Exercicis: Intensitat i flux en distribucions de càrrega

El flux del camp elèctric a través d'una superfície plana situada en un camp uniforme es defineix com a $\Phi = E \cdot S \cdot \cos \alpha$. Observa l'esquema:

1. a) Identifica què representa cada símbol de la fórmula, inclòs l'angle $\alpha$.
2. b) Indica la unitat del flux en el Sistema Internacional, construint-la a partir de les unitats de $E$ i de $S$.

Un camp elèctric uniforme $E = 500\ \text{N/C}$ travessa perpendicularment una superfície plana de $0,2\ \text{m}^2$ (la normal a la superfície és paral·lela al camp, $\alpha = 0^\circ$). Calcula el flux del camp a través de la superfície.

Un full pla de $0,5\ \text{m}^2$ es troba dins d'un camp elèctric uniforme $E = 300\ \text{N/C}$, orientat de manera que les línies de camp són paral·leles al full. Observa l'esquema:

1. a) Quant val l'angle $\alpha$ entre el camp i la normal al full?
2. b) Calcula el flux a través del full i explica, pensant en les línies de camp, per què surt aquest valor.

Un dipol elèctric és un conjunt de dues càrregues iguals i de signe contrari, $+q$ i $-q$, molt properes entre si; la molècula d'aigua, per exemple, es comporta com un dipol. Dibuixa al teu quadern les línies de camp d'un dipol.

1. a) En quina càrrega neixen les línies de camp i en quina acaben?
2. b) Assenyala al teu dibuix una zona on el camp sigui intens i una altra on sigui feble, justificant-ho per la densitat de línies.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues càrregues positives iguals són properes entre si. Dibuixa al teu quadern les seves línies de camp.

1. a) Què li passa al camp total en el punt mitjà del segment que uneix les càrregues? Relaciona-ho amb l'aspecte del teu dibuix.
2. b) Es poden creuar dues línies de camp en un punt? Raona què significaria un encreuament per al vector $\vec{E}$ en aquest punt.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un camp elèctric uniforme $E = 200\ \text{N/C}$ travessa una superfície plana de $0,5\ \text{m}^2$ la normal de la qual forma un angle de $60^\circ$ amb el camp ($\cos 60^\circ = 0,5$). Calcula el flux del camp a través de la superfície.

El teorema de Gauss afirma que el flux net del camp elèctric a través d'una superfície tancada depèn únicament de la càrrega neta continguda al seu interior. La figura mostra una càrrega exterior propera a una superfície tancada.

1. a) Si una superfície tancada no conté cap càrrega, quant val el flux net a través d'ella?
2. b) Significa això que el camp elèctric és nul en tots els punts de la superfície? Raona la teva resposta considerant una càrrega puntual situada fora de la superfície, però molt a prop d'ella.

Considera un dipol format per les càrregues $+q$ i $-q$, i aquests punts de l'espai: els de l'eix que uneix les càrregues (fora del segment) i els de la mediatriu (la recta perpendicular al segment pel seu punt mitjà). Dibuixa al teu quadern els vectors camp de cada càrrega en aquests punts.

1. a) Raona cap a on apunta el camp total en un punt de l'eix situat fora del segment (analitza quin camp domina i el seu sentit).
2. b) Raona cap a on apunta el camp total en un punt de la mediatriu (pista: fixa't en quines components es cancel·len i quines se sumen).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una caixa cúbica d'aresta $a = 10\ \text{cm}$ està immersa en un camp elèctric uniforme $E = 3\cdot10^{3}\ \text{N/C}$, paral·lel a una de les seves arestes. La caixa no conté cap càrrega. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el flux a través de cadascuna de les sis cares del cub, indicant el signe en cada cas (conveni: el flux és positiu quan les línies surten de la superfície tancada i negatiu quan hi entren).
2. b) Calcula el flux net a través de tota la superfície del cub i explica, amb el teorema de Gauss, per què té aquest valor.

Un dipol està format per les càrregues $q_1 = +1\ \text{nC}$ i $q_2 = -1\ \text{nC}$, separades $20\ \text{cm}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el camp (mòdul, direcció i sentit) que crea cada càrrega en el punt mitjà del segment que les uneix.
2. b) Calcula el camp total en aquest punt.
3. c) Compara el resultat amb el camp en el punt mitjà entre dues càrregues iguals del mateix signe i explica la diferència.

Un camp elèctric uniforme $E = 4\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ travessa una superfície rectangular de $30\ \text{cm}$ per $10\ \text{cm}$ la normal de la qual forma un angle de $45^\circ$ amb el camp ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).

1. a) Expressa l'àrea de la superfície en $\text{m}^2$.
2. b) Calcula el flux del camp a través d'ella.

Una càrrega puntual $Q = 6\ \text{nC}$ és a l'interior d'una superfície esfèrica (pren $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Aplica el teorema de Gauss, $\Phi = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$, i calcula el flux net del camp a través de l'esfera.
2. b) Canviaria el resultat si l'esfera tingués el doble de radi? Justifica-ho.

Dues càrregues $q_1 = +2\ \text{nC}$ i $q_2 = -2\ \text{nC}$ ocupen els punts $(10, 0)$ i $(-10, 0)$, amb les coordenades en centímetres (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). S'estudia el punt $P(0, 10)$. La figura mostra la geometria de la situació.

1. a) Calcula la distància de cada càrrega al punt $P$.
2. b) Calcula el mòdul del camp que crea cada càrrega a $P$.
3. c) Dibuixa els dos vectors al teu quadern i raona quines components es cancel·len entre si i quines se sumen.
4. d) Calcula el mòdul del camp total a $P$ i indica'n la direcció i el sentit.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una càrrega puntual $Q = 4\ \text{nC}$ està situada fora d'una superfície esfèrica tancada, a una certa distància d'aquesta (dades: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Quant val el flux net del camp a través de l'esfera? Aplica el teorema de Gauss i justifica el resultat.
2. b) És nul també el camp elèctric en els punts de la superfície? Raona la diferència entre flux net i camp en cada punt.
3. c) Calcula el camp que crea $Q$ en el punt de l'esfera més proper a ella, situat a $30\ \text{cm}$ de la càrrega.

Un marc quadrat de $0,1\ \text{m}^2$ pot girar dins d'un camp elèctric uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$. Es mesura el flux per a diferents orientacions ($\cos 30^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$).

1. a) Calcula el flux quan la normal al marc forma amb el camp els angles $\alpha = 0^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$.
2. b) Descriu com seria la gràfica del flux en funció de $\alpha$ entre $0^\circ$ i $180^\circ$ i raona per què el flux pot sortir negatiu.
3. c) Explica què significa físicament un flux negatiu, en termes de línies de camp.

Una càrrega $Q = 3\ \text{nC}$ està continguda dins d'una superfície tancada de forma irregular (per exemple, la superfície d'una motxilla), sense que la càrrega estigui al centre (pren $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Calcula el flux net del camp a través de la superfície.
2. b) Si la càrrega es desplaça a una altra posició, sempre dins de la superfície, canvia el flux net? I el flux a través de cada porció de la superfície per separat? Raona ambdues respostes.

Un dipol està format per les càrregues $q_1 = +2\ \text{nC}$ i $q_2 = -2\ \text{nC}$, separades $10\ \text{cm}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). S'estudia un punt de l'eix del dipol situat a $50\ \text{cm}$ del seu centre, del costat de la càrrega positiva.

1. a) Determina la distància del punt a cadascuna de les càrregues.
2. b) Calcula el camp (mòdul i sentit) que crea cada càrrega en aquest punt.
3. c) Calcula el camp total i indica'n el sentit.
4. d) Els dos camps gairebé es cancel·len, perquè les distàncies són semblants i les càrregues, oposades: utilitza aquesta idea per explicar per què el camp d'un dipol decreix amb la distància molt més ràpidament que el d'una càrrega aïllada.

Una superfície tancada conté les càrregues $Q_1 = 7\ \text{nC}$ i $Q_2 = -2\ \text{nC}$; una tercera càrrega $Q_3 = 8\ \text{nC}$ està situada fora de la superfície (pren $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula la càrrega neta continguda per la superfície.
2. b) Calcula el flux net del camp a través d'ella.
3. c) Justifica per què $Q_3$ no intervé en el càlcul, tot i que sí que contribueix al camp elèctric en cada punt de la superfície.
4. d) Si $Q_2$ passés a valer $-7\ \text{nC}$, quant valdria el flux net? Significaria això que el camp és nul a la superfície? Raona la resposta.

Un mesurador registra el flux del camp elèctric a través d'una superfície tancada dividida en dues regions: per la regió 1 el flux és $\Phi_1 = -200\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (les línies hi entren) i per la regió 2 és $\Phi_2 = +350\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (les línies en surten); no hi ha més regions (pren $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). La figura mostra les dues regions i el sentit de les línies.

1. a) Calcula el flux net a través de la superfície completa.
2. b) Dedueix el signe de la càrrega neta continguda i calcula el seu valor aplicant el teorema de Gauss.
3. c) Raona què els passaria als dos fluxos mesurats si la càrrega continguda es dupliqués, mantenint-se tota la resta igual.

Una cúpula semiesfèrica de radi $R = 0,3\ \text{m}$, amb la base horitzontal, està immersa en un camp elèctric uniforme i vertical $E = 400\ \text{N/C}$. Observa l'esquema:

1. a) Raona que el flux a través de la superfície corba de la cúpula és el mateix que a través de la seva projecció horitzontal (el cercle de la base): les línies de camp que creuen la semiesfera són exactament les que creuen la seva base.
2. b) Calcula aquest flux.
3. c) Si la cúpula es tanqués amb la seva base plana, formant una superfície tancada sense càrrega a l'interior, quant valdria el flux net? Explica com es compensen els fluxos de la part corba i de la base.

Considera un dipol format per les càrregues $+q$ i $-q$ (pren $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$ per a l'apartat c)).

1. a) Raona, dibuixant al teu quadern els vectors camp de cada càrrega, si existeix algun punt del pla, a distància finita, on el camp total del dipol sigui nul. Analitza per separat: l'eix fora del segment, l'eix entre les càrregues, la mediatriu i un punt genèric fora d'aquestes rectes.
2. b) Conclou on s'anul·la realment el camp d'un dipol.
3. c) Calcula el flux net a través d'una superfície tancada que envolta tot el dipol i relaciona-ho amb el fet que les seves línies de camp neixen a $+q$ i acaben a $-q$.

Dues càrregues idèntiques $q = 4\ \text{nC}$ estan separades una distància $d = 20\ \text{cm}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). S'estudia el camp en els punts de la mediatriu del segment que les uneix, a una distància $y$ del punt mitjà. La figura mostra la geometria.

1. a) Raona, per simetria, que el camp total a la mediatriu és perpendicular al segment que uneix les càrregues (quines components es cancel·len?).
2. b) Calcula el mòdul del camp total per a $y = 0$, per a $y = 10\ \text{cm}$ i per a $y = 20\ \text{cm}$.
3. c) Calcula també el mòdul per a $y = 7\ \text{cm}$.
4. d) El camp és nul a $y = 0$ i tendeix a zero quan $y$ és molt gran, però al principi creix amb $y$: raona, amb els quatre valors calculats, que ha d'existir un màxim intermedi i acota entre quines distàncies es troba.

Un programa de simulació dibuixa el mapa de línies del camp elèctric d'una distribució de càrregues: en una regió A, $12$ línies creuen cada $\text{cm}^2$ perpendicular al camp, i en una regió B, només $4$ línies. Observa l'esquema:

1. a) Quina relació tenen els mòduls del camp a A i a B? Justifica-ho a partir del significat de la densitat de línies.
2. b) Si a la regió B el camp val $200\ \text{N/C}$, calcula el flux a través d'una superfície de $0,05\ \text{m}^2$, perpendicular al camp, situada a la regió A.
3. c) El nombre de línies que travessen una superfície és proporcional al flux, i les línies només neixen o acaben on hi ha càrregues: utilitza aquestes dues idees per explicar qualitativament el teorema de Gauss, és a dir, per què el flux net a través d'una superfície tancada «compta» la càrrega tancada.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una càrrega puntual $Q = 4\ \text{nC}$ està al centre d'una superfície esfèrica de radi $R = 0,2\ \text{m}$ (dades: $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$; $K = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el flux net a través de l'esfera aplicant el teorema de Gauss.
2. b) Per simetria, el camp és radial i té el mateix mòdul en tots els punts de l'esfera, de manera que $\Phi = E \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^2$. Aïlla $E$ i calcula-la.
3. c) Calcula el mateix camp amb la llei de Coulomb, $E = K \cdot \frac{Q}{R^2}$, i comprova que coincideix.
4. d) Extreu una conclusió sobre la relació entre el teorema de Gauss i la llei de Coulomb.