Logaritmos

Para compreender a relação entre potências e logaritmos, complete a seguinte tabela transformando cada igualdade exponencial em sua forma logarítmica correspondente, com base na definição $\log_a b = x \iff a^x = b$:

Calcule o valor exato dos seguintes logaritmos sem utilizar a calculadora, aplicando diretamente a definição:

1. a) $\log_2 16$
2. b) $\log_3 27$
3. c) $\log_{10} 1000$
4. d) $\log_5 (\frac{1}{5})$
5. e) $\log_7 1$

Calcule o valor das seguintes expressões utilizando exclusivamente a definição de logaritmo, sem usar a calculadora:

1. a) $\log_{3}\left(\frac{1}{243}\right)$

1. b) $\log_{\sqrt{2}}(32)$

1. c) $\log_{5}(\sqrt[3]{25})$

Sabendo que $\log k = 0,6$, utilize as propriedades dos logaritmos (logaritmo de um produto, de um quociente e de uma potência) para calcular o valor das seguintes expressões:

1. a) $\log (10 \cdot k)$
2. b) $\log (k^2)$
3. c) $\log (\frac{k}{100})$

Sabendo que os logaritmos decimais de 2 e 3 são aproximadamente $\log 2 \approx 0,3010$ e $\log 3 \approx 0,4771$, utilize as propriedades dos logaritmos para estimar o valor de:

1. a) $\log(1,2)$

1. b) $\log(\sqrt{18})$

1. c) $\log(25)$ (Dica: relacione o 5 com o 10 e o 2).

Desenvolva as seguintes expressões utilizando as propriedades dos logaritmos, de modo que o resultado final contenha apenas logaritmos de variáveis simples:

1. a) $\log \left( \frac{100 \cdot x^2}{\sqrt{y}} \right)$

1. b) $\ln \left( \frac{e^3 \cdot a}{b^2 \cdot c} \right)$

Sabendo que $\log_k a = 2$ e $\log_k b = 5$, utilize as propriedades dos logaritmos para determinar o valor exato da seguinte expressão sem calcular o valor de $k$, $a$ nem $b$:

Sem utilizar a calculadora num primeiro momento, estime entre quais dois números inteiros consecutivos deve se situar o valor de $\log_3(70)$, justificando a sua estimativa a partir das potências inteiras da base $3$. Em seguida, utilize a fórmula de mudança de base para logaritmo decimal para calcular o seu valor numérico com a calculadora (arredondando a três casas decimais) e verifique se a sua estimativa estava correta elevando a base $3$ ao expoente obtido.

Utilize a fórmula da mudança de base e sua calculadora para resolver as seguintes questões:

1. a) Calcule com quatro casas decimais o valor de $\log_{2}(15) + \log_{5}(2)$.

1. b) Resolva a equação exponencial $4^{x+1} = 125$. Arredonde o resultado para as centésimas.

O Mateo está resolvendo no quadro a equação $\log(x + 20) - \log(x) = 1$. No caderno dele, escreveu os seguintes passos:

Passo 1: $\log(x + 20 - x) = 1$

Passo 2: $\log(20) = 1$

Passo 3: «Como $\log(20) \ne 1$, a equação não tem solução real».

1. a) Explique com precisão que erro conceitual o Mateo cometeu no Passo 1 ao aplicar as propriedades dos logaritmos e apresente um contraexemplo numérico simples que demonstre que $\log(A - B) \ne \log A - \log B$.
2. b) Resolva a equação corretamente aplicando as propriedades legítimas do logaritmo e verifique se a solução obtida é válida substituindo-a na equação original.

Resolva as seguintes equações logarítmicas aplicando as propriedades para unificar os termos e verifique a validade das soluções obtidas:

1. a) $2 \log(x) - \log(x + 6) = 0$

1. b) $\log(x+3) + \log(x) = 1$

Elabore uma equação logarítmica da forma $\log(x) + \log(x - k) = 1$ (onde $k$ é um número inteiro positivo constante) que cumpra simultaneamente estas duas condições:

1. Ao transformá-la em uma equação polinomial por meio das propriedades dos logaritmos, admita como candidatos a solução os valores $x = 5$ e $x = -2$.

2. Ao verificar a validade na equação original, apenas $x = 5$ seja uma solução real válida, enquanto $x = -2$ deva ser obrigatoriamente descartado.

1. a) Deduza algebricamente o valor numérico exato que a constante $k$ deve ter.
2. b) Resolva a equação passo a passo com o valor de $k$ obtido e justifique de forma rigorosa, recorrendo à definição formal de logaritmo, por que motivo se rejeita $x = -2$ e se aceita $x = 5$.

Resolva a seguinte equação logarítmica certificando-se de verificar a validade das soluções obtidas no domínio de definição:

Contextualize o problema: Se $x$ representasse o número de usuários em milhares de uma nova rede social, ambas as soluções matemáticas teriam sentido no mundo real?

Para resolver a equação exponencial $5 \cdot 2^{3x} = 3 \cdot 4^{x+1}$, dois alunos da 1ª série do Ensino Médio propõem estratégias completamente distintas:

• A Beatriz decide aplicar diretamente logaritmos decimais a ambos os membros da igualdade desde o primeiro passo: $\log(5 \cdot 2^{3x}) = \log(3 \cdot 4^{x+1})$.

• O Lucas prefere transformar previamente as potências em uma base comum ($4 = 2^2$), agrupar os termos exponenciais em um membro e os coeficientes numéricos no outro, e aplicar logaritmos apenas no final.

1. a) Desenvolva por completo a resolução pelo método da Beatriz e pelo método do Lucas, verificando que ambos levam à mesma solução exata, expressa como quociente de logaritmos decimais.
2. b) Analise ambos os caminhos: qual dos dois requer menos transformações algébricas e minimiza o risco de erro ao manipular os parênteses com a incógnita?
3. c) Se na equação original trocarmos a base $4$ por um $7$, obtendo $5 \cdot 2^{3x} = 3 \cdot 7^{x+1}$, explique de forma fundamentada qual dos dois métodos continua aplicável e por quê.

Dada a expressão do número de ouro $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, demonstre por meio do uso de logaritmos e propriedades de potências que a seguinte igualdade é satisfeita:

A intensidade do som é medida em decibéis ($dB$) por meio de uma escala logarítmica. Se a fórmula simplificada para comparar dois sons é $dB = 10 \cdot \log_{10}(\frac{I}{I_0})$, onde $I_0$ é o limiar de audição, calcule quantos decibéis correspondem a:

1. a) Um som cuja intensidade $I$ é $100$ vezes maior que $I_0$.
2. b) Um som cuja intensidade $I$ é $10.000$ vezes maior que $I_0$.

No laboratório de química, o nível de acidez de uma substância é medido por meio do $pH$, que se define como $pH = -\log[H^{+}]$, onde $[H^{+}]$ é a concentração de íons de hidrogênio em mols por litro.

Se um refrigerante tem uma concentração $[H^{+}] = 2,5 \cdot 10^{-4}$ e uma água mineral tem um $pH = 6,2$:

1. a) Calcule o $pH$ do refrigerante.
2. b) Determine a concentração de íons de hidrogênio $[H^{+}]$ da água mineral.

Um investidor deposita $5.000$ reais em um fundo de investimento que oferece juros compostos de $3,5 \%$ ao ano. O montante final $M$ após um tempo $t$ em anos é dado pela fórmula $M = C \cdot (1+i)^t$.

Quantos anos deverão transcorrer para que o investidor alcance um montante de $8.000$ reais? Expresse o resultado arredondando para as unidades.

A magnitude $M$ de um terremoto na escala Richter relaciona-se com a energia liberada $E$ (em joules) por meio da fórmula:

$\log E = 1,5 \cdot M + 4,8$

Na figura você tem o gráfico desta relação (magnitude $M$ no eixo horizontal e $\log E$ no eixo vertical). Calcule com a fórmula; o gráfico serve apenas para você verificar se o resultado é razoável.

1. a) Se um terremoto tem magnitude $M = 5$, quanta energia libera?

1. b) Se um terremoto libera $10^{15}$ joules de energia, qual é a sua magnitude na escala Richter?

No âmbito do Plano Nacional Integrado de Energia e Clima (PNIEC), um estado gerou $1.200\text{ GWh}$ por meio de energia solar fotovoltaica no ano de 2020. Devido ao ritmo de instalação de novos parques, a sua produção cresce a uma taxa estimada de $14\%$ ao ano, modelada pela função $P(t) = 1.200 \cdot (1,14)^t$, em que $t$ é o tempo em anos decorrido desde 2020 e $P(t)$ a produção em $\text{GWh}$.

1. a) Formule a equação necessária para descobrir quantos anos devem decorrer para quadruplicar a produção do ano de 2020 (atingir $4.800\text{ GWh}$) e isole a incógnita aplicando logaritmos decimais e as suas propriedades.
2. b) Calcule o valor de $t$ arredondando para duas casas decimais e interprete em que ano e mês do calendário esse objetivo será atingido.
3. c) Se a taxa de crescimento anual tivesse sido o dobro ($28\%$ ao ano em vez de $14\%$), levaria exatamente metade do tempo para quadruplicar a produção? Justifique a sua resposta raciocinando sobre as propriedades dos logaritmos, sem se limitar a apresentar o resultado numérico.

A escala de magnitude de momento ($M_w$), utilizada para medir a energia dos terremotos, é definida como:

Onde $E$ é a energia liberada em ergs.

A figura mostra, de forma esquemática, como $\log_{10}(E)$ cresce com a magnitude $M_w$ e assinala os dois terremotos dos itens.

1. a) Se um terremoto de magnitude $6,5$ é considerado "forte", calcule a energia $E_1$ que ele libera, em notação científica.

1. b) Quantas vezes mais energia libera um terremoto de magnitude $8,5$ ($E_2$) em comparação com um de magnitude $6,5$ ($E_1$)? Expresse a relação como uma potência de base 10.

Um investidor aplica $\text{R\$}\ 15.000$ em um produto financeiro que oferece juros compostos nominais de $4,5\%$ ao ano com capitalização mensal.

1. a) Utilizando logaritmos, calcule exatamente quantos meses devem transcorrer para que o capital final seja o triplo do inicial.
2. b) Calcule a taxa efetiva anual desta operação e expresse-a como porcentagem com duas casas decimais. O que este valor significa em relação aos $4,5\%$ nominais?

A legislação espanhola sobre poluição sonora (Lei 37/2003 do Ruído) estabelece que o nível de intensidade acústica $\beta$ medido em decibéis ($\text{dB}$) se relaciona com a intensidade física do som $I$ (em $\text{W/m}^2$) por meio da fórmula:

onde $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ representa o limiar de audição humano. Em uma zona residencial urbana, o limite diurno está fixado em $65\text{ dB}$.

1. a) Uma esplanada de restaurante gera um nível de ruído de $62\text{ dB}$. A prefeitura autoriza a abertura, bem ao lado, de outra esplanada idêntica que emite com a mesma intensidade física $I$. Uma associação de moradores afirma que o ruído conjunto será de $62 + 62 = 124\text{ dB}$, ultrapassando largamente a lei. Demonstre, por meio das propriedades dos logaritmos, por que essa soma direta é um erro e calcule o nível sonoro conjunto real ($I_{\text{total}} = 2I$). O limite de $65\text{ dB}$ é ultrapassado?
2. b) Demonstre analiticamente que, sempre que a intensidade física de uma fonte sonora é multiplicada por dez, o nível sonoro em decibéis aumenta sempre em um valor fixo e constante, e indique qual é esse aumento.
3. c) Formule e resolva uma equação logarítmica para calcular quantas esplanadas idênticas à primeira teriam de funcionar simultaneamente para que o nível sonoro conjunto atingisse pelo menos $75\text{ dB}$.

Um topógrafo mede o comprimento de um terreno destinado a um novo parque central e obtém um valor de $154,7$ metros. Se a medição real exata é de $154,728$ metros, calcule:

1. a) O erro absoluto cometido na medição.
2. b) O erro relativo cometido, expresso em porcentagem e arredondado para duas casas decimais.

Em um laboratório de biologia, estima-se que o número de bactérias em uma amostra cresça muito rápido. Expresse os seguintes dados utilizando notação científica:

1. a) O número de bactérias após uma semana é de $450.000.000$.
2. b) O tamanho de uma bactéria individual é de $0,0000000025$ metros.
3. c) A massa da amostra processada é de $0,00034$ gramas.

Um laboratório de biotecnologia mede o tamanho de uma proteína como $4,25 \cdot 10^{-9}$ metros com um erro máximo de $2\%$. Simultaneamente, mede a distância entre duas células como $0,00034$ metros com um erro absoluto de $1,5 \cdot 10^{-6}$ metros.

1. a) Calcule o erro relativo de ambas as medições em notação científica.
2. b) Determine, justificando, qual das duas medições é mais precisa.
3. c) Se ambos os comprimentos fossem somados, qual seria a cota do erro absoluto da soma?