- Método 1 (Verificação completa): Formular e verificar uma a uma as três desigualdades triangulares: $a < b + c$, $b < a + c$ e $c < a + b$.\n- Método 2 (Verificação reduzida): Localizar a vareta mais comprida ($c$) e verificar unicamente se essa vareta é menor do que a soma das outras duas ($c < a + b$).\na) Aplica ambos os métodos ao caso das varetas de $8\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ e $25\text{ cm}$ e escreve a conclusão a que se chega em cada um.\nb) Justifica matematicamente por que razão o Método 2 é sempre suficiente: por que motivo, se o lado maior for menor do que a soma dos outros dois, podemos garantir com certeza absoluta que as outras duas desigualdades se cumprirão sempre sem necessidade de as calcular?\nc) Se decidirmos retirar a vareta de $25\text{ cm}$ e substituí-la por uma nova vareta de comprimento inteiro $x$ para formar um triângulo juntamente com as de $8\text{ cm}$ e $15\text{ cm}$:\n1) Calcula que comprimento inteiro exato deve ter $x$ para que o triângulo seja retângulo e essa vareta atue como hipotenusa, verificando-o com o teorema de Pitágoras.\n2) Indica que valores inteiros $x$ poderia tomar para que o triângulo resultante fosse isósceles e geometricamente possível.

Durante uma travessia de alta montanha no Parque Nacional dos Picos de Europa, três abrigos ($A$, $B$ e $C$) estão ligados por trilhos retos formando um triângulo. O guia de montanha revê as fichas técnicas:

• O ângulo no abrigo $A$ mede o triplo do ângulo no abrigo $B$.

• O ângulo no abrigo $C$ mede exatamente $20^\circ$.

• A distância em linha reta entre o abrigo $A$ e o abrigo $B$ é de $7\text{ km}$.

• A distância em linha reta entre o abrigo $B$ e o abrigo $C$ é de $18\text{ km}$.

1. a) Modela a situação estabelecendo uma equação com os ângulos internos do triângulo e determina a medida exata dos ângulos no abrigo $A$ e no abrigo $B$.
2. b) Classifica o triângulo que os três abrigos formam, tanto pelos seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo) como pelos seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno).
3. c) Um caminhante afirma: «Para ir diretamente do abrigo $C$ ao abrigo $A$ em linha reta teremos de caminhar mais de $25\text{ km}$». Demonstra matematicamente, através da desigualdade triangular, por que razão a afirmação do caminhante é impossível.
4. d) O serviço de emergência 112 precisa de instalar uma antena de emergência que fique exatamente à mesma distância dos três abrigos. Identifica o ponto notável do triângulo que os técnicos devem localizar e explica que retas devem traçar sobre o mapa para o encontrar.