Exercicis: Conservació del moment angular

Una patinadora artística gira sobre el gel amb els braços estesos. En un moment determinat recull els braços enganxant-los al cos i, sense impulsar-se de nou, comença a girar molt més de pressa.

1. a) Quines forces exteriors actuen sobre la patinadora i per què el seu moment respecte de l'eix de gir és pràcticament nul?
2. b) Enuncia el principi de conservació del moment angular i aplica'l a aquest cas.
3. c) En recollir els braços, quina magnitud disminueix: el moment d'inèrcia $I$ o la velocitat angular $\omega$? Dedueix per què augmenta l'altra.

Una patinadora gira amb un moment d'inèrcia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ i una velocitat angular $\omega_1 = 4\ \text{rad/s}$. En encongir els braços, el seu moment d'inèrcia es redueix a $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. La figura resumeix el canvi:

1. a) Calcula el seu moment angular inicial, $L = I_1 \cdot \omega_1$.
2. b) Aplica la conservació del moment angular, $I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$, i calcula la velocitat angular final $\omega_2$.
3. c) Expressa el resultat com a «vegades més ràpid»: quantes voltes fa ara per cada volta que feia abans?

Un planeta descriu una òrbita el·líptica al voltant de la seva estrella, que ocupa un dels focus de l'el·lipse. Anomena $r_a$ la distància en el punt més allunyat (afeli) i $r_p$ la del punt més proper (periheli).

1. a) Justifica, pel caràcter central de la força gravitatòria, que el moment angular del planeta és el mateix en tota l'òrbita.
2. b) Escriu la igualtat de conservació entre afeli i periheli: $m \cdot v_a \cdot r_a = m \cdot v_p \cdot r_p$.
3. c) Raona, a partir d'aquesta igualtat, en quin punt el planeta es mou més ràpid i en quin més a poc a poc.

Un planeta orbita al voltant d'una estrella i en l'afeli es troba a $4 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ d'aquesta, movent-se a $10\ \text{km/s}$. En el periheli la distància es redueix a $2 \cdot 10^{11}\ \text{m}$. La figura mostra l'òrbita (sense escala):

1. a) Escriu l'equació de conservació del moment angular entre afeli i periheli.
2. b) Calcula la rapidesa del planeta en el periheli, en $\text{km/s}$.
3. c) Explica físicament per què ha augmentat la seva rapidesa.

El moment angular d'un cos no es conserva en totes les situacions. Contesta raonadament:

1. a) Quina és la condició sobre el moment de les forces exteriors perquè el moment angular es conservi?
2. b) Una baldufa gira recolzada a terra i al cap d'un temps s'acaba aturant: s'ha conservat el seu moment angular? Quin moment de força n'és el responsable?
3. c) Un planeta fa milions d'anys que gira al voltant de la seva estrella sense canvis apreciables: relaciona aquest fet amb la condició de l'apartat a).

El rotor principal d'un helicòpter gira en un sentit i, en fer-ho, el fuselatge tendeix a girar en sentit contrari; el petit rotor de cua és l'encarregat d'evitar-ho. L'esquema mostra l'helicòpter vist des de dalt:

1. a) Abans d'enlairar-se, el moment angular total de l'helicòpter és nul. Aplicant la conservació del moment angular, explica per què el fuselatge tendeix a girar en posar-se en marxa el rotor principal.
2. b) Què fa el rotor de cua per impedir aquest gir? Raona la resposta.
3. c) Els helicòpters amb dos rotors principals els fan girar en sentits oposats: explica, amb la conservació del moment angular, per què així no necessiten rotor de cua.

Un cavallet de fira gira amb velocitat angular $\omega_1$ amb tots els nens asseguts a prop del centre. Quan es desplacen als seients de la vora, el moment d'inèrcia total del sistema es duplica.

1. a) Escriu l'equació de conservació del moment angular per a aquesta situació.
2. b) Dedueix, sense més dades, la velocitat angular final en funció de $\omega_1$.
3. c) El cavallet real gairebé no es frena perquè el motor manté el ritme: es conserva llavors el moment angular en el cavallet real? Raona la resposta.

El cometa 67P, visitat per la sonda Rosetta, passa pel periheli a $1,86 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ del Sol i per l'afeli a $8,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Escriu la conservació del moment angular entre tots dos punts i aïlla el quocient $\frac{v_p}{v_a}$.
2. b) Calcula aquest quocient i interpreta'l: quantes vegades més ràpid va el cometa a prop del Sol que lluny d'ell?
3. c) El cometa triga uns $6$ anys i mig a fer la volta completa: raona en quina part de l'òrbita passa la major part d'aquest temps.

La Terra passa per l'afeli, el seu punt més allunyat del Sol, a $1,521 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ amb una rapidesa de $29,3\ \text{km/s}$; pel periheli passa a $1,471 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservació del moment angular i calcula la rapidesa de la Terra en el periheli, en $\text{km/s}$.
2. b) Troba la diferència entre ambdues rapideses i comenta si és gran o petita en termes relatius.
3. c) Al gener la Terra és al periheli i tot i així és hivern a l'hemisferi nord: a la vista de les dades, comenta per què les estacions no es deuen a la distància al Sol.

Mercuri és el planeta amb l'òrbita més allargada del sistema solar: passa pel periheli a $4,6 \cdot 10^{10}\ \text{m}$ del Sol amb una rapidesa de $59\ \text{km/s}$ i per l'afeli a $7,0 \cdot 10^{10}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservació del moment angular i calcula la rapidesa de Mercuri en l'afeli, en $\text{km/s}$.
2. b) Expressa ambdues rapideses en $\text{m/s}$, en notació científica.
3. c) Calcula el quocient $\frac{v_p}{v_a}$ i el de distàncies $\frac{r_a}{r_p}$: comprova que coincideixen i explica per què ho han de fer.

Una saltadora de trampolí inicia un salt mortal girant a una volta per segon amb el cos estés, amb un moment d'inèrcia de $12\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. En agrupar-se a l'aire, el seu moment d'inèrcia es redueix a $4\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

1. a) Expressa la velocitat angular inicial en $\text{rad/s}$ (una volta equival a $2 \cdot \pi\ \text{rad}$).
2. b) Aplica la conservació del moment angular i calcula la velocitat angular final, en $\text{rad/s}$.
3. c) Expressa-la en voltes per segon i explica per què les gimnastes s'agrupen per fer diverses tombarelles i s'estiren abans d'arribar a l'aigua.

Un nen de $30\ \text{kg}$ corre a $3\ \text{m/s}$ en direcció tangent a la vora d'un cavallet de $2\ \text{m}$ de radi i hi salta a sobre, quedant-se agafat a la vora. El cavallet estava en repòs i el seu moment d'inèrcia és $I = 400\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Considera el nen una massa puntual. L'esquema mostra la situació vista des de dalt:

1. a) Calcula el moment angular del nen respecte de l'eix del cavallet just abans de saltar, $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el moment d'inèrcia total després del salt, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
3. c) Aplica la conservació del moment angular i calcula la velocitat angular amb què comença a girar el conjunt.

Quan una estrella esgota el seu combustible, el seu nucli pot col·lapsar conservant pràcticament el seu moment angular. Modela el nucli com una esfera el moment d'inèrcia de la qual és proporcional al quadrat del seu radi, $I \propto R^2$. La figura resumeix el col·lapse:

1. a) Si el radi del nucli es redueix a la meitat, raona en quin factor canvia el seu moment d'inèrcia.
2. b) Aplica la conservació del moment angular i dedueix en quin factor canvia la seva velocitat angular.
3. c) Si inicialment el nucli girava amb un període de $10\ \text{h}$, calcula el seu període de gir final.

El cometa Halley creua el periheli a $8,8 \cdot 10^{10}\ \text{m}$ del Sol amb una rapidesa de $54,5\ \text{km/s}$; en l'afeli s'allunya fins a $5,2 \cdot 10^{12}\ \text{m}$.

1. a) Calcula la rapidesa del cometa en l'afeli aplicant la conservació del moment angular, en $\text{km/s}$.
2. b) Expressa aquesta rapidesa en $\text{m/s}$, en notació científica.
3. c) La massa del cometa no apareix en el càlcul: justifica per què es pot cancel·lar en l'equació de conservació.

En un laboratori es dispara un dard de $0,05\ \text{kg}$ a $40\ \text{m/s}$ que es clava a la vora d'un disc horitzontal de $0,25\ \text{m}$ de radi, lliure de girar al voltant del seu eix vertical. El disc estava en repòs i el seu moment d'inèrcia és $I = 0,2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. El dard impacta en direcció tangent a la vora; menysprea el moment d'inèrcia del dard clavat.

1. a) Calcula el moment angular del dard respecte de l'eix del disc just abans de l'impacte.
2. b) Justifica que en el xoc es conserva el moment angular encara que no es conservi l'energia cinètica, pel fet de ser un xoc inelàstic.
3. c) Calcula la velocitat angular del disc amb el dard clavat.

Un giroscopi és una roda que gira a gran velocitat angular al voltant del seu eix. Els satèl·lits i l'Estació Espacial Internacional porten rodes de reacció basades en aquest principi per orientar-se sense gastar combustible.

1. a) El vector $\vv{L}$ d'una roda que gira lliurement en l'espai es conserva en mòdul, direcció i sentit: explica-ho a partir del moment de les forces exteriors.
2. b) Dedueix per què un giroscopi manté fixa l'orientació del seu eix en l'espai i quina utilitat té això com a referència de navegació.
3. c) Si una roda de reacció del satèl·lit augmenta la seva velocitat de gir en un sentit, què li passa a la resta del satèl·lit? Raona la resposta amb la conservació del moment angular total.

L'exoplaneta HD 80606 b té una òrbita molt allargada: en el punt més proper a la seva estrella hi passa a $4,5 \cdot 10^{9}\ \text{m}$ amb una rapidesa de $1,2 \cdot 10^{5}\ \text{m/s}$, i en el més allunyat s'allunya fins a $1,35 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Justifica que el moment angular del planeta es conserva en tota l'òrbita.
2. b) Calcula la seva rapidesa en el punt més allunyat, en notació científica.
3. c) Calcula el quocient de distàncies $\frac{r_{lejos}}{r_{cerca}}$ i compara'l amb el quocient de rapideses: quina relació hi ha entre tots dos?
4. d) El planeta triga uns $111$ dies a fer la volta completa, però passa la major part del temps lluny de la seva estrella: explica aquest fet amb la conservació del moment angular.

Una patinadora gira amb un moment d'inèrcia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ i una velocitat angular $\omega_1 = 6\ \text{rad/s}$. En recollir els braços, el seu moment d'inèrcia queda $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. L'energia cinètica de rotació val $E_c = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2$.

1. a) Calcula la velocitat angular final aplicant la conservació del moment angular.
2. b) Calcula l'energia cinètica de rotació inicial i final.
3. c) Comprova que l'energia final és més gran que la inicial: d'on ha sortit aquesta energia extra si ningú empeny la patinadora des de fora? Raona la resposta pensant en el treball que fan els seus músculs en apropar els braços a l'eix.

El nucli d'una estrella gegant, de radi $R_1 = 2 \cdot 10^{8}\ \text{m}$, gira amb un període de $20\ \text{h}$. En esgotar-se el seu combustible col·lapsa i forma una estrella de neutrons de radi $R_2 = 1 \cdot 10^{4}\ \text{m}$, conservant el seu moment angular. Modela el nucli com una esfera, $I \propto R^2$.

1. a) Escriu l'equació de conservació $I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$ en funció dels radis i dedueix el factor $\frac{\omega_2}{\omega_1}$.
2. b) Calcula aquest factor amb les dades de l'enunciat.
3. c) Expressa el període inicial en segons i calcula el període final de l'estrella de neutrons, en notació científica.
4. d) Els púlsars reals giren amb períodes de mil·lèsimes de segon: comenta si el teu resultat és compatible i què suposa sobre la violència del col·lapse estel·lar.

Una plataforma giratòria d'un parc ($I = 100\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$) gira lliurement a $\omega_1 = 2\ \text{rad/s}$ amb un nen de $40\ \text{kg}$ assegut a la vora, a $1,5\ \text{m}$ de l'eix (considera'l una massa puntual). El nen s'arrossega a poc a poc fins al centre de la plataforma.

1. a) Calcula el moment d'inèrcia total inicial, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
2. b) Calcula el moment angular inicial del sistema.
3. c) Amb el nen al centre, on el seu moment d'inèrcia és negligible, calcula la velocitat angular final de la plataforma.
4. d) Si el nen tornés a la vora, recuperaria la plataforma la seva velocitat inicial? Justifica-ho i comenta què li respondries a qui afirmi que «la plataforma es queda per sempre girant més ràpid».

El sistema Terra-Lluna conserva el seu moment angular total gairebé a la perfecció. Per l'efecte de les marees, la rotació de la Terra es frena: el dia s'allarga uns $2\ \text{ms}$ per segle, i la Lluna s'allunya de nosaltres uns $3,8\ \text{cm}$ a l'any.

1. a) El moment angular total del sistema és la suma del de rotació de la Terra i de l'orbital de la Lluna: escriu aquesta suma indicant cada terme.
2. b) Si el moment angular de rotació de la Terra disminueix, raona què ha de passar amb el moment angular orbital de la Lluna perquè el total es conservi.
3. c) El moment angular orbital de la Lluna val $m \cdot v \cdot r$: explica per què allunyar-se (augmentar $r$) augmenta aquest moment encara que la Lluna es mogui una mica més a poc a poc (en òrbita circular $v$ decreix només com a $\frac{1}{\sqrt{r}}$, mentre que $r$ creix).
4. d) Extrapola la situació a molt llarg termini: què passarà amb la durada del dia terrestre i amb la distància a la Lluna si el procés continua?

Un satèl·lit descriu una òrbita circular de $r_1 = 7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radi amb una rapidesa de $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. Per passar a una òrbita més alta encén breument el motor en la direcció del moviment (empenta tangencial) i augmenta la seva rapidesa un 20 %. L'esquema mostra l'òrbita i l'encesa del motor:

1. a) Calcula el moment angular per unitat de massa abans de l'encesa, $\frac{L}{m} = v \cdot r$.
2. b) És l'empenta del motor una força central? Es conserva el moment angular durant l'encesa? Raona ambdues respostes.
3. c) Calcula la nova rapidesa i el nou moment angular per unitat de massa just després de l'encesa.
4. d) Amb el motor ja apagat, el satèl·lit recorre una òrbita el·líptica allunyant-se del punt d'encesa: descriu, amb la conservació del moment angular, com evolucionen la seva rapidesa i la seva distància al centre de la Terra fins a assolir el punt més alt.

L'Estació Espacial Internacional (moment d'inèrcia total $I_{EEI} = 1 \cdot 10^{8}\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$) s'orienta amb rodes de reacció: volants d'inèrcia interns de $I_r = 100\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ cadascun. Suposa l'estació inicialment en repòs angular, amb les rodes aturades, i menysprea el moment d'inèrcia de les rodes enfront del de l'estació.

1. a) Quant val el moment angular total del sistema estació més rodes en aquest estat inicial?
2. b) Una roda es posa a girar a $\omega_r = 300\ \text{rad/s}$. Aplicant la conservació del moment angular total, calcula la velocitat angular amb què comença a girar l'estació en sentit contrari.
3. c) Expressa el resultat en voltes per hora i comenta si el mètode permet maniobres d'orientació lentes però controlades, sense gastar combustible.

Un patinador gira sobre gel amb una manuella de $2\ \text{kg}$ a cada mà i els braços estesos, a $0,8\ \text{m}$ de l'eix de gir, amb $\omega_1 = 5\ \text{rad/s}$. El moment d'inèrcia del seu propi cos (amb els braços) és $I_p = 3\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. En un moment determinat deixa anar les manuelles, sense llançar-les: simplement obre les mans.

1. a) Calcula el moment d'inèrcia total inicial, sumant el del patinador i el de les dues manuelles, tractades com a masses puntuals a $0,8\ \text{m}$ de l'eix.
2. b) Calcula el moment angular total inicial.
3. c) Un cop lliures, les manuelles es mouen en línia recta i s'emporten el seu moment angular respecte de l'eix: calcula quina part del moment angular inicial corresponia a les manuelles i dedueix la velocitat angular final del patinador.
4. d) Compara el resultat amb el que hauria passat si hagués recollit els braços sense deixar anar res: és el mateix efecte? Justifica-ho.

Repte del tema. Dissenya un informe cientificotècnic que vinculi la dinàmica del moment angular amb els efectes relativistes en òrbites extremes.

1. Experiment casolà: Lliga un objecte petit ($m = 25\text{ g} \pm 1\text{ g}$) a un fil. Fes-lo girar horitzontalment sota una força central amb radis $r \in \{0,30; 0,45; 0,60\}\text{ m}$ ($\pm 0,01\text{ m}$). Cronometra $10$ revolucions ($\pm 0,2\text{ s}$) per calcular el període $T$ i la celeritat $v$. Construeix una taula amb incerteses, representa la gràfica de $L = m \cdot r \cdot v$ enfront de $r$ i discuteix si el moment angular es conserva.

2. Salt relativista: Consulta al web de la NASA o ESA la celeritat d'una sonda ràpida i compara-la amb un cas hipotètic en camp central a $v = 0,80c$. Determina el factor $\gamma$, la contracció d'una longitud pròpia $L_0$ paral·lela a la velocitat ($L' = L_0/\gamma$), la dilatació temporal diària ($\Delta t = \gamma \Delta t_0$) i l'energia relativista total ($E = \gamma m c^2$).

3. Producte final: Lliura una proposta raonada que inclogui la taula experimental, la gràfica i l'anàlisi comparativa entre la mecànica clàssica i la relativista.

Es valorarà:

• Rigor en el mesurament casolà, càlcul d'incerteses i qualitat de la gràfica.

• Correcció conceptual en l'aplicació del moment angular, forces centrals i transformacions relativistes.

• Coherència crítica i claredat expositiva en l'informe final.