Exercícios: Monômios e operações com monômios

No mundo da álgebra, nem todas as expressões são «monómios». Lembra-te de que um monómio é o produto de um número por uma letra (ou várias) com expoentes naturais. Indica quais das seguintes expressões são monómios e quais não são. Em caso negativo, explica o motivo:

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Copia a seguinte tabela para o teu caderno e completa os elementos que faltam para cada monómio. Tem cuidado com os sinais e os expoentes invisíveis!

Dois monómios são "semelhantes" se têm exatamente a mesma parte literal. Na lista seguinte, há três pares de monómios semelhantes escondidos. Encontra-os e agrupa-os!

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Simplifique estas expressões somando ou subtraindo os monómios que forem semelhantes. Se não for possível simplificar, indique o motivo:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

Num videojogo de aventura, a tua personagem recolhe gemas de energia. As gemas vermelhas valem $x$ pontos cada uma. Se durante a primeira fase conseguires $5x$ gemas, na segunda encontrares outras $8x$ e na terceira perderes $3x$ por causa de um feitiço, simplifica a expressão para saberes quantas gemas tens no final.

Para organizar uma festa, compras pacotes de refrigerante. Cada pacote contém $6$ latas e o preço de uma lata é $y$ euros. Se comprares $4$ pacotes iguais, escreve o monómio que representa o custo total da compra.

Um agricultor tem uma horta retangular para plantar tomates. Ajude-o a calcular a expressão da área da horta multiplicando os seguintes monómios:

Realize as seguintes multiplicações de monómios, lembrando que se multiplicam os coeficientes entre si e se somam os expoentes das letras iguais:

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

A Beatriz está a rever as operações com monómios e no seu caderno deixou escritas estas duas afirmações:

1) $4x^3 + 5x^3 = 9x^6$

2) $2a + 3b = 5ab$

Identifica o erro conceptual que a Beatriz cometeu em cada uma das duas operações. Explica, apoiando-te na propriedade distributiva e na definição de monómios semelhantes, por que razão os seus raciocínios são errados. Por último, escreve as respostas corrigidas para ambos os casos.

Queremos descobrir a identidade de um monómio desconhecido, ao qual chamaremos $M$, do qual conhecemos as seguintes pistas:

1) O seu coeficiente é um número inteiro negativo estritamente maior do que $-5$.

2) A sua parte literal é formada pelas letras $x$ e $y$, ambas com expoente maior ou igual a $1$.

3) Ao multiplicar o monómio desconhecido $M$ pelo monómio $3x^2y$, obtém-se um monómio de coeficiente $-12$ e grau total $6$.

Deduz e justifica fundamentadamente o coeficiente e os possíveis valores dos expoentes de $M$. Escreve pelo menos um monómio que cumpra exatamente todas as condições e, de seguida, propõe outro monómio diferente que seja semelhante a ele.

Num videojogo de estratégia, os recursos são armazenados por meio de expressões algébricas. Completa a seguinte tabela para que o programador possa organizar o inventário corretamente:

Estás a organizar os ficheiros do teu computador. Para poupar espaço, só podes somar ou subtrair aqueles "ficheiros" (monómios) que forem semelhantes. Reduz a seguinte expressão ao máximo:

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

Na loja de banda desenhada, $x$ representa uma quantidade de mangas. Se o Tomás comprar o triplo do quadrado dessa quantidade e depois lhe descontarem o dobro do quadrado dessa quantidade, que monómio representa a quantidade final de mangas que pagou? Escreve a operação e simplifica.

Um servidor de streaming divide um pacote de dados de tamanho $24x^6$ entre $4x^2$ utilizadores. Escreva o monómio que representa a quantidade de dados que cada utilizador recebe.

Deseja-se cercar com uma fita LED uma estante com uma forma poligonal especial. Calcule o monómio que representa o perímetro total da figura somando os seus lados:

Simplifique as seguintes divisões de monómios:

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Aplique a propriedade distributiva para eliminar os parênteses e reduza os termos semelhantes na seguinte expressão:

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Determine a expressão da área do seguinte retângulo na forma de monómio. Lembre-se de que a área é calculada multiplicando a base pela altura ($A = b \cdot h$).

Numa estação meteorológica do IPMA na Serra da Estrela analisam-se os nevões para avaliar o peso que as coberturas dos edifícios suportam. Num pavilhão de armazenamento com telhado plano retangular, o comprimento do pavilhão mede $4x$ metros, a largura mede $3x$ metros e a espessura da camada de neve acumulada após um temporal mede-se como $0,05x$ metros.

1. a) Calcula o monómio simplificado que modela o volume de neve depositada sobre o telhado (em $\text{m}^3$). Especifica claramente o seu coeficiente, a sua parte literal e o seu grau.
2. b) Sabendo que cada metro cúbico desta neve tem uma massa média de $120\text{ kg}$, obtém o monómio simplificado que representa a massa total de neve acumulada sobre o telhado.
3. c) Se numa inspeção técnica se verificar que $x = 2\text{ metros}$, calcula a massa total real de neve que o pavilhão suporta e reflete se as dimensões calculadas para o telhado ($4x$ de comprimento por $3x$ de largura) se revelam verosímeis na realidade.

Propomos-te analisar a seguinte operação combinada entre monómios:

1. a) Estima sem calcular: Antes de realizares as operações numéricas passo a passo, raciocina qual deve ser o grau do monómio resultante do primeiro bloco (a fração algébrica) e que sinal terá o seu coeficiente. A partir daí, deduz se será possível ou não subtrair-lhe o termo $- 5x^4$.
2. b) Verifica calculando: Resolve a expressão passo a passo respeitando a prioridade das operações: primeiro multiplica os monómios do numerador, divide depois pelo denominador e, por último, efetua a subtração de termos semelhantes.
3. c) Avalia: Compara o resultado final com as tuas previsões da alínea a). O grau e o sinal coincidiram com o que tinhas raciocinado previamente? Justifica por que razão o resultado final é um monómio e não uma expressão irredutível de dois termos.

Um artista urbano está a projetar um mural com formas geométricas entrelaçadas. O desenho central consiste num grande retângulo de base $5x^2$ e altura $3y$. Dentro desse retângulo, o artista deixa um espaço sem pintar em forma de triângulo cuja base mede $2x^2$ e a altura é de $y$. Escreva o monómio simplificado que represente a área que finalmente será pintada de colorido.

Observe a seguinte torre construída com cubos decorativos. Cada cubo tem uma aresta que mede $a$ cm. Sabe-se que a face superior de cada cubo está pintada de ouro, e as faces laterais externas (que não estão a tocar noutro cubo) estão pintadas de prata.

1. Escreva o monómio que representa a área total pintada de ouro numa torre de $n$ andares.

2. Escreva o monómio que representa a área total pintada de prata se a torre tiver exatamente 4 andares como a da imagem.

Complete a seguinte "Pirâmide de Monómios". Nesta pirâmide, o valor de cada casa é o produto dos dois monómios que estão abaixo dela. Tens de encontrar os monómios que faltam na base para que o monómio do topo seja o correto.

Inventa dois monómios, $M_1$ e $M_2$, que satisfaçam todas estas condições ao mesmo tempo:

1. Ambos devem ter como parte literal $a^2b$.

2. A sua soma deve ser um monómio cujo coeficiente seja $-10$.

3. Ao dividir $M_1$ por $M_2$, o resultado deve ser o número $4$.

Escreve os dois monómios e verifica se satisfazem as condições.

Observe o projeto desta área de jogos para um parque tecnológico. A Câmara Municipal precisa de calcular a área total para instalar relva artificial de diferentes cores em cada secção.

Calcule, por meio de operações com monómios, as seguintes expressões:

1. A área da Zona A.

2. A área da Zona B (formada por dois triângulos iguais).

3. A área total do recinto simplificando a soma dos monómios resultantes.

Repara na seguinte sucessão de figuras construídas com mosaicos quadrados brancos e cinzentos. Os matemáticos chamam a isto "padrões de crescimento".

1. Se $n$ representa o número da figura, escreve um monómio que represente o número de mosaicos cinzentos da figura $n$.

2. Escreve um binómio para o número de mosaicos brancos da figura $n$.

3. Soma ambas as expressões para obter a expressão do total de mosaicos. Que figura teria no total 101 mosaicos?

Um "Monómio Misterioso" perdeu algumas das suas partes depois de passar por uma máquina de operações. A tua missão é reconstruir a igualdade original encontrando o monómio que falta em cada caso (representado pelo sinal $?$):

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

Simplifique a seguinte expressão combinada, prestando muita atenção à ordem das operações e às propriedades das potências:

Explique passo a passo como reduziu cada termo antes de realizar a soma e a subtração final. Qual é o grau do polinómio resultante antes da simplificação total?

Numa aula de revisão, o professor propõe simplificar a seguinte expressão com monómios:

Dois alunos propõem duas estratégias distintas:

• Método do Marcos: Resolve primeiro a potência do parêntesis no numerador, depois multiplica todos os monómios do numerador entre si e os do denominador entre si para formar uma única fração, e finalmente divide os coeficientes e subtrai os expoentes.

• Método da Sara: Após desenvolver a potência do parêntesis, simplifica diretamente os fatores numéricos e as potências da mesma base partilhados pelo numerador e pelo denominador antes de fazer os produtos completos.

1. a) Desenvolve e calcula a expressão passo a passo seguindo o Método do Marcos.
2. b) Desenvolve e calcula a expressão passo a passo seguindo o Método da Sara.
3. c) Compara ambos os procedimentos: chega-se ao mesmo resultado? Que vantagens e desvantagens apresenta cada estratégia relativamente ao tamanho dos números intermédios e ao risco de erro? Justifica qual escolherias se os coeficientes fossem números muito maiores.

Uma fábrica de cartão de Aveiro produz caixas sem tampa a partir de uma folha retangular de cartão cujas dimensões são $6x$ metros de comprimento por $4x$ metros de largura. Para montar cada caixa, recorta-se em cada um dos quatro cantos da folha um quadrado de lado $y$ metros (com $y < 2x$) e dobram-se as quatro abas resultantes para cima.

1. a) Escreve a expressão algébrica que representa a superfície útil de cartão com que se constrói a caixa (a área inicial da folha menos os quatro cantos recortados). Justifica se a referida expressão é ou não um monómio de acordo com a definição formal.
2. b) A equipa de design estabelece que, para manter sempre as proporções ótimas, o corte dos cantos deve ser exatamente $y = 0,5x$:

1. Substitui esta condição na expressão da superfície útil e simplifica-a até obteres um único monómio. Indica o seu coeficiente, parte literal e grau.

2. Determina os monómios que representam o comprimento da base, a largura da base e a altura da caixa depois de dobrada.

3. Encontra o monómio simplificado que modela o volume interior da caixa.

1. c) Um cliente encomenda uma série de caixas que possam albergar um volume mínimo de $7500\text{ litros}$ ($7,5\text{ m}^3$). Se a fábrica ajustar a maquinaria para que $x = 1\text{ metro}$, verifica através do cálculo do volume do monómio obtido se a caixa cumpre o pedido do cliente e justifica a tua resposta.