Equações do segundo grau

Aplique a fórmula geral para encontrar as raízes da seguinte equação do segundo grau completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Encontre as soluções da seguinte equação que já se encontra fatorada, sem necessidade de desenvolver o produto:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Resolva a seguinte equação do segundo grau incompleta isolando diretamente a incógnita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcule as soluções da seguinte equação do segundo grau incompleta colocando o fator comum em evidência:

$3x^2 + 15x = 0$

O Lucas está resolvendo a equação $2x^2 - 10x = 0$ no quadro e faz os seguintes passos no caderno dele:

Ao consultar as soluções do livro, ele verifica com surpresa que a equação tem na realidade duas soluções: $x_1 = 0$ e $x_2 = 5$.

1. a) Explique com rigor matemático que erro conceitual o Lucas cometeu ao dividir ambos os membros pela incógnita $x$ e por que essa operação eliminou uma das soluções válidas.
2. b) Resolva a equação corretamente colocando o fator comum em evidência e justifique cada passo aplicando a lei do anulamento do produto.

Desenvolva os produtos notáveis, agrupe os termos semelhantes e resolva a seguinte equação:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

Para resolver a equação $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, a Alice e o Mateus propõem estratégias diferentes:

• A Alice propõe desenvolver o produto notável do binômio, subtrair $25$, agrupar termos na forma geral canônica $ax^2 + bx + c = 0$ e aplicar a fórmula de Bhaskara com o discriminante.

• O Mateus propõe isolar diretamente a potência, escrevendo $(3x - 1)^2 = 25$, e extrair a raiz quadrada de ambos os membros considerando o duplo sinal $\pm$.

1. a) Resolva a equação seguindo passo a passo o procedimento da Alice e depois o do Mateus, verificando que ambos levam às mesmas soluções.
2. b) Compare os dois caminhos e justifique qual deles é mais eficiente e apresenta menor risco de cometer erros de cálculo (sinais, operações com números grandes).
3. c) O método abreviado do Mateus seria aplicável de forma direta para resolver a equação $(3x - 1)^2 - 6x = 25$? Justifique por que sim ou por que não.

Determine se a equação $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tem solução no conjunto dos números reais calculando previamente o valor do seu discriminante $\Delta$.

Determine o valor do coeficiente $c$ na equação $x^2 + 4x + c = 0$ para que ela tenha uma única solução real dupla.

Determine o valor numérico do parâmetro $k$ para que a equação $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenha uma única solução real dupla.

Escreva uma equação do segundo grau na forma $x^2 + bx + c = 0$ sabendo que suas únicas soluções são $x_1 = 3$ e $x_2 = -8$.

Sabendo que uma das soluções da equação $2x^2 + bx - 15 = 0$ é $x_1 = 3$, calcule sem resolver completamente a equação o valor da outra solução $x_2$ e o valor do coeficiente $b$.

Deseja-se construir uma equação do segundo grau com coeficientes inteiros da forma $ax^2 + bx + c = 0$ cujas soluções exatas sejam $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 4$.

1. a) Aplique as fórmulas de Cardano-Vieta para deduzir o valor exato da soma ($S = x_1 + x_2$) e do produto ($P = x_1 \cdot x_2$) das soluções na forma de fração irredutível.
2. b) Escreva uma equação equivalente que tenha coeficientes inteiros ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), sem denominadores, com $a > 0$ e de tal modo que os coeficientes não tenham fatores comuns (ou seja, que sejam primos entre si).
3. c) A equação obtida no item anterior é a única equação do segundo grau do mundo que tem exatamente essas duas soluções? Justifique sua resposta explicando o que acontece ao multiplicar todos os coeficientes por uma constante $k \neq 0$.

Discuta, em função dos diferentes valores do parâmetro $m$, o número de soluções reais que a seguinte equação do segundo grau possui:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Certifique-se de analisar o que ocorre quando o discriminante é positivo, nulo ou negativo, e não se esqueça do caso especial em que o coeficiente principal se anula.

Considere a seguinte família de equações em que aparece um parâmetro real $k$:

1. a) Um aluno afirma que, se $k = 2$, a equação não tem solução alguma porque, ao aplicar a fórmula de Bhaskara, o denominador $2a$ se anula ($2 \cdot 0 = 0$). Refute com fundamentação a afirmação dele, explicando que tipo de equação se obtém na realidade ao substituir $k = 2$, e calcule a solução dela.
2. b) Para os casos em que $k \neq 2$, calcule a expressão simplificada do discriminante $\Delta$ em função de $k$ e determine formalmente para quais valores do parâmetro a equação tem duas soluções reais distintas, uma solução real dupla ou nenhuma solução real.
3. c) Sem precisar calcular as soluções da equação, utilize de forma justificada as relações de Girard (soma e produto das raízes) para verificar se existe algum valor de $k$ que faça com que as duas raízes sejam simétricas ou opostas ($x_1 + x_2 = 0$). Em caso afirmativo, determine esse valor de $k$, verifique se as raízes são reais e calcule o valor de ambas as soluções.

Para reformar a sala retangular de um imóvel, o arquiteto indica que o comprimento mede $2\text{ m}$ a mais que a largura. Se a área total da sala é de $35\text{ m}^2$, escreva uma equação do segundo grau e calcule as dimensões exatas do cômodo.

Um engenheiro aeroespacial lança um foguete de teste. A altura $h$ (em metros) atingida pelo foguete em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão $h(t) = 40t - 5t^2$. Determine em quais instantes de tempo o foguete se encontra exatamente a $75\text{ m}$ de altura.

Em uma rampa de skate com forma de triângulo retângulo, o cateto maior mede $7\text{ m}$ a mais que o cateto menor, e a hipotenusa mede $2\text{ m}$ a mais que o cateto maior. Escreva uma equação do segundo grau utilizando o teorema de Pitágoras e calcule o comprimento dos três lados da rampa.

Uma fotografia retangular de dimensões $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura será emoldurada com um passe-partout de largura uniforme $x$. Se a área total do conjunto (fotografia mais passe-partout) deve ser exatamente de $500\text{ cm}^2$, escreva uma equação do segundo grau e calcule a largura $x$ do passe-partout.

Em uma liga de voleibol, cada equipe joga exatamente uma partida contra todas as outras. Sabendo que o número total de partidas disputadas em um torneio de $n$ equipes é dado pela fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$ e que, ao finalizar a temporada, foram disputadas um total de $105$ partidas, escreva a equação correspondente e descubra quantas equipes participaram da liga.

Resolva a seguinte equação efetuando previamente as operações com frações algébricas. Certifique-se de verificar as soluções obtidas para descartar possíveis raízes falsas que anulem os denominadores:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

A área de um retângulo é de $60\text{ cm}^2$ e o comprimento da sua diagonal é de $13\text{ cm}$. Chamando a base de $x$ e a altura de $y$, expresse $y$ em função de $x$ usando o dado da área. Em seguida, substitua no teorema de Pitágoras para a diagonal e resolva a equação biquadrada resultante para encontrar as dimensões exatas do retângulo.

Resolva a seguinte equação em que aparece um radical, isolando primeiro a raiz e elevando ambos os membros ao quadrado. É obrigatório verificar as soluções obtidas na equação original para descartar possíveis raízes falsas:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$