Funções definidas por partes

Dada a seguinte função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcule o valor da função nos pontos $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Observe o gráfico da função $f(x)$ e determine o seu domínio e a sua imagem.

Expresse a função valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como uma função definida por partes.

Um estacionamento no centro cobra uma tarifa de $2$ reais pela primeira hora de permanência (ou fração). A partir da primeira hora, cobra a razão de $1,50$ reais por hora adicional, faturando o tempo extra de forma proporcional aos minutos exatos de permanência. Escreva a função definida por partes $C(x)$ que representa o custo total em função das horas $x$ que o carro permanece no estacionamento.

Uma operadora de telefonia celular oferece uma tarifa de dados que funciona da seguinte maneira: paga-se uma taxa fixa mensal de $15$ reais que inclui os primeiros $5$ GB de download. Se esse limite for ultrapassado, cada gigabyte adicional (ou fração proporcional) é cobrado a $2$ reais.

Escreva a função $C(x)$ que representa o custo mensal em função dos gigabytes $x$ consumidos, e calcule quanto pagará um cliente que consumiu $3$ GB e outro que consumiu $8,5$ GB.

Encontre o ponto de transição da seguinte função e determine se ela é contínua nesse ponto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Associe a seguinte descrição à estrutura de uma função definida por partes: "Liga-se um forno e a sua temperatura sobe de forma constante durante 10 minutos até atingir 200 ºC. Mantém-se nessa temperatura durante 40 minutos para assar uma pizza e, finalmente, desliga-se, e a temperatura desce até a temperatura ambiente (20 ºC) de forma constante em 30 minutos."

Escreva os intervalos de tempo que definiriam os três trechos da função temperatura $T(t)$.

Represente graficamente no seu caderno a seguinte função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a seguinte função definida por partes seja contínua em todo o seu domínio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

A partir do gráfico da função $g(x)$, determine a sua expressão analítica sabendo que ela é formada por duas semirretas.

A partir do gráfico da função $h(x)$, que é composta por um arco de parábola e uma semirreta, encontre a sua expressão algébrica.

Dada a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Represente-a graficamente e determine seus máximos e mínimos relativos, se existirem.

Expresse a função $f(x) = |x - 2| + 3x$ como uma função definida por partes sem utilizar o módulo e calcule os valores de $f(0)$ e $f(5)$.

Para expressar a função $g(x) = |2x - 6| + 1$ como uma função definida por ramos, o Rafael escreve na sua prova:

O Rafael argumenta que a mudança de ramo ocorre sempre em $x = 0$ porque é aí que os números passam de negativos a positivos.

1. a) Explique de forma fundamentada o erro conceitual do Rafael. Que expressão realmente deve mudar de sinal para separar os ramos do valor absoluto e em que valor de $x$ ocorre a mudança?
2. b) Escreva a expressão correta de $g(x)$ por ramos e verifique, calculando os limites laterais no ponto de mudança de ramo, que a função não apresenta nenhum salto (é contínua).

Expresse a função $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como uma função definida por partes, eliminando os módulos, e simplifique a expressão de cada um dos trechos resultantes.

Para resolver a equação $|x - 1| + |x - 3| = 4$, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método A (Analítico por meio de função definida por ramos): Definir $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ por ramos. Para isso, estuda-se o sinal de $x - 1$ e de $x - 3$ dividindo a reta real em três intervalos ($x < 1$, $1 \le x \le 3$ e $x > 3$), eliminam-se os módulos conforme adequado e resolve-se uma equação do primeiro grau em cada ramo, verificando se cada solução encontrada pertence ao seu intervalo.

• Método B (Geométrico por distâncias): Interpretar $|x - a|$ como a distância na reta real entre o valor $x$ e o ponto fixo $a$. Desse modo, $|x - 1| + |x - 3|$ representa a soma das distâncias de um ponto $x$ até o $1$ e até o $3$.

1. a) Aplique o Método A: escreva $f(x)$ discriminada em três ramos simplificados e resolva a equação verificando a validade das soluções em cada intervalo.
2. b) Aplique o Método B: raciocine sobre a reta numérica qual é a distância mínima possível entre $x$ e os pontos $1$ e $3$ (e em que intervalo de $x$ ela é atingida). A partir dessa análise geométrica, deduza as soluções de $|x - 1| + |x - 3| = 4$ sem recorrer à álgebra de ramos.
3. c) Compare os dois métodos e justifique qual deles você escolheria se a equação fosse $|2x - 1| + 3|x - 3| = 8$, e qual você escolheria se lhe pedissem para justificar rapidamente por que a equação $|x - 1| + |x - 3| = 1,5$ não tem nenhuma solução real.

Uma empresa de entregas urgentes na Espanha tarifa os envios nacionais de acordo com o seu peso $x$ (em quilogramas) por meio da função de custo $P(x)$ (em reais):

1. a) Sem fazer cálculos numéricos exatos, observe com atenção os dois ramos: a taxa fixa passa de $4$ reais para $8$ reais, mas o custo por quilograma cai de $1,5$ reais para $0,7$ reais. Estime de forma fundamentada se um cliente que envie uma encomenda de $5,1\text{ kg}$ pagará muito mais, muito menos ou uma quantia praticamente idêntica à de outro que envie uma encomenda de $4,9\text{ kg}$.
2. b) Confirme a sua estimativa calculando os custos exatos $P(4,9)$ e $P(5,1)$. Em seguida, calcule os limites laterais $\lim_{x \to 5^-} P(x)$ e $\lim_{x \to 5^+} P(x)$ para determinar se no limiar dos $5\text{ kg}$ ocorre um salto brusco ou se o gráfico se liga de forma contínua. Esse resultado é razoável para o cliente?

A conta de luz de uma residência tem uma taxa fixa de $10$ reais mensais. Além disso, os primeiros $100$ kWh consumidos são faturados a $0,12$ reais/kWh. Se forem ultrapassados os $100$ kWh, o excesso de consumo é cobrado a $0,15$ reais/kWh. Escreva a função $F(x)$ que dá o valor total da conta em função dos kWh $x$ consumidos.

Em um país fictício, o imposto sobre a renda é calculado da seguinte maneira: pelos primeiros $10\,000$ reais de rendimentos não se pagam impostos ($0$%). Pela quantia que exceder $10\,000$ reais e até $20\,000$ reais, paga-se $10$%. Pela quantia que exceder $20\,000$ reais, paga-se $20$%.

Escreva a função definida por partes $I(x)$ que calcula o imposto a pagar em função dos rendimentos $x$.

Em uma localidade espanhola, a fatura bimestral da água para uso doméstico se divide em três faixas de consumo para incentivar a economia de água:

• Faixa 1 (consumo básico): até $15\text{ m}^3$, cobra-se uma tarifa de serviço fixa de $6$ reais mais $0,50$ reais por cada metro cúbico consumido.

• Faixa 2 (consumo médio): entre $15\text{ m}^3$ e $30\text{ m}^3$, os primeiros $15\text{ m}^3$ são pagos de acordo com a faixa 1 e o volume restante que exceda $15\text{ m}^3$ é cobrado a $1,20$ reais por cada metro cúbico adicional.

• Faixa 3 (consumo elevado): para consumos superiores a $30\text{ m}^3$, os primeiros $30\text{ m}^3$ são pagos de acordo com as faixas anteriores e cada metro cúbico adicional acima de $30\text{ m}^3$ custa $2,50$ reais.

1. a) Modele a fatura escrevendo a função $C(x)$ (custo em reais) em função do volume $x$ de água consumido (em $\text{m}^3$), detalhando a expressão algébrica simplificada para cada uma das três faixas: $[0, 15]$, $(15, 30]$ e $(30, +\infty)$.
2. b) Verifique analiticamente, por meio dos respectivos limites laterais, se a função $C(x)$ é contínua nos pontos de mudança de faixa ($x = 15$ e $x = 30$).
3. c) Que problema de equidade seria gerado para os usuários se a empresa cobrasse diretamente todo o volume a $1,20$ reais/$\text{m}^3$ assim que o consumo ultrapassasse os $15\text{ m}^3$?

Um trem urbano arranca de uma estação e acelera de forma constante até atingir uma velocidade de $20$ m/s em $10$ segundos. Ele mantém essa velocidade de cruzeiro durante $30$ segundos e, finalmente, freia de maneira uniforme até parar por completo na estação seguinte em $5$ segundos. Escreva a função definida por partes $v(t)$ que descreve a velocidade do trem em função do tempo decorrido desde a partida.

Um teatro oferece um preço de ingresso de $10$ reais se assistirem até um máximo de $50$ pessoas. Para incentivar a frequência de grupos grandes, para cada pessoa que exceder $50$, o preço do ingresso para todos os espectadores se reduz em $0,10$ reais.

Escreva a função da receita total do teatro $I(x)$ em função do número de espectadores $x$ (como uma função definida por partes) e determine quantas pessoas devem assistir para que o teatro obtenha a receita máxima possível.

Um reservatório de água com capacidade para $6000$ litros está inicialmente vazio. Liga-se uma bomba que introduz água a um ritmo constante de $50$ litros por minuto. Decorridos $60$ minutos, liga-se uma segunda bomba auxiliar que adiciona uma vazão adicional de $30$ litros por minuto. Escreva a função definida por partes $V(t)$ que representa o volume de água no reservatório em função do tempo, e calcule quanto tempo, no total, levará para encher o reservatório por completo.

Deseja-se projetar o perfil vertical de uma rampa de skate formada por dois trechos que se unem na coordenada horizontal $x = 2$:

A rampa deve cumprir rigorosamente as seguintes condições de projeto:

1. Para $x < 2$, o trecho $f_1(x)$ é uma função afim (reta) cujo gráfico passa pelo ponto $(-1, 0)$.

2. Para $x \ge 2$, o trecho $f_2(x)$ é uma função quadrática (parábola) cujo vértice está no ponto $(4, 1)$.

3. A pista não pode ter degraus: a função deve ser contínua em $x = 2$, sendo a altura no referido ponto de união exatamente $f(2) = 5$.

1. a) Encontre a expressão algébrica da parábola $f_2(x)$ a partir da forma do seu vértice, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, e do ponto de união $(2, 5)$.
2. b) Encontre a expressão algébrica da reta $f_1(x)$ determinando o seu coeficiente angular a partir dos pontos por onde ela deve passar.
3. c) Escreva a função $f(x)$ completa com os seus domínios e verifique formalmente, calculando $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, que não existe descontinuidade em $x = 2$.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x)$ seja contínua em $x=1$ e passe pelo ponto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Uma vez encontrados $a$ e $b$, verifique matematicamente se a função também é contínua em $x=3$.

Observe o gráfico a seguir da função $p(x)$ e determine a sua expressão analítica completa. A partir dela, indique o seu domínio, a sua imagem e classifique as descontinuidades que ela apresenta.

Um foguete de teste decola verticalmente. Durante os primeiros $10$ segundos, a sua altura em metros é modelada pela função linear $h(t) = 5t$. Aos $10$ segundos o motor se desliga e o foguete segue uma trajetória parabólica de queda livre $h(t) = at^2 + bt + c$, de tal modo que a transição é contínua. Sabendo que o foguete atinge a sua altura máxima aos $25$ segundos e colide com o solo aos $50$ segundos, encontre a expressão da parábola e determine a altura máxima atingida pelo foguete.

Dada a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a área total da figura geométrica delimitada entre o gráfico da função e o eixo das abscissas (eixo $X$) seja exatamente de $24$ unidades quadradas.

Encontre analiticamente os pontos de interseção entre a função definida por partes $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ e a reta $y = x + 2$.

O parlamento de um estado aprova uma reforma da faixa estadual do IRPF para rendimentos do trabalho $x$ (expressos em milhares de reais anuais). O imposto total $T(x)$ (também em milhares de reais) é modelado por uma função definida por partes:

Para garantir a progressividade e evitar o «salto fiscal» (que um contribuinte fique com menos dinheiro líquido ao ganhar um pouco mais de salário bruto), a lei impõe dois requisitos:

1. A função $T(x)$ deve ser contínua em todo o seu domínio, em particular em $x = 20$.

2. A partir de $20$ mil reais, a alíquota marginal é de $28\,\%$ (isto é, para cada mil reais adicionais acima dos $20$, o imposto aumenta em $0,28$ mil reais, o que determina o valor do coeficiente angular $a$).

1. a) Determine de forma fundamentada os valores de $a$ e de $b$ para que as duas condições legais sejam cumpridas.
2. b) Defina por partes a função do salário líquido restante, $S(x) = x - T(x)$, e calcule o salário líquido de uma pessoa que ganha $20\,000$ reais anuais ($x = 20$) e o de outra que ganha $20\,500$ reais anuais ($x = 20,5$). Verifique se quem tem maior salário bruto mantém de fato maior salário líquido.
3. c) Um deputado propôs uma fórmula alternativa sem parâmetro de correção: $T_{\text{alt}}(x) = 0,18x$ se $0 \le x \le 20$, e $T_{\text{alt}}(x) = 0,28x$ se $x > 20$ (aplicar os $28\,\%$ na íntegra a todo o salário assim que forem ultrapassados os $20$ mil reais). Calcule o salto $\lim_{x \to 20^+} T_{\text{alt}}(x) - \lim_{x \to 20^-} T_{\text{alt}}(x)$ e explique que situação economicamente absurda sofreria um trabalhador que recebesse um aumento salarial de $20\,000$ reais para $20\,100$ reais.