Momento angular y fuerzas centrales

En el laboratorio de un hospital, una centrífuga hace girar un tubo de ensayo de $0,02\ \text{kg}$ que describe una circunferencia de $0,15\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $9\ \text{m/s}$. El esquema muestra el giro visto desde arriba:

1. a) Escribe la expresión del momento angular de una partícula respecto de un punto, $L = m \cdot v \cdot r$, válida cuando la velocidad es perpendicular al radio.
2. b) Calcula el momento angular del tubo respecto del eje de giro, expresado en $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

Una atleta hace girar una honda: una piedra de $0,1\ \text{kg}$ describe una circunferencia horizontal de $0,8\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $12\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el momento lineal de la piedra, $p = m \cdot v$.
2. b) Calcula su momento angular respecto del centro de la circunferencia, $L = m \cdot v \cdot r$.

Un nanosatélite de $4\ \text{kg}$ describe una órbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radio alrededor de la Tierra con una rapidez de $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. El esquema muestra la órbita:

1. a) Calcula su momento angular respecto del centro de la Tierra, expresando el resultado en notación científica.
2. b) Indica la dirección y el sentido del vector $\vv{L}$ respecto del plano de la órbita.

La nave Orión, de $2,5 \cdot 10^{4}\ \text{kg}$, pasa por el punto más cercano a la Luna a $2 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de su centro con una rapidez de $1,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, en una dirección que forma $30^\circ$ con la recta que la une con la Luna ($\sen 30^\circ = 0,5$). La figura muestra el momento de máximo acercamiento:

1. a) Escribe la expresión general del módulo del momento angular, $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$, y explica el significado de cada término.
2. b) Calcula el momento angular de la nave respecto del centro de la Luna.
3. c) Si la nave pasara por el mismo punto con la velocidad apuntando directamente hacia la Luna, ¿cuánto valdría su momento angular? Razona la respuesta.

En la prueba de lanzamiento de martillo, la bola de $7,26\ \text{kg}$ gira con una rapidez de $25\ \text{m/s}$ y su momento angular respecto del eje de giro vale $290\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

1. a) Despeja el radio de giro de la expresión $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el radio de giro de la bola, con dos cifras significativas.
3. c) Compara el resultado con la longitud del cable reglamentario, que es de unos $1,2\ \text{m}$, y explica a qué se debe la diferencia.

Dos cuerpos de prueba, A y B, giran en el laboratorio alrededor del mismo eje. El cuerpo A tiene una masa de $0,3\ \text{kg}$, una rapidez de $4\ \text{m/s}$ y un radio de giro de $0,5\ \text{m}$; el cuerpo B tiene una masa de $0,6\ \text{kg}$, una rapidez de $2\ \text{m/s}$ y un radio de $1\ \text{m}$. El esquema muestra ambos cuerpos vistos desde arriba:

1. a) Calcula el momento angular de cada cuerpo respecto del eje.
2. b) Calcula el cociente $\frac{L_B}{L_A}$ e interprétalo: ¿cuántas veces es mayor el momento angular de B?
3. c) Sin repetir cálculos, razona cómo cambiaría ese cociente si la rapidez de A se duplicara.

Una fuerza es central cuando su dirección pasa siempre por un punto fijo llamado centro de fuerzas. Indica cuáles de las siguientes fuerzas son centrales y cuáles no, razonando cada respuesta:

1. a) La atracción gravitatoria del Sol sobre un planeta.
2. b) La tensión de la cuerda de una bola que gira atada a un poste.
3. c) La fuerza eléctrica que el núcleo de un átomo ejerce sobre un electrón.
4. d) El rozamiento del aire sobre un satélite artificial en órbita baja.
5. e) El empuje del motor de un cohete que acelera en la dirección del movimiento.

En el modelo atómico de Bohr, el electrón de un átomo de hidrógeno describe una órbita circular de $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ (masa del electrón: $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$). El esquema representa el modelo:

1. a) Calcula el momento angular del electrón respecto del núcleo, en notación científica y con dos cifras significativas.
2. b) Indica qué fuerza actúa como fuerza centrípeta en este caso y justifica que se trata de una fuerza central.

Sobre una barra que puede girar alrededor de un eje se aplican dos fuerzas de $20\ \text{N}$ en puntos situados a $0,4\ \text{m}$ del eje: la fuerza A apunta radialmente hacia el eje y la fuerza B es perpendicular a la barra ($\sen 90^\circ = 1$, $\sen 0^\circ = 0$). El esquema muestra la barra y las dos fuerzas:

1. a) Calcula el momento de cada fuerza respecto del eje, $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$.
2. b) A partir de $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$, indica cuál de las dos fuerzas cambia el momento angular de la barra y cuál no.
3. c) Relaciona el resultado con el comportamiento de las fuerzas centrales: ¿a cuál de las dos se parece una fuerza central?

Se desea situar un satélite de observación terrestre de $500\ \text{kg}$ en una órbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radio medido desde el centro de la Tierra. Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_{Tierra} = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, que actúa como fuerza centrípeta. Iguala $G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$ y deduce la expresión $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$.
2. b) Calcula la rapidez orbital del satélite.
3. c) Calcula su momento angular respecto del centro de la Tierra.
4. d) Justifica, a partir del carácter central de la fuerza gravitatoria, que ese momento angular permanece constante durante toda la órbita.

Un protón ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) se mueve en línea recta con rapidez constante de $2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ dentro de la cámara de un acelerador de partículas. Su trayectoria pasa a una distancia mínima $d = 3 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$ de un sensor situado en el punto O.

1. a) El momento angular respecto de O vale $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$. Dibuja en tu cuaderno la situación y razona que, aunque $r$ y $\theta$ cambian a lo largo del trayecto, el producto $r \cdot \sen\theta$ es siempre igual a $d$.
2. b) Calcula el momento angular del protón respecto de O, en notación científica.
3. c) El protón se mueve libremente, sin fuerzas: ¿es coherente que su momento angular sea constante aunque no describa ninguna curva? Justifícalo.

Una sonda de $800\ \text{kg}$ con los motores apagados se aproxima a Marte. En el punto de máximo acercamiento se halla a $4 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centro del planeta y lleva una rapidez de $5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, perpendicular a la recta que la une con Marte.

1. a) Calcula el momento angular de la sonda en ese punto.
2. b) Mientras los motores están apagados, la única fuerza sobre la sonda es la atracción gravitatoria de Marte: justifica por qué el momento angular se mantiene constante durante toda la maniobra.
3. c) Cuando la sonda se aleja de nuevo y se encuentra a $1,6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ del centro de Marte, moviéndose perpendicularmente a la recta que los une, calcula la rapidez que lleva.