Exercícios: Retas

No desenho seguinte de uma estrada reta, identifica o nome que recebe cada um dos elementos marcados.

Indica qual é um segmento, qual é uma semirreta e qual representa uma reta completa.

Observe o plano destas ruas. Indique qual é a posição relativa (paralelas, secantes ou perpendiculares) dos seguintes pares de ruas:

• Rua A e Rua B.

• Rua B e Rua C.

• Rua A e Rua C.

Classifique os seguintes ângulos segundo a sua abertura. Indique se são agudos, retos ou obtusos:

• $\alpha = 45^\circ$

• $\beta = 120^\circ$

• $\gamma = 90^\circ$

Dois ângulos são complementares se a sua soma é $90^\circ$. Se o ângulo $\alpha$ mede $35^\circ$, quanto deve medir o ângulo $\beta$ para que sejam complementares?

Um radar de navegação gira um total de $5^\circ$ a cada segundo. Expresse este movimento em minutos sexagesimais ($'$). Lembre-se de que $1^\circ = 60'$.

Determine o valor do ângulo $\hat{X}$ na figura seguinte, sabendo que os dois ângulos são suplementares (somam $180^\circ$).

Desenha no teu caderno uma reta $r$ e um ponto $P$ que não pertença a ela. Utilizando o teu esquadro e cartabão, traça uma reta $s$ que passe por $P$ e seja paralela a $r$. Quantas retas paralelas a $r$ podem passar por esse ponto $P$?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Quando duas retas se cortam, os ângulos verticalmente opostos são iguais. Observe a figura e, sem usar o transferidor, indique quanto mede o ângulo $\hat{A}$ e quanto mede o ângulo $\hat{B}$.

Um grupo de amigos está a projetar um novo circuito de skate num terreno baldio. Para isso, traçaram no chão várias linhas que representam as bordas das rampas. Observa o plano que desenharam e responde às perguntas sobre a posição relativa das linhas:

1. a) Indica um par de linhas que sejam paralelas entre si.
2. b) Encontra duas linhas que sejam secantes mas não perpendiculares.
3. c) Identifica uma linha que seja perpendicular à linha $s$.
4. d) Se a linha $t$ e a linha $u$ nunca se cruzam por mais que as prolonguemos, que relação geométrica têm?

Uma câmara de segurança de um centro comercial tem um ângulo de visão total de $110^\circ$. O técnico de manutenção decide dividir este ângulo em duas zonas: a Zona A, que cobre as lojas, e a Zona B, que cobre os corredores.

Se a Zona A mede $64^\circ 35' 50''$, calcule a medida exata (em graus, minutos e segundos) que deve ter a Zona B para cobrir o resto do campo de visão.

Num jogo eletrónico de estratégia, um raio laser ricocheteia numa superfície metálica. Sabe-se que o ângulo de incidência $\alpha$ e o ângulo de reflexão $\beta$ são iguais.

Se o ângulo total que formam o raio de entrada e o de saída é de $115^\circ 20'$, calcule quanto mede o ângulo $\alpha$. Em seguida, indique se o ângulo suplementar de $\alpha$ é agudo, reto ou obtuso.

Estamos a analisar a estrutura de uma estante moderna. As prateleiras horizontais são paralelas entre si e estão atravessadas por um suporte inclinado.

Sabendo que o ângulo $\hat{1}$ mede $124^\circ$, utiliza as propriedades dos ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma secante para calcular, sem usar transferidor, a amplitude dos ângulos $\hat{2}, \hat{3}$ e $\hat{4}$. Justifica cada resposta (por serem verticalmente opostos, correspondentes, alternos internos, etc.).

Um relógio de parede marca 15:40 da tarde.

1. a) Calcule o ângulo que o ponteiro das horas e o dos minutos formam. Tenha em consideração que o ponteiro das horas se desloca um pouco à medida que os minutos avançam.
2. b) Como classificaria esse ângulo segundo a sua amplitude (agudo, reto, obtuso ou raso)?

Na planta de um parque infantil, quer-se colocar um candeeiro que esteja exatamente à mesma distância do escorrega ($T$) e dos baloiços ($C$). A figura mostra a posição de ambos e a distância que os separa.

1. a) Que nome recebe a linha imaginária onde deveriam estar todos os pontos que cumprem essa condição?

1. b) Se a distância entre o escorrega e os baloiços é de $12$ metros e colocas o candeeiro no ponto médio do segmento $TC$, a que distância estará o candeeiro de cada um deles?

1. c) Desenha no teu caderno um esquema do segmento $TC$ e da sua mediatriz.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Duas avenidas principais de uma cidade cruzam-se formando um ângulo de $72^\circ 15'$. Quer-se construir uma rua pedonal que divida esse ângulo exatamente ao meio.

1. a) Como se chama tecnicamente a linha que representa essa rua pedonal?
2. b) Calcule o valor do ângulo que a nova rua formará com cada uma das avenidas.
3. c) Que tipo de ângulo é o resultado (agudo, reto ou obtuso)?

Observe a figura seguinte, onde são mostrados vários ângulos relacionados. Sabemos que as retas $m$ e $n$ são paralelas. Se o ângulo $\hat{A} = 48^\circ$, calcule fundamentadamente o valor dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$.

Um satélite de comunicações orbita em torno da Terra e realiza três medições de rotação angular para corrigir a sua trajetória. A primeira rotação é de $42^\circ \ 35' \ 48''$. A segunda rotação é o dobro da primeira. Se no final do dia o satélite tiver de ter rodado um ângulo total correspondente a um ângulo raso para ficar alinhado com a base terrestre, quanto deve medir a terceira rotação? Exprime o resultado na forma complexa (graus, minutos e segundos).

No projeto de uma estrutura metálica para um telhado, há duas vigas principais paralelas, $r$ e $s$. Uma terceira viga transversal $t$ corta-as formando um ângulo obtuso de $135^\circ \ 20'$. Decide-se instalar um reforço que coincida exatamente com a bissetriz do ângulo agudo formado pelo cruzamento das vigas $s$ e $t$. Que ângulo formará este reforço com a viga $r$ na parte interna da estrutura? Raciocina se os ângulos serão alternos internos ou correspondentes.

Foram desenhadas quatro retas secantes num plano de tal forma que cada uma corta todas as outras, mas nunca três retas passam pelo mesmo ponto.

1. a) Qual é o número máximo de pontos de interseção que se podem formar?
2. b) Em quantas regiões fica dividido o plano?

Desenhe um esquema que o represente e justifique a sua resposta contando as regiões.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O ângulo $\alpha$ é tal que o seu suplementar mede o triplo do seu complementar.

1. a) Escreva uma igualdade utilizando os conceitos de ângulo complementar ($90^\circ - \alpha$) e suplementar ($180^\circ - \alpha$).
2. b) Calcule o valor do ângulo $\alpha$.
3. c) Como classificaria o ângulo $\alpha$ quanto à sua amplitude?

Um arquiteto está a desenhar uma praça com forma de triângulo escaleno cujos vértices são três fontes situadas nos pontos $A$, $B$ e $C$ (a figura mostra um esquema da praça). Quer colocar um candeeiro num ponto $P$ que cumpra duas condições:

1. Que esteja à mesma distância da fonte $A$ que da fonte $B$.

2. Que esteja à mesma distância da rua que une $A$ com $C$ que da rua que une $B$ com $C$.

Que construções geométricas (mediatriz, bissetriz, etc.) deve realizar o arquiteto para encontrar o ponto exato do candeeiro? Explica a propriedade dos pontos dessas retas que justifica a tua resposta.

Calcula o ângulo exato que formam os ponteiros de um relógio analógico quando marca as 03:40.

Pista: Tem em conta que o ponteiro das horas não fica fixo no 3, mas avança proporcionalmente enquanto o ponteiro dos minutos se desloca.

1. a) Quantos graus avança o ponteiro das horas por cada minuto que passa?

1. b) Calcula a posição em graus de ambos os ponteiros relativamente às 12:00 e determina a diferença.

Consideram-se dois ângulos adjacentes, $\widehat{AOB}$ e $\widehat{BOC}$, que partilham o lado $OB$ e cujos outros lados $OA$ e $OC$ formam uma linha reta (ou seja, $A$, $O$ e $C$ estão alinhados e os dois ângulos somam $180°$). Traçam-se as bissetrizes $OX$ do ângulo $\widehat{AOB}$ e $OY$ do ângulo $\widehat{BOC}$.

Demonstra, realizando o cálculo passo a passo, quanto mede o ângulo $\widehat{XOY}$ formado por ambas as bissetrizes. Este resultado depende da medida individual dos ângulos iniciais? Justifica a tua resposta.

Dada uma reta $r$ e um ponto exterior $P$, sabemos que só existe uma reta paralela a $r$ que passa por $P$.

Imagina agora que temos três retas paralelas entre si ($r, s, t$) e duas retas transversais ($m, n$) que não são paralelas entre si.

1. a) Qual é o número total de ângulos que se formam nos pontos de interseção?
2. b) Se todos os ângulos agudos formados pela reta $m$ com as paralelas medem $70^\circ$, e os ângulos agudos formados pela reta $n$ com as paralelas medem $55^\circ$, calcula o ângulo que formam entre si as retas $m$ e $n$.