Conservación del momento angular

Una patinadora artística gira sobre el hielo con los brazos extendidos. En un momento dado recoge los brazos pegándolos al cuerpo y, sin impulsarse de nuevo, empieza a girar mucho más deprisa.

1. a) ¿Qué fuerzas exteriores actúan sobre la patinadora y por qué su momento respecto del eje de giro es prácticamente nulo?
2. b) Enuncia el principio de conservación del momento angular y aplícalo a este caso.
3. c) Al recoger los brazos, ¿qué magnitud disminuye: el momento de inercia $I$ o la velocidad angular $\omega$? Deduce por qué aumenta la otra.

Una patinadora gira con un momento de inercia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ y una velocidad angular $\omega_1 = 4\ \text{rad/s}$. Al encoger los brazos, su momento de inercia se reduce a $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. La figura resume el cambio:

1. a) Calcula su momento angular inicial, $L = I_1 \cdot \omega_1$.
2. b) Aplica la conservación del momento angular, $I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$, y calcula la velocidad angular final $\omega_2$.
3. c) Expresa el resultado como «veces más rápido»: ¿cuántas vueltas da ahora por cada vuelta que daba antes?

El momento angular de un cuerpo no se conserva en todas las situaciones. Contesta razonadamente:

1. a) ¿Cuál es la condición sobre el momento de las fuerzas exteriores para que el momento angular se conserve?
2. b) Una peonza gira apoyada en el suelo y al cabo de un tiempo acaba parándose: ¿se ha conservado su momento angular? ¿Qué momento de fuerza es el responsable?
3. c) Un planeta lleva millones de años girando alrededor de su estrella sin cambios apreciables: relaciona este hecho con la condición del apartado a).

Una saltadora de trampolín inicia un salto mortal girando a una vuelta por segundo con el cuerpo extendido, con un momento de inercia de $12\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Al agruparse en el aire, su momento de inercia se reduce a $4\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

1. a) Expresa la velocidad angular inicial en $\text{rad/s}$ (una vuelta equivale a $2 \cdot \pi\ \text{rad}$).
2. b) Aplica la conservación del momento angular y calcula la velocidad angular final, en $\text{rad/s}$.
3. c) Exprésala en vueltas por segundo y explica por qué las gimnastas se agrupan para dar varias volteretas y se estiran antes de llegar al agua.

Cuando una estrella agota su combustible, su núcleo puede colapsar conservando prácticamente su momento angular. Modela el núcleo como una esfera cuyo momento de inercia es proporcional al cuadrado de su radio, $I \propto R^2$. La figura resume el colapso:

1. a) Si el radio del núcleo se reduce a la mitad, razona en qué factor cambia su momento de inercia.
2. b) Aplica la conservación del momento angular y deduce en qué factor cambia su velocidad angular.
3. c) Si inicialmente el núcleo giraba con un período de $10\ \text{h}$, calcula su período de giro final.

Una patinadora gira con un momento de inercia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ y una velocidad angular $\omega_1 = 6\ \text{rad/s}$. Al recoger los brazos, su momento de inercia queda $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. La energía cinética de rotación vale $E_c = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2$.

1. a) Calcula la velocidad angular final aplicando la conservación del momento angular.
2. b) Calcula la energía cinética de rotación inicial y final.
3. c) Comprueba que la energía final es mayor que la inicial: ¿de dónde ha salido esa energía extra si nadie empuja a la patinadora desde fuera? Razona la respuesta pensando en el trabajo que realizan sus músculos al acercar los brazos al eje.

Un niño de $30\ \text{kg}$ corre a $3\ \text{m/s}$ en dirección tangente al borde de un tiovivo de $2\ \text{m}$ de radio y salta sobre él, quedándose agarrado al borde. El tiovivo estaba en reposo y su momento de inercia es $I = 400\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Considera al niño una masa puntual. El esquema muestra la situación vista desde arriba:

1. a) Calcula el momento angular del niño respecto del eje del tiovivo justo antes de saltar, $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el momento de inercia total después del salto, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
3. c) Aplica la conservación del momento angular y calcula la velocidad angular con la que empieza a girar el conjunto.

En un laboratorio se dispara un dardo de $0,05\ \text{kg}$ a $40\ \text{m/s}$ que se clava en el borde de un disco horizontal de $0,25\ \text{m}$ de radio, libre de girar alrededor de su eje vertical. El disco estaba en reposo y su momento de inercia es $I = 0,2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. El dardo impacta en dirección tangente al borde; desprecia el momento de inercia del dardo clavado.

1. a) Calcula el momento angular del dardo respecto del eje del disco justo antes del impacto.
2. b) Justifica que en el choque se conserva el momento angular aunque no se conserve la energía cinética, por ser un choque inelástico.
3. c) Calcula la velocidad angular del disco con el dardo clavado.

Una plataforma giratoria de un parque ($I = 100\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$) gira libremente a $\omega_1 = 2\ \text{rad/s}$ con un niño de $40\ \text{kg}$ sentado en el borde, a $1,5\ \text{m}$ del eje (considéralo una masa puntual). El niño se arrastra despacio hasta el centro de la plataforma.

1. a) Calcula el momento de inercia total inicial, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
2. b) Calcula el momento angular inicial del sistema.
3. c) Con el niño en el centro, donde su momento de inercia es despreciable, calcula la velocidad angular final de la plataforma.
4. d) Si el niño volviera al borde, ¿recuperaría la plataforma su velocidad inicial? Justifícalo y comenta qué le responderías a quien afirme que «la plataforma se queda para siempre girando más rápido».

Un planeta describe una órbita elíptica alrededor de su estrella, que ocupa uno de los focos de la elipse. Llama $r_a$ a la distancia en el punto más alejado (afelio) y $r_p$ a la del punto más cercano (perihelio).

1. a) Justifica, por el carácter central de la fuerza gravitatoria, que el momento angular del planeta es el mismo en toda la órbita.
2. b) Escribe la igualdad de conservación entre afelio y perihelio: $m \cdot v_a \cdot r_a = m \cdot v_p \cdot r_p$.
3. c) Razona, a partir de esa igualdad, en qué punto el planeta se mueve más rápido y en cuál más despacio.

El cometa 67P, visitado por la sonda Rosetta, pasa por el perihelio a $1,86 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ del Sol y por el afelio a $8,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Escribe la conservación del momento angular entre ambos puntos y despeja el cociente $\frac{v_p}{v_a}$.
2. b) Calcula ese cociente e interprétalo: ¿cuántas veces más rápido va el cometa cerca del Sol que lejos de él?
3. c) El cometa tarda unos $6$ años y medio en dar la vuelta completa: razona en qué parte de la órbita pasa la mayor parte de ese tiempo.

La Tierra pasa por el afelio, su punto más alejado del Sol, a $1,521 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ con una rapidez de $29,3\ \text{km/s}$; por el perihelio pasa a $1,471 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservación del momento angular y calcula la rapidez de la Tierra en el perihelio, en $\text{km/s}$.
2. b) Halla la diferencia entre ambas rapideces y comenta si es grande o pequeña en términos relativos.
3. c) En enero la Tierra está en el perihelio y aun así es invierno en el hemisferio norte: a la vista de los datos, comenta por qué las estaciones no se deben a la distancia al Sol.

El exoplaneta HD 80606 b tiene una órbita muy alargada: en el punto más cercano a su estrella pasa a $4,5 \cdot 10^{9}\ \text{m}$ de ella con una rapidez de $1,2 \cdot 10^{5}\ \text{m/s}$, y en el más lejano se aleja hasta $1,35 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Justifica que el momento angular del planeta se conserva en toda la órbita.
2. b) Calcula su rapidez en el punto más lejano, en notación científica.
3. c) Calcula el cociente de distancias $\frac{r_{lejos}}{r_{cerca}}$ y compáralo con el cociente de rapideces: ¿qué relación hay entre ambos?
4. d) El planeta tarda unos $111$ días en dar la vuelta completa, pero pasa la mayor parte del tiempo lejos de su estrella: explica este hecho con la conservación del momento angular.