Aproximação e erros

Um piloto de Fórmula 1 registrou um tempo de volta de $1,24572$ minutos. Para simplificar os gráficos na transmissão de TV, é necessário fazer aproximações desse tempo.

Calcule:

1. a) O tempo truncado nos milésimos.

1. b) O tempo arredondado nos milésimos.

1. c) O tempo arredondado nos centésimos.

1. d) Explique brevemente por que o resultado de truncar e o de arredondar nos milésimos são diferentes neste caso concreto.

Em uma loja de eletrônicos, o preço real de um celular é de $456,28$ reais. No entanto, no cartaz publicitário da vitrine, o proprietário decide colocar o preço arredondado para as unidades para que seja mais atraente visualmente.

Calcule:

• O valor aproximado que aparece no cartaz.

• O erro absoluto cometido com essa aproximação.

• O erro relativo expresso em porcentagem (com duas casas decimais).

Ao medir a espessura de um livro didático com uma régua cuja menor divisão são os milímetros, obtemos um valor de $2,4$ cm.

Indique:

• Qual é a cota de erro absoluto desta medição.

• Entre quais valores se encontra a espessura real do livro, expressando o resultado por meio de um intervalo.

Temos duas medições diferentes realizadas por operários distintos:

1. Um carpinteiro mede uma ripa de madeira de $2,5$ metros e comete um erro absoluto de $1$ cm.

2. Um topógrafo mede um terreno de $450$ metros e comete um erro absoluto de $1$ metro.

Calcule o erro relativo de cada medição e determine justificadamente qual das duas aproximações é de melhor qualidade (mais precisa).

Para um trabalho de Economia da 1ª série do Ensino Médio, a Maria Eduarda e o Carlos analisam os desvios orçamentários de duas rubricas:

• Rubrica A (material de informática): custo real de $820$ reais, orçado em $800$ reais.

• Rubrica B (material de papelaria): custo real de $12$ reais, orçado em $10$ reais.

O Carlos afirma: «Na rubrica B só nos desviamos em $2$ reais, enquanto na A nos desviamos em $20$ reais. Como $2 < 20$, a estimativa da papelaria foi dez vezes mais precisa do que a da informática».

1. a) Detecte o erro conceitual na afirmação do Carlos e explique por que o erro absoluto não é um indicador válido para comparar a qualidade dessas duas aproximações.
2. b) Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual cometido em cada uma das duas rubricas.
3. c) A partir dos resultados, determine com rigor matemático qual das duas estimativas orçamentárias teve melhor qualidade.

Dois técnicos de som estão calibrando equipamentos para um festival de música. O primeiro técnico mede o comprimento de um cabo de antena e obtém $15,25$ m, quando seu valor real é de $15,30$ m. O segundo técnico mede a latência de um sinal digital e obtém $0,018$ s, sendo o valor real de $0,020$ s.

1. a) Calcule o erro absoluto cometido por cada técnico.
2. b) Determine qual das duas medições é mais precisa comparando seus erros relativos.
3. c) Se o primeiro técnico arredondar sua medição para as décimas, qual será o novo erro relativo cometido?

O número áureo ou de ouro, representado pela letra grega $\phi$, tem um valor exato de $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Um estudante utiliza a calculadora e obtém que seu valor é aproximadamente $1,6180339...$

Se o estudante decidir tomar como aproximação do número áureo o valor $1,62$:

• Isso é um arredondamento ou um truncamento para as centésimas?

• Calcule o erro absoluto cometido (considere o valor da calculadora como valor real).

• Esse erro absoluto é menor do que um milésimo?

Identifique o número de algarismos significativos dos seguintes dados obtidos em um laboratório de química:

• $0,00405$ gramas de um composto reativo.

• $120,70$ mililitros de água destilada.

• $3,50 \cdot 10^4$ partículas por centímetro cúbico.

• $2000$ bactérias em uma amostra (aproximado para as unidades).

A massa da Terra é de aproximadamente $5.972.200.000.000.000.000.000.000$ kg. Nos livros didáticos de ciências costuma-se expressar este número em notação científica arredondando para duas casas decimais (três algarismos significativos).

1. a) Escreva a massa da Terra em notação científica com todos os seus algarismos.

1. b) Escreva a aproximação arredondada que seria usada em um livro didático.

1. c) Calcule a cota de erro absoluto associada a esse arredondamento.

Uma empresa de fabricação de componentes eletrônicos produz resistores que devem ter um valor nominal de $470$ ohms ($\Omega$). O controle de qualidade permite uma margem de erro (tolerância) tal que o valor real $R$ deve cumprir a condição $|R - 470| \leq 15$.

1. a) Expresse por meio de um intervalo da reta real os valores de resistência permitidos.
2. b) Se um resistor medido der um valor de $482,5 \Omega$, ele estará dentro da margem de tolerância?
3. c) Calcule a cota do erro relativo máximo que a empresa aceita para esse componente.

O raio de uma pista circular de patinação foi medido com uma fita métrica, obtendo-se um valor de $12,4$ metros. Sabe-se que o erro absoluto cometido nessa medição é, no máximo, de $0,05$ metros.

1. a) Escreva o intervalo no qual se encontra o valor real do raio.
2. b) Calcule os valores máximo e mínimo possíveis para a área da pista (use $\pi \approx 3,14159$).
3. c) Se tomarmos como aproximação da área o valor calculado com o raio de $12,4$ m, qual é o limite superior do erro absoluto para essa área?

Para fazer um bolo gigante, um confeiteiro soma as massas dos três ingredientes principais, que pesou em uma balança industrial:

• Farinha: $12,4$ kg (arredondado para as décimas).

• Açúcar: $5,75$ kg (arredondado para as centésimas).

• Manteiga: $2,125$ kg (arredondado para as milésimas).

Calcule a soma total dos ingredientes e arredonde o resultado final de forma que seja coerente com a medição menos precisa das três. Justifique sua escolha.

Em um laboratório de biologia, estima-se que o número de bactérias em uma placa de cultura seja de $4,25 \times 10^7$, com um erro relativo de $2\%$.

1. a) Calcule o erro absoluto cometido na estimativa.
2. b) Entre quais dois valores se encontra o número real de bactérias?
3. c) Se depois de uma hora o número de bactérias triplicar, expresse o novo total em notação científica e calcule sua ordem de grandeza.

Um microchip de alta precisão tem uma base retangular cujas dimensões foram medidas com um paquímetro a laser. O comprimento obtido é de $l = 4,25$ mm e a largura é de $w = 2,80$ mm. Sabe-se que o aparelho de medição tem um erro absoluto máximo de $0,005$ mm em cada medição. Calcule:

1. a) A cota do erro absoluto cometido ao calcular a área do microchip.
2. b) O intervalo de valores possíveis no qual se encontra a área real.
3. c) Qual é o erro relativo máximo cometido no cálculo da área, expresso em porcentagem e arredondado às milésimas?

Em um experimento de física de partículas, estima-se que a massa de uma amostra seja de $m = 3,45 \cdot 10^{-6}$ kg com um erro relativo de $0,2\%$. Simultaneamente, o volume ocupado pela amostra é medido como $V = 1,2 \cdot 10^{-9}$ $m^3$ com uma cota de erro absoluto de $0,05 \cdot 10^{-9}$ $m^3$.

Determine se é possível que a densidade real ($\rho = m/V$) da amostra supere $3000$ $kg/m^3$, justificando sua resposta por meio do cálculo das cotas de erro correspondentes.

Considere os números reais $A = \sqrt{7}$ e $B = \frac{22}{8}$.

1. a) Represente de forma exata o número $A$ na reta real utilizando o teorema de Pitágoras.
2. b) Aproxime ambos os números, arredondando para milésimos.
3. c) Qual é o erro relativo cometido ao aproximar a soma $A + B$ pelo número $5,4$?

Um investidor analisa a rentabilidade de uma criptomoeda. O valor atual é de $0,0004582$ reais por unidade. Para facilitar os cálculos em seu aplicativo móvel, ele decide truncar esse valor na quinta casa decimal (centésimos de milésimo).

1. a) Escreva o valor truncado em notação científica.
2. b) Calcule o erro absoluto e o erro relativo cometidos por esse truncamento.
3. c) Qual seria o erro relativo se, em vez de truncar, ele tivesse arredondado para o mesmo algarismo?

Um analista financeiro utiliza a aproximação do número de ouro $\Phi \approx 1,618$ para prever o comportamento de uma criptomoeda em um gráfico de crescimento. Sabendo que o valor exato é $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$:

1. a) Calcule o erro absoluto cometido nessa aproximação (utilize todas as casas decimais da sua calculadora para o valor real).
2. b) Calcule o erro relativo cometido.
3. c) Se o analista aplicar essa proporção a um investimento de $2.500.000$ reais, qual seria a diferença em reais entre usar o valor aproximado e o valor real? Esse erro é significativo no contexto financeiro?

Um praticante de caminhada utiliza um GPS de montanha para se orientar. O dispositivo estima a distância até o abrigo de destino por meio da fórmula $d = \sqrt{x^2 + y^2}$. Em um ponto da rota, as coordenadas registradas são $x = 800$ m e $y = 600$ m. No entanto, o GPS tem uma imprecisão (cota de erro absoluto) de $2$ metros em cada eixo.

Calcule a cota do erro relativo cometido ao estimar a distância total $d$. Arredonde o resultado para quatro algarismos significativos.