Números-índice, IPCA e taxas

O preço de uma passagem de ônibus era de $\text{R\$}\ 2,50$ em 2023 e de $\text{R\$}\ 2,65$ em 2024.

1. a) Calcule o número-índice do preço em 2024 com base 2023.

1. b) Qual foi a variação percentual do preço?

O número-índice do preço do prato do dia em uma cidade, com base 2021, vale $108,5$ em 2024.

1. a) Explique com suas palavras o que significa esse valor.

1. b) Se um prato do dia custava $\text{R\$}\ 11$ em 2021, quanto custa em 2024 se o seu preço seguiu esse índice? Arredonde para os centavos.

A tabela mostra o preço de um videogame em três anos: 2022: $\text{R\$}\ 60$; 2023: $\text{R\$}\ 66$; 2024: $\text{R\$}\ 69$.

1. a) Construa a série de números-índice com base em 2022.

1. b) Em qual ano o preço subiu mais, em porcentagem, em relação ao ano anterior?

A série de números-índice do preço do transporte urbano, com base 2018, é: 2018: $100$; 2019: $103,2$; 2020: $107,5$; 2021: $112,1$.

1. a) Construa a mesma série tomando como base o ano de 2021 (índice $100$ em 2021), arredondando para os décimos.

1. b) Qual informação se conserva e qual se altera ao fazer a mudança de base?

A figura mostra a evolução de um índice de preços com base $100$ em 2021.

1. a) Qual foi a variação percentual total dos preços entre 2021 e 2025?

1. b) Em qual ano ocorreu o maior aumento anual? Calcule-o a partir dos índices, não o leia a olho nu.

1. c) Calcule a taxa de variação média anual do período (aquela que, repetida nos quatro anos, daria o mesmo índice final). Arredonde para os centésimos.

Uma rede de supermercados tem uma série de números-índice das suas vendas com base 2020 e outra com base 2023, mas falta o elo de ligação. Os dados conhecidos são:

• Base 2020: índice de 2021 $= 104$, índice de 2022 $= 109$, índice de 2023 $= 115$.

• Base 2023: índice de 2024 $= 106$, índice de 2025 $= 110$.

1. a) Calcule os índices de 2024 e 2025 com base 2020 (ou seja, vincule as duas séries).

1. b) Qual foi a variação percentual total das vendas entre 2020 e 2025?

1. c) E a variação média anual nesse período? Expresse-a em porcentagem arredondada às décimas (use a raiz do índice global).

Para analisar a cesta de compras de uma família média, consideram-se unicamente três grupos de consumo com suas correspondentes ponderações (pesos) e índices de preços em relação ao ano anterior:\n- Alimentação: ponderação $p_1 = 0,35$; índice de preços $I_1 = 108$ (alta de $8\,\%$).\n- Moradia e despesas correntes: ponderação $p_2 = 0,45$; índice de preços $I_2 = 102$ (alta de $2\,\%$).\n- Lazer e transportes: ponderação $p_3 = 0,20$; índice de preços $I_3 = 99$ (queda de $1\,\%$).\n\na) Antes de calcular o resultado numérico exato, estime de forma fundamentada em que intervalo se encontrará o IPC global. Ele estará mais perto de $102$, de $105$ ou de $108$? Justifique sua estimativa apoiando-se no peso de cada grupo de despesa.\nb) Calcule o índice ponderado exato do IPC.\nc) Verifique se a sua estimativa inicial era coerente e deduza qual foi a taxa de inflação global acumulada em relação ao ano anterior (variação percentual) dessa família.

O IPCA anual de três anos consecutivos foi de $3,5 \%$, $2,8 \%$ e $4,1 \%$.

1. a) Calcule o índice de variação encadeado de todo o triênio e o aumento total acumulado, arredondado para centésimos.

1. b) Se um litro de leite custava $\text{R\$}\ 0,95$ no início do primeiro ano e o preço dele subiu exatamente como o IPCA, quanto custa ao final do terceiro ano? Arredonde para centavos.

A figura compara a evolução do IPCA e do índice salarial de um país (ambos com base $100$ três anos antes).

1. a) Qual foi o aumento percentual total dos preços e o dos salários no período?

1. b) Os salários ganharam ou perderam poder de compra? Calcule o índice de variação real (índice salarial dividido pelo IPCA, por $100$) do último ano e interprete-o.

1. c) Se no último ano um trabalhador recebia $\text{R\$}\ 1.650$ por mês, qual salário precisaria para recuperar o poder de compra de três anos antes?

Em 2022, o aluguel de um apartamento era de $\text{R\$}\ 850$ mensais. O contrato é reajustado a cada ano com o IPC: em 2023 o IPC foi de $3,1 \%$ e em 2024, de $2,6 \%$.

1. a) Calcule o aluguel mensal em 2024 após os dois reajustes, arredondado aos centavos.

1. b) O inquilino quer comparar o aluguel de 2024 «em reais de 2022». Como os preços subiram o mesmo que o seu aluguel, explique qual índice usaria e qual conclusão obtém.

1. c) Se em 2025 o IPC for de $5 \%$ e o proprietário decidir não reajustar o aluguel, em qual porcentagem o aluguel diminuiu em termos reais? Arredonde às centésimas.

O departamento de estatística de um município elabora um índice local de preços com três componentes essenciais:\n- Alimentação (peso $p_1 = 0,30$).\n- Habitação e aluguel (peso $p_2 = 0,50$).\n- Transportes municipais (peso $p_3 = 0,20$).\n\nNo final do ano, a prefeitura comunica que o IPC geral do município subiu exatamente $4,1\,\%$ em relação ao ano-base (isto é, o índice global ponderado situa-se em $104,1$). Ao revisar as séries parciais, verifica-se que o índice de Habitação e aluguel subiu $3\,\%$ ($I_2 = 103$) e os Transportes caíram $2\,\%$ ($I_3 = 98$), mas o registro do índice de Alimentação ($I_1$) foi extraviado.\n\na) Modele uma equação do primeiro grau em que intervenha a média ponderada do IPC e cuja incógnita seja $I_1$.\nb) Resolva a equação e calcule o número-índice da Alimentação e a sua taxa de variação percentual.\nc) Se a equipe do executivo municipal tivesse fixado como meta que a inflação global do município não ultrapassasse $3,5\,\%$, qual deveria ter sido, no máximo, a porcentagem de aumento nos preços da alimentação, mantendo constantes as variações da habitação e dos transportes?

Em um debate televisivo, um comentarista afirma: «o IPC subiu $5 \%$ em 2023 e caiu $5 \%$ em 2024, portanto os preços voltaram exatamente para onde estavam em 2022».

1. a) Mostre com um preço concreto (por exemplo, $\text{R\$}\ 100$) que a afirmação é falsa, e calcule o índice de variação total do biênio.

1. b) Qual porcentagem os preços deveriam ter caído em 2024 para voltar exatamente ao nível de 2022? Arredonde para os centésimos.

1. c) Explique, em uma frase compreensível para qualquer cidadão, por que subir $5 \%$ e cair $5 \%$ não se cancelam.

O IPC de um país é calculado como a média ponderada dos índices de vários grupos de despesas. Em um ano, os dados são:

• Alimentação e bebidas: ponderação $25 \%$, aumento de $9 \%$.

• Habitação e serviços básicos: ponderação $30 \%$, aumento de $4 \%$.

• Transporte: ponderação $15 \%$, aumento de $6 \%$.

• Restante dos grupos: ponderação $30 \%$, aumento de $2 \%$.

1. a) Calcule o IPC global do ano, arredondado para os centésimos.

1. b) Um trabalhador cujo salário subiu $3,5 \%$ nesse ano afirma que «perdeu poder de compra». Ele tem razão? Justifique calculando o índice de variação real do seu salário.

1. c) Outro trabalhador gasta metade do seu salário em habitação e a outra metade no restante em partes iguais. Explique por que a sua «inflação pessoal» pode ser diferente do IPC oficial.

Uma trabalhadora recebia um salário líquido de $1.500$ reais mensais em 2018 e passa a receber $1.720$ reais mensais em 2024. Para avaliar se ganhou ou perdeu poder de compra, ela consulta as séries do IPCA do IBGE, mas constata que em 2021 ocorreu uma mudança de base:\n- Série antiga (base $2016 = 100$): Índice em 2018 $= 103,5$; Índice em 2021 $= 110,0$.\n- Série nova (base $2021 = 100$): Índice em 2021 $= 100,0$; Índice em 2024 $= 114,2$.\n\nPara calcular a inflação acumulada entre 2018 e 2024, consideram-se dois caminhos:\n- Método 1 (Encadear para a base antiga): Multiplicar os índices da série nova pelo coeficiente de encadeamento $k = \frac{110,0}{100,0}$ para expressar o ano de 2024 na base de 2016, e calcular a variação percentual entre 2018 e 2024.\n- Método 2 (Passar a série para a base de 2021): Mudar a base do ano de 2018 diretamente para a base de 2021, dividindo o seu índice por $110,0$ e multiplicando por $100$, para depois calcular a variação entre 2018 e 2024 nessa mesma base.\n\na) Desenvolva por completo ambos os métodos com os dados numéricos e demonstre algebricamente que conduzem exatamente à mesma porcentagem de variação acumulada do índice de preços.\nb) Compare ambos os procedimentos e justifique qual dos dois é preferível ou mais eficiente se você tivesse de atualizar toda uma tabela de preços de uma empresa entre 2015 e 2024.\nc) Utilizando a inflação acumulada calculada, determine o salário real que a trabalhadora recebe em 2024 a preços constantes de 2018 e conclua de forma fundamentada se ela ganhou ou perdeu poder de compra e em que porcentagem exata em relação à sua situação inicial.

Uma plataforma imobiliária analisa a série de preços do aluguel por metro quadrado em uma capital entre 2019 e 2024, tomando como ano-base $2019 = 100$:\n- Em 2020, o preço sofreu uma queda de $4\,\%$ em relação a 2019.\n- Em 2021, o preço subiu $5\,\%$ em relação a 2020.\n- Durante o biênio 2021-2023, o preço aumentou com uma taxa de variação média anual (TVMA) constante de $6\,\%$ a cada ano.\n- Para 2024, a empresa pretende ajustar suas tarifas de modo que a taxa de variação média anual ao longo de todo o quinquênio (do período completo 2019-2024, ou seja, em $5$ anos) seja exatamente de $4\,\%$ ao ano.\n\na) Modele a evolução da série calculando o número-índice de preços em 2020, 2021 e 2023 com base 2019 (arredonde os índices para duas casas decimais).\nb) Escreva a equação que permite obter o índice de preços correspondente ao ano de 2024 para satisfazer a condição da TVMA quinquenal de $4\,\%$, e calcule o valor do referido índice $I_{2024}$.\nc) A partir dos resultados anteriores, deduza que variação percentual exata deve ser aplicada no aluguel em 2024 em relação aos preços de 2023.\nd) Um consultor comercial propõe: «Como em 2020 variou $-4\,\%$, em 2021 $+5\,\%$, em 2022 $+6\,\%$ e em 2023 $+6\,\%$, a soma acumulada é $-4 + 5 + 6 + 6 = 13\,\%$. Para atingir em cinco anos uma média de $4\,\%$ ao ano (que totaliza $20\,\%$), em 2024 bastará subir $7\,\%$ (pois $13 + 7 = 20$)». Argumente com rigor matemático por que o raciocínio do consultor é falacioso no cálculo financeiro e de números-índice, e indique se a estimativa dele fica acima ou abaixo do valor real necessário.

Em um país de $2,1$ milhões de habitantes, a taxa de natalidade é de $7,1$ nascimentos para cada $1.000$ habitantes.

1. a) Quantos nascimentos foram registrados nesse ano, aproximadamente?

1. b) Se a taxa de mortalidade foi de $9,3$ para cada $1.000$ habitantes, a população cresce ou decresce por causas naturais? Quantifique.

Num relatório socioeconômico regional constam os seguintes dados da Pesquisa de Emprego (equivalente à PNAD):\n- População de $16$ ou mais anos: $500.000$ pessoas.\n- Pessoas empregadas: $270.000$.\n- Pessoas desempregadas: $30.000$.\n\nO Marcos, um estudante do Ensino Médio, escreve no seu trabalho: «A taxa de desemprego da região é de $6\,\%$, já que se calcula dividindo as $30.000$ pessoas desempregadas pelas $500.000$ pessoas em idade ativa e multiplicando por $100$».\n\na) Identifique o erro conceitual cometido pelo Marcos e redija uma breve explicação do motivo pelo qual a abordagem dele não se ajusta à definição de taxa de desemprego.\nb) Calcule corretamente a taxa de atividade e a taxa de desemprego da referida região (expressas em porcentagem arredondada aos centésimos).\nc) Se no próximo ano $10.000$ pessoas das que estavam desempregadas decidirem deixar de procurar emprego ativamente para se matricularem em cursos universitários em tempo integral, o que acontecerá qualitativamente com a taxa de desemprego (subirá, descerá ou não mudará), supondo que as demais variáveis permaneçam constantes? Justifique a sua resposta.

Em um município de $48.300$ habitantes, registraram-se $415$ nascimentos e $502$ mortes em um ano.

1. a) Calcule a taxa de natalidade e a de mortalidade (por $1.000$ habitantes), arredondadas às centésimas.

1. b) Calcule o crescimento vegetativo (nascimentos menos mortes) e expresse-o também como taxa por $1.000$ habitantes. A população cresce ou diminui por causas naturais?

1. c) Se a população total, no entanto, aumentou em $600$ pessoas nesse ano, qual outro componente demográfico explica a diferença? Quantifique-o.

Em um estado, os dados do mercado de trabalho do Ano 1 segundo o IBGE são os seguintes:\n- População de $16$ ou mais anos: $2.000.000$ de pessoas.\n- Taxa de atividade: $60\,\%$.\n- Taxa de desemprego: $15\,\%$.\n\nNo Ano 2 ocorre uma recessão econômica. A população de $16$ ou mais anos continua sendo de $2.000.000$ de pessoas, mas acontecem dois fenômenos simultâneos: destroem-se $20.000$ postos de trabalho (as pessoas empregadas diminuem em $20.000$, passando inicialmente ao desemprego) e, ao mesmo tempo, $40.000$ pessoas desempregadas caem no «efeito desânimo» (deixam de procurar trabalho ativamente e abandonam a população ativa, passando à inatividade).\n\na) Determine para o Ano 1 a população ativa, o número de empregados e o número de desempregados.\nb) Determine para o Ano 2 a nova população ativa, o novo número de empregados e o novo número de desempregados. A partir deles, encontre a nova taxa de atividade e a nova taxa de desemprego (arredondando para duas casas decimais).\nc) Interprete o resultado: por que razão diminuiu a taxa de desemprego apesar de terem sido destruídos postos de trabalho líquidos? Explique que risco acarreta avaliar a saúde do emprego olhando unicamente para a taxa de desemprego sem levar em conta a taxa de atividade.

A tabela mostra dados aproximados da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios de duas regiões em um trimestre:

• Região A: população ativa $2.400.000$ pessoas, desempregados $312.000$, ocupados $2.088.000$.

• Região B: população ativa $950.000$ pessoas, desempregados $123.500$, ocupados $826.500$.

1. a) Calcule a taxa de desemprego de cada região, arredondada para centésimos.

1. b) Na região A, a população de $16$ ou mais anos é de $4.300.000$ pessoas. Calcule a taxa de atividade dessa região, arredondada para centésimos.

1. c) Uma manchete diz: «A região B tem menos desemprego porque tem menos desempregados». Critique a manchete usando as taxas calculadas e explique por que as taxas permitem comparar populações de tamanhos diferentes.