Exercicis: Moment angular i forces centrals

Al laboratori d'un hospital, una centrífuga fa girar un tub d'assaig de $0,02\ \text{kg}$ que descriu una circumferència de $0,15\ \text{m}$ de radi amb una rapidesa de $9\ \text{m/s}$. L'esquema mostra el gir vist des de dalt:

1. a) Escriu l'expressió del moment angular d'una partícula respecte d'un punt, $L = m \cdot v \cdot r$, vàlida quan la velocitat és perpendicular al radi.
2. b) Calcula el moment angular del tub respecte de l'eix de gir, expressat en $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

Una partícula d'un simulador de vol descriu a la pantalla una circumferència en sentit antihorari al voltant del punt O.

1. a) Escriu la definició vectorial del moment angular, $\vv{L} = \vv{r} \times \vv{p}$, i indica què representen $\vv{r}$ i $\vv{p} = m \cdot \vv{v}$.
2. b) Dibuixa al teu quadern la circumferència i els vectors $\vv{r}$, $\vv{v}$ i $\vv{p}$ en un punt qualsevol i, aplicant la regla de la mà dreta al producte vectorial, dedueix la direcció i el sentit de $\vv{L}$ respecte del pla de la pantalla.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una atleta fa girar una fona: una pedra de $0,1\ \text{kg}$ descriu una circumferència horitzontal de $0,8\ \text{m}$ de radi amb una rapidesa de $12\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el moment lineal de la pedra, $p = m \cdot v$.
2. b) Calcula el seu moment angular respecte del centre de la circumferència, $L = m \cdot v \cdot r$.

Quan la velocitat d'una partícula és perpendicular al seu vector de posició (per exemple, en un moviment circular respecte al centre), el mòdul del seu moment angular es calcula com a $L = m \cdot v \cdot r$.

1. a) A partir de les unitats de massa, velocitat i distància, dedueix la unitat del moment angular en el Sistema Internacional.
2. b) Comprova que aquesta unitat equival a $\text{J} \cdot \text{s}$ (recorda que $1\ \text{J} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$).
3. c) A partir de la fórmula, explica què li passa al moment angular d'una partícula si es duplica la seva rapidesa sense canviar la seva trajectòria.

Un nanosatèl·lit de $4\ \text{kg}$ descriu una òrbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radi al voltant de la Terra amb una rapidesa de $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. L'esquema mostra l'òrbita:

1. a) Calcula el seu moment angular respecte del centre de la Terra, expressant el resultat en notació científica.
2. b) Indica la direcció i el sentit del vector $\vv{L}$ respecte del pla de l'òrbita.

Una força és central quan la seva direcció passa sempre per un punt fix anomenat centre de forces. Indica quines de les forces següents són centrals i quines no, raonant cada resposta:

1. a) L'atracció gravitatòria del Sol sobre un planeta.
2. b) La tensió de la corda d'una bola que gira lligada a un pal.
3. c) La força elèctrica que el nucli d'un àtom exerceix sobre un electró.
4. d) El fregament de l'aire sobre un satèl·lit artificial en òrbita baixa.
5. e) L'empenta del motor d'un coet que accelera en la direcció del moviment.

En el model atòmic de Bohr, l'electró d'un àtom d'hidrogen descriu una òrbita circular de $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$ de radi amb una rapidesa de $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ (massa de l'electró: $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$). L'esquema representa el model:

1. a) Calcula el moment angular de l'electró respecte del nucli, en notació científica i amb dues xifres significatives.
2. b) Indica quina força actua com a força centrípeta en aquest cas i justifica que es tracta d'una força central.

El moment d'una força respecte d'un punt és $\vv{M} = \vv{r} \times \vv{F}$, i el seu mòdul val $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$, on $\theta$ és l'angle entre $\vv{r}$ i $\vv{F}$. La figura mostra els vectors i l'angle:

1. a) Raona quant val el moment d'una força central respecte del centre de forces: quant val l'angle $\theta$ entre el vector de posició i la força?
2. b) La variació del moment angular compleix $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$. Dedueix què li passa al moment angular d'un cos sotmès únicament a una força central.
3. c) Posa dos exemples de moviments reals en què es compleixi l'anterior.

La nau Orió, de $2,5 \cdot 10^{4}\ \text{kg}$, passa per un punt situat a $2 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centre de la Lluna amb una rapidesa de $1,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, en una direcció que forma $30^\circ$ amb la recta que la uneix amb la Lluna ($\sen 30^\circ = 0,5$). La figura mostra aquest instant:

1. a) Escriu l'expressió general del mòdul del moment angular, $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$, i explica el significat de cada terme.
2. b) Calcula el moment angular de la nau respecte del centre de la Lluna.
3. c) Si la nau passés pel mateix punt amb la velocitat apuntant directament cap a la Lluna, quant valdria el seu moment angular? Raona la resposta.

La Terra descriu una òrbita pràcticament circular de $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ de radi al voltant del Sol amb una rapidesa de $29,8\ \text{km/s}$ (massa de la Terra: $5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$).

1. a) Expressa la rapidesa en $\text{m/s}$, en notació científica.
2. b) Calcula el moment angular orbital de la Terra respecte del Sol, amb tres xifres significatives.
3. c) Indica la direcció del vector $\vv{L}$ respecte del pla de l'òrbita i si aquest canvia al llarg de l'any.

En la prova de llançament de martell, la bola de $7,26\ \text{kg}$ gira amb una rapidesa de $25\ \text{m/s}$ i el seu moment angular respecte de l'eix de gir val $290\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

1. a) Aïlla el radi de gir de l'expressió $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el radi de gir de la bola, amb dues xifres significatives.
3. c) Compara el resultat amb la longitud del cable reglamentari, que és d'uns $1,2\ \text{m}$, i explica a què es deu la diferència.

Dos cossos de prova, A i B, giren al laboratori al voltant del mateix eix. El cos A té una massa de $0,3\ \text{kg}$, una rapidesa de $4\ \text{m/s}$ i un radi de gir de $0,5\ \text{m}$; el cos B té una massa de $0,6\ \text{kg}$, una rapidesa de $2\ \text{m/s}$ i un radi de gir de $1\ \text{m}$. L'esquema mostra tots dos cossos vistos des de dalt:

1. a) Calcula el moment angular de cada cos respecte de l'eix.
2. b) Calcula el quocient $\frac{L_B}{L_A}$ i interpreta'l: quantes vegades és més gran el moment angular de B?
3. c) Sense repetir càlculs, raona com canviaria aquest quocient si la rapidesa d'A es doblés.

Un satèl·lit de comunicacions de $300\ \text{kg}$ ocupa una òrbita geoestacionària circular de $4,22 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ de radi i completa una volta cada $24\ \text{h}$.

1. a) Expressa el període en segons i calcula la rapidesa orbital, $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$.
2. b) Calcula el moment angular del satèl·lit respecte del centre de la Terra, en notació científica.
3. c) Com canviaria el resultat si el satèl·lit fos el doble de massiu? Justifica-ho sense repetir el càlcul complet.

La Lluna descriu una òrbita gairebé circular de $3,84 \cdot 10^{8}\ \text{m}$ de radi al voltant de la Terra amb un període de $27,3$ dies (massa de la Lluna: $7,35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$).

1. a) Expressa el període en segons i calcula la rapidesa orbital de la Lluna, $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$.
2. b) Calcula el moment angular orbital de la Lluna respecte del centre de la Terra, en notació científica i amb tres xifres significatives.

Una partícula d'abrasiu de $1\ \text{g}$ de massa està adherida a la vora del disc d'una esmoladora, que gira amb velocitat angular $\omega = 250\ \text{rad/s}$ a $5\ \text{cm}$ de l'eix. L'esquema mostra el disc vist des de dalt:

1. a) Expressa la massa i el radi en unitats del Sistema Internacional.
2. b) Calcula la rapidesa lineal de la partícula, $v = \omega \cdot r$.
3. c) Calcula el seu moment angular respecte de l'eix del disc.

Sobre una barra que pot girar al voltant d'un eix s'apliquen dues forces de $20\ \text{N}$ en punts situats a $0,4\ \text{m}$ de l'eix: la força A apunta radialment cap a l'eix i la força B és perpendicular a la barra ($\sen 90^\circ = 1$, $\sen 0^\circ = 0$). L'esquema mostra la barra i les dues forces:

1. a) Calcula el moment de cada força respecte de l'eix, $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$.
2. b) A partir de $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$, indica quina de les dues forces canvia el moment angular de la barra i quina no.
3. c) Relaciona el resultat amb el comportament de les forces centrals: a quina de les dues s'assembla una força central?

Es vol situar un satèl·lit d'observació terrestre de $500\ \text{kg}$ en una òrbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radi mesurat des del centre de la Terra. Dades: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_{Tierra} = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) L'única força sobre el satèl·lit és la gravitatòria, que actua com a força centrípeta. Iguala $G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$ i dedueix l'expressió $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$.
2. b) Calcula la rapidesa orbital del satèl·lit.
3. c) Calcula el seu moment angular respecte del centre de la Terra.
4. d) Justifica, a partir del caràcter central de la força gravitatòria, que aquest moment angular roman constant durant tota l'òrbita.

En el model de Bohr de l'àtom d'hidrogen, l'electró només pot tenir determinats valors del moment angular. El primer valor permès és $L_1 = \frac{h}{2 \cdot \pi}$, amb $h = 6,63 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$.

1. a) Calcula el valor de $L_1$, en notació científica i amb tres xifres significatives.
2. b) Amb les dades de l'òrbita fonamental (radi $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$, rapidesa $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$, massa de l'electró $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$), calcula el moment angular de l'electró amb $L = m \cdot v \cdot r$ i compara'l amb $L_1$.
3. c) El segon nivell permès és $L_2 = 2 \cdot L_1$. Si el radi d'aquesta òrbita és $2,12 \cdot 10^{-10}\ \text{m}$, calcula la rapidesa que ha de portar l'electró en aquesta.

En una pràctica de laboratori, una boleta de $0,1\ \text{kg}$ gira sobre una taula horitzontal sense fregament lligada a un fil que passa per un tub vertical fix a la taula. Inicialment gira amb un radi $r_1 = 0,6\ \text{m}$ i una rapidesa $v_1 = 3\ \text{m/s}$. Estirant el fil per sota del tub es redueix el radi fins a $r_2 = 0,3\ \text{m}$. L'esquema mostra el muntatge vist des de dalt:

1. a) Calcula el moment angular inicial de la boleta.
2. b) La tensió del fil és una força central, ja que apunta sempre cap al tub: justifica, a partir del seu moment, que el moment angular de la boleta es conserva durant el procés.
3. c) Calcula la rapidesa de la boleta quan el radi és $r_2$.
4. d) Compara les energies cinètiques inicial i final i explica d'on procedeix l'augment.

Una parella de patinadors artístics realitza una figura en què tots dos giren units pels braços al voltant del punt mitjà entre ells. Modela cada patinador com una massa puntual: $m_1 = 60\ \text{kg}$ a $0,9\ \text{m}$ del centre de gir i $m_2 = 50\ \text{kg}$ a $1,1\ \text{m}$, tots dos amb la mateixa velocitat angular $\omega = 3\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcula la rapidesa lineal de cada patinador, $v = \omega \cdot r$.
2. b) Calcula el moment angular de cadascun respecte del centre de gir.
3. c) El moment angular total del sistema és la suma de tots dos: calcula'l i justifica que, si les forces exteriors tenen moment nul, aquest total es conserva encara que els patinadors s'empenyin entre si (les forces internes no canvien el moment angular total).

Un protó ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) es mou en línia recta amb rapidesa constant de $2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ dins de la cambra d'un accelerador de partícules. La seva trajectòria passa a una distància mínima $d = 3 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$ d'un sensor situat en el punt O.

1. a) El moment angular respecte d'O val $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$. Dibuixa al teu quadern la situació i raona que, encara que $r$ i $\theta$ canvien al llarg del trajecte, el producte $r \cdot \sen\theta$ és sempre igual a $d$.
2. b) Calcula el moment angular del protó respecte d'O, en notació científica.
3. c) El protó es mou lliurement, sense forces: és coherent que el seu moment angular sigui constant encara que no descrigui cap corba? Justifica-ho.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un satèl·lit de $200\ \text{kg}$ en òrbita baixa ($r = 6,8 \cdot 10^{6}\ \text{m}$, $v = 7,7 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$) pateix un petit fregament amb les capes altes de l'atmosfera. La figura mostra l'òrbita i el sentit del fregament:

1. a) Calcula el seu moment angular inicial respecte del centre de la Terra.
2. b) El fregament és una força tangencial, oposada a la velocitat: el seu moment respecte del centre de la Terra és nul? És el fregament una força central? Raona totes dues respostes.
3. c) En vista de l'anterior, prediu què passarà amb el moment angular i amb el radi de l'òrbita al llarg dels mesos: mantindrà el satèl·lit la seva òrbita indefinidament? Justifica-ho.

Una sonda de $800\ \text{kg}$ amb els motors apagats s'aproxima a Mart. En el punt de màxima aproximació es troba a $4 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centre del planeta i porta una rapidesa de $5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, perpendicular a la recta que la uneix amb Mart.

1. a) Calcula el moment angular de la sonda en aquest punt.
2. b) Mentre els motors estan apagats, l'única força sobre la sonda és l'atracció gravitatòria de Mart: justifica per què el moment angular es manté constant durant tota la maniobra.
3. c) Quan la sonda s'allunya de nou i es troba a $1,6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ del centre de Mart, movent-se perpendicularment a la recta que els uneix, calcula la rapidesa que porta.

El moment angular de rotació d'un planeta esfèric val $L = I \cdot \omega$, amb $I = \frac{2}{5} \cdot M \cdot R^2$ i $\omega = \frac{2 \cdot \pi}{T}$. Dades de la Terra: $M = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, $R = 6,37 \cdot 10^{6}\ \text{m}$, període de rotació $T = 24\ \text{h}$; en la seva òrbita, radi $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ i rapidesa $2,98 \cdot 10^{4}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el moment d'inèrcia de la Terra, en notació científica.
2. b) Expressa el període de rotació en segons i calcula el moment angular de rotació de la Terra.
3. c) Calcula el seu moment angular orbital respecte del Sol i troba el quocient entre tots dos: quin domina i en quin factor aproximat?