Progressões aritméticas

Indique quais das seguintes sequências são progressões aritméticas e, nesse caso, dê a diferença:

1. a) $4, 7, 10, 13, \ldots$

1. b) $2, 4, 8, 16, \ldots$

1. c) $20, 17, 14, 11, \ldots$

1. d) $1, 1, 1, 1, \ldots$

1. e) $3, 7, 12, 18, \ldots$

Uma progressão aritmética tem primeiro termo $a_1 = 5$ e diferença $d = 3$.

1. a) Escreva os cinco primeiros termos.

1. b) Escreva o termo geral $a_n$.

1. c) Calcule $a_{10}$.

Em uma progressão aritmética, $a_1 = 2$ e $a_5 = 14$.

1. a) Calcule a diferença.

1. b) Escreva o termo geral.

1. c) Que posição ocupa o termo $26$?

Uma caderneta de poupança a $3 \%$ de juros simples anuais parte de um capital de $\text{R\$}\ 2.000$ que não é retirado: a cada ano são adicionados os mesmos juros sobre o capital inicial.

1. a) Por que os capitais ano a ano formam uma progressão aritmética? Indique o seu primeiro termo e a sua razão.

1. b) Escreva o termo geral do capital acumulado ao final de $n$ anos.

1. c) Qual será o capital aos $6$ anos? E aos $15$?

Considere a progressão aritmética $3, 7, 11, \ldots$

1. a) Calcule a soma dos seus $10$ primeiros termos.

1. b) Verifique o resultado calculando primeiro $a_{10}$ e aplicando a fórmula da soma.

Para a viagem de formatura, uma aluna decide economizar seguindo uma escada: $\text{R\$}\ 10$ na primeira semana e, em cada semana seguinte, $\text{R\$}\ 5$ a mais do que na anterior, como mostra a figura.

1. a) Quanto economizará na semana $12$?

1. b) Quanto terá acumulado no total após essas $12$ semanas?

1. c) A viagem custa $\text{R\$}\ 650$. O valor acumulado em $16$ semanas de economia será suficiente? Justifique.

Um estudante abre uma conta-cofrinho para custear as suas despesas com ônibus durante o ano letivo. No primeiro mês deposita $\text{R\$}\ 40$ e em cada mês acrescenta mais $\text{R\$}\ 10$ do que no mês anterior, mantendo esse plano ao longo de 10 meses.

1. a) Antes de fazer cálculos detalhados, estime de forma fundamentada se o total poupado ao fim dos 10 meses estará mais próximo de $\text{R\$}\ 400$, de $\text{R\$}\ 850$ ou de $\text{R\$}\ 1.500$. Justifique a sua estimativa pensando em uma parcela mensal representativa (a parcela média entre o primeiro e o último mês).
2. b) Modele a situação por meio de uma progressão aritmética: identifique o primeiro termo $a_1$, a razão $d$ e calcule o valor exato depositado no décimo mês ($a_{10}$).
3. c) Calcule a soma total acumulada $S_{10}$ e avalie se a sua estimativa inicial foi acertada ou não, explicando a que se deve a coincidência ou o desvio.

Para financiar a mensalidade de um mestrado universitário que custa $\text{R\$}\ 5.400$, uma graduada no Brasil estabelece um plano de poupança mensal durante 2 anos (24 meses). No primeiro mês deposita $\text{R\$}\ 110$ e se compromete a aumentar a sua contribuição mensal em uma quantia fixa constante $d$ a cada mês subsequente.

1. a) Modele o plano de poupança por meio de uma progressão aritmética e obtenha a expressão algébrica simplificada do capital total acumulado $S_{24}$ em função da razão $d$.
2. b) Calcule o aumento mensal exato $d$ que ela deve aplicar para reunir exatamente os $\text{R\$}\ 5.400$ ao concluir o mês 24. Com esse valor de $d$, determine qual será a contribuição feita no último mês ($a_{24}$).
3. c) Ao fim de 12 meses (exatamente metade do tempo previsto), ela terá conseguido poupar metade do custo da mensalidade ($\text{R\$}\ 2.700$)? Calcule $S_{12}$ e justifique quantitativamente por que, nos planos com contribuições crescentes, a poupança acumulada não cresce de forma diretamente proporcional ao tempo decorrido.

Interpole quatro meios aritméticos entre $3$ e $18$ (ou seja, construa uma progressão aritmética de seis termos cujos extremos são $3$ e $18$).

1. a) Calcule a diferença da progressão.

1. b) Escreva os seis termos.

1. c) Verifique que a soma dos seis termos coincide com a fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

A Elena quer economizar para a sua viagem de formatura. Começa guardando $\text{R\$}\ 25$ no primeiro mês e decide aumentar a sua contribuição em $\text{R\$}\ 5$ a cada mês durante um ano completo (12 meses). Para saber quanto dinheiro vai juntar, escreve no seu caderno:

$$a_{12} = 25 + (12 - 1)\cdot 5 = 25 + 55 = \text{R\$}\ 80$$

E conclui: «Fantástico! Ao terminar o ano terei $\text{R\$}\ 80$ economizados para a viagem».

1. a) Identifique e explique detalhadamente o erro conceitual cometido pela Elena ao interpretar o resultado de $a_{12}$. O que representa na realidade essa quantia de $\text{R\$}\ 80$?
2. b) Corrija o cálculo aplicando a fórmula adequada para determinar a quantia total que a Elena terá acumulado no cofrinho ao fim dos 12 meses.
3. c) Se a viagem custar $\text{R\$}\ 600$, determine, justificando, se o dinheiro economizado será suficiente ou quanto faltará ou sobrará.

Considere as progressões aritméticas $a_n$, com $a_1 = 7$ e diferença $2$, e $b_n$, com $b_1 = 40$ e diferença $-1$.

1. a) Escreva o termo geral de cada uma.

1. b) Existe algum valor de $n$ para o qual $a_n = b_n$? Calcule-o.

1. c) Interprete o resultado: descreva em palavras como evolui cada progressão e o que significa o termo comum.

Quantos termos da progressão aritmética $5, 9, 13, \ldots$ é necessário somar para obter $377$?

1. a) Escreva o termo geral $a_n$ e a expressão da soma $S_n$ dos $n$ primeiros termos.

1. b) Modele a equação $S_n = 377$ e resolva-a. Por que razão se deve descartar uma das soluções da equação de segundo grau?

Um pai oferece à sua filha dois planos de mesada:

• Plano A: $\text{R\$}\ 20$ no primeiro mês, aumentando $\text{R\$}\ 2$ a cada mês.

• Plano B: $\text{R\$}\ 8$ no primeiro mês, aumentando $\text{R\$}\ 3$ a cada mês.

1. a) Escreva o termo geral da mesada de cada plano no mês $n$.

1. b) Em que mês a mesada de ambos os planos coincide pela primeira vez?

1. c) Em que mês o total acumulado do plano B supera pela primeira vez o do plano A? Justifique utilizando as fórmulas da soma e por tentativa e erro fundamentada.

Dois colegas de trabalho, o Carlos e a Júlia, subscrevem respectivos planos de poupança a 10 anos (120 meses) em uma instituição financeira:

• Plano A (Carlos): Contribui com $\text{R\$}\ 100$ no primeiro mês e aumenta a sua contribuição em $\text{R\$}\ 2$ a cada mês ($d_A = \text{R\$}\ 2$).

• Plano B (Júlia): Começa com uma contribuição mais baixa, $\text{R\$}\ 40$ no primeiro mês, mas incrementa a sua parcela mensal em um ritmo maior, em $\text{R\$}\ 3$ a cada mês ($d_B = \text{R\$}\ 3$).

1. a) Determine em que mês concreto a contribuição mensal da Júlia supera pela primeira vez a do Carlos ($b_n > a_n$). Isso significa que, nesse mesmo mês, a Júlia já terá acumulado mais dinheiro total do que o Carlos? Justifique a sua resposta sem calcular ainda as somas.
2. b) Estabeleça as expressões das somas acumuladas $S_n^A$ e $S_n^B$ e resolva a equação $S_n^B = S_n^A$. Interprete as duas soluções fornecidas pela equação quadrática: que significado financeiro tem a solução $n = 0$ e em que mês exato a Júlia empataria com o Carlos em dinheiro total acumulado se o plano continuasse indefinidamente?
3. c) Sabendo que o plano termina aos 120 meses, calcule o capital acumulado final de cada um. Explique a aparente contradição de o Carlos terminar com mais dinheiro se a Júlia esteve pagando parcelas mensais superiores durante praticamente metade da duração do plano.

O anfiteatro de um parque tem $22$ assentos na primeira fileira, e cada fileira posterior tem $4$ assentos a mais do que a anterior.

1. a) Quantos assentos tem a fileira $8$?

1. b) Quantos assentos há no total nas $8$ primeiras fileiras?

1. c) Para um show são necessários $600$ lugares. Quantas fileiras completas são necessárias, no mínimo?

A figura representa com barras os seis primeiros termos de uma progressão aritmética.

1. a) Leia no gráfico o primeiro termo $a_1$ e a diferença $d$, e explique por que as alturas das barras estão alinhadas em linha reta.

1. b) Escreva o termo geral $a_n$.

1. c) Calcule $a_{20}$ e a soma dos $20$ primeiros termos.

Uma cooperativa de crédito em Minas Gerais concebe um programa de microcréditos de $\text{R\$}\ 3.960$ para empreendedores, que deve ser reembolsado em 12 mensalidades decrescentes estruturadas em uma progressão aritmética. Por política social da entidade, são impostas duas condições: a soma das 12 prestações deve amortizar exatamente o total em dívida ($\text{R\$}\ 3.960$) e a primeira prestação deve ser exatamente o dobro da última ($a_1 = 2\cdot a_{12}$).

1. a) A partir da fórmula da soma de uma progressão aritmética, formule uma equação que relacione $a_1$ e $a_{12}$ com o capital total, e deduza o montante exato da primeira prestação ($a_1$) e da última ($a_{12}$).
2. b) Com os valores obtidos, calcule a razão $d$ da progressão e escreva o termo geral $a_n$ que determina o pagamento de qualquer mês $n$.
3. c) Interprete o sinal da razão $d$ neste contexto financeiro e justifique de forma fundamentada por que um esquema de prestações decrescentes pode ser vantajoso para um negócio em início de atividade, em comparação com uma prestação constante tradicional.

As medidas dos três lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão $d > 0$.

1. a) Expresse os três lados em função do lado médio $b$ e da razão $d$, e aplique o teorema de Pitágoras.

1. b) Demonstre que os lados são necessariamente proporcionais a $3$, $4$ e $5$.

1. c) Dê um exemplo concreto de triângulo retângulo cujos lados formam uma progressão aritmética de razão $7$.

Justifique se as seguintes afirmações sobre progressões aritméticas são verdadeiras ou falsas, demonstrando-as ou dando um contraexemplo:

1. a) «Três números $a$, $b$ e $c$ estão em progressão aritmética se e somente se $b = \frac{a + c}{2}$.»

1. b) «Em uma progressão aritmética, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é sempre a mesma: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \ldots$»

1. c) «Se for somada uma mesma quantidade a todos os termos de uma progressão aritmética, a diferença muda.»

Um investidor aplica um capital inicial $C_0$ em um depósito bancário remunerado a uma taxa de juro simples anual de $4\text{ \%}$ ($r = 0,04$). Ele quer saber quantos anos completos devem decorrer para que o capital total acumulado atinja pelo menos o triplo do capital inicial investido ($C_n \ge 3\cdot C_0$). Dois estudantes propõem estratégias distintas:

• Método do Lucas (termo geral): Modela a evolução como uma progressão aritmética cujo primeiro termo é o capital no final do primeiro ano, $a_1 = C_0(1 + 0,04) = 1,04\cdot C_0$, e cuja razão anual é o juro fixo gerado, $d = 0,04\cdot C_0$. Estabelece $a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d \ge 3\cdot C_0$ e isola $n$.

• Método da Júlia (juros acumulados): Raciocina que, para triplicar o capital total, os juros líquidos gerados devem igualar o dobro do capital inicial ($I = 2\cdot C_0$). Aplica a fórmula do juro simples $I = C_0\cdot r\cdot n$, estabelece $C_0\cdot 0,04\cdot n \ge 2\cdot C_0$ e isola $n$.

1. a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos passo a passo. Obtém-se o mesmo resultado? O tempo obtido depende do montante concreto do capital inicial $C_0$?
2. b) Compare criticamente ambos os caminhos: qual deles é mais direto e reduz o risco de cometer erros de defasagem temporal no índice $n$?
3. c) Generalize o resultado: se o juro simples anual for de $r\text{ \%}$ e o objetivo for multiplicar o capital inicial por um fator $k$ ($k > 1$), deduza a fórmula simplificada que fornece diretamente os anos necessários $n$ em função de $r$ e $k$. Explique qual método permitiu que você a deduzisse com maior clareza.