Progressões aritméticas

Observe as seguintes sequências de números. Sua tarefa consiste em identificar quais delas são progressões aritméticas.

Para aquelas que forem, indique qual é a razão ($d$) constante entre seus termos e calcule o número que viria na posição seguinte.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

Uma planta de bambu cresce muito rápido e de maneira constante sob condições controladas de laboratório.

No dia 1, a planta mede 15 cm de altura.

No dia 2, a planta mede 18 cm de altura.

Sabendo que seu crescimento segue uma progressão aritmética:

1. a) Quantos centímetros a planta cresce a cada dia ($d$)?
2. b) Quanto a planta medirá no dia 7?

Dada a seguinte progressão aritmética:

1. Identifique o primeiro termo ($a_1$) e a razão ($d$).

2. Usando a fórmula do termo geral $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcule o valor do termo que ocupa a posição 20 ($a_{20}$).

Encontre o termo geral ($a_n$) das seguintes progressões aritméticas dadas por seus primeiros termos. Expresse-o da forma mais simplificada possível (por exemplo: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

Em uma progressão aritmética, sabemos que o terceiro termo ($a_3$) vale $12$ e o oitavo termo ($a_8$) vale $27$.

Calcule a razão $d$ da progressão e escreva o valor do primeiro termo $a_1$.

Numa progressão aritmética não conhecemos nem o primeiro termo nem a diferença, mas sabemos que o sexto termo é 19 ($a_6 = 19$) e o décimo quinto termo é 64 ($a_{15} = 64$). Precisamos de descobrir o termo que ocupa a posição 40 ($a_{40}$).

Dois estudantes de 3.º de ESO propõem duas estratégias diferentes:

• Método do Sergio: Formular o sistema de duas equações com duas incógnitas formado por $a_1 + 5d = 19$ e $a_1 + 14d = 64$, resolvê-lo para encontrar $a_1$ e $d$, e depois calcular $a_{40} = a_1 + 39d$.

• Método da Laura: Dar-se conta de que para passar do termo 6 ao 15 são dados 9 passos: $a_{15} = a_6 + 9d$. Isolar $d$ diretamente dessa única equação e, de seguida, calcular $a_{40}$ avançando a partir de $a_{15}$ com a fórmula $a_{40} = a_{15} + (40 - 15) \cdot d$, sem calcular $a_1$.

1. a) Resolva o problema seguindo os passos do método do Lucas até encontrar $a_{40}$.
2. b) Resolva o problema seguindo os passos do método da Laura e verifique se chega à mesma solução.
3. c) Compare ambos os métodos: qual você considera mais eficiente e com menor risco de cometer erros de cálculo? Justifique a sua resposta.
4. d) Se, além disso, o problema pedisse para você calcular a soma dos primeiros 40 termos ($S_{40}$), o método da Laura continuaria sendo mais curto ou a abordagem do Lucas ganharia vantagem? Justifique por quê.

Calcule a soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética sabendo que:

• O primeiro termo é $a_1 = 3$.

• O último termo a somar é $a_{15} = 45$.

Lembre-se de usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética:

Um auditório tem suas poltronas dispostas em forma de trapézio. A primeira fileira (a mais próxima do palco) tem $15$ assentos. Cada fileira seguinte tem $2$ assentos a mais que a anterior.

Se o auditório tem um total de $20$ fileiras:

1. a) Quantos assentos tem a última fileira?
2. b) Qual é a capacidade total (número total de poltronas) do auditório?

Calcule a soma de todos os múltiplos de $3$ que existem entre $100$ e $200$.

A plateia de um auditório de música tem a forma de um trapézio isósceles. Devido a essa forma, cada fila tem mais lugares do que a anterior.

• A primeira fila (a mais próxima do palco) tem 20 lugares.

• O auditório tem um total de 780 lugares.

• Cada fila tem 2 lugares a mais do que a fila imediatamente anterior.

Utilizando as fórmulas da soma de uma progressão aritmética ($S_n$), escreva uma equação do segundo grau para determinar quantas filas ($n$) o auditório tem no total.

Em um supermercado, estão montando uma exibição de latas de molho de tomate em forma de pirâmide triangular plana contra uma parede.

Na fileira superior (o topo), colocam 1 lata. Na fileira logo abaixo, colocam 2 latas, na terceira fileira 3 latas, e assim sucessivamente, aumentando uma lata a cada nível que descem.

Se a pirâmide tem um total de 8 fileiras de altura:

1. a) Escreva a sequência que representa o número de latas em cada fileira.
2. b) Quantas latas haverá na última fileira (a da base)?

Ana decidiu economizar para comprar uma bicicleta nova. Em seu cofrinho ela já tem 50 reais que ganhou de aniversário. Ela decidiu que, a partir da próxima semana, guardará 5 reais da sua mesada toda semana sem falta.

1. a) Escreva a economia total que Ana terá ao final da semana 1, semana 2, semana 3 e semana 4.
2. b) De que tipo de progressão se trata e qual é a razão?
3. c) Calcule quanto dinheiro ela terá acumulado na semana 12.

Lucas está economizando para comprar uma bicicleta nova. Na primeira semana guarda $25$ reais em seu cofrinho. Ele se propôs a aumentar a quantidade que guarda a cada semana em $2,50$ reais em relação à semana anterior. Ou seja, na segunda semana guarda $27,50$ reais, na terceira $30$ reais, e assim sucessivamente.

Se mantiver esse ritmo:

1. a) Quanto dinheiro terá que guardar no cofrinho na semana número 12?
2. b) Quanto dinheiro terá acumulado no total ao finalizar a semana 12?

As medidas dos quatro ângulos de um quadrilátero formam uma progressão aritmética. Sabendo que o menor ângulo mede $60^{\circ}$, calcule a medida dos outros três ângulos.

Lembre-se: A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre $360^{\circ}$.

Três números formam uma progressão aritmética. Sabemos que sua soma é igual a 33 e que seu produto é igual a 1287.

Monte um sistema de equações utilizando as propriedades das progressões aritméticas (você pode chamar os termos de $x-d$, $x$ e $x+d$ para simplificar) e encontre o valor desses três números.