Inequações

Escreva em forma de intervalo e represente na reta real os valores de $x$ que satisfazem a desigualdade $-3 \le x < 5$.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Resolva a seguinte inequação do primeiro grau:

$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$

Resolva a inequação do segundo grau $x^2 - 16 < 0$. Expresse a solução em forma de intervalo.

Traduza para a linguagem algébrica e resolva: "O triplo de um número, diminuído em $4$ unidades, é no máximo $11$".

O Marcos precisa resolver a inequação linear $-3x + 12 \ge 0$ e, no caderno, escreve os seguintes passos:

$-3x + 12 \ge 0$

$-3x \ge -12$

$x \ge \frac{-12}{-3}$

$x \ge 4$

Conclui afirmando que o conjunto solução é o intervalo $[4, +\infty)$.

1. a) Sem resolver ainda a inequação, verifique o que acontece se você substituir na inequação original um valor que pertença ao conjunto do Marcos, por exemplo $x = 5$. A desigualdade se cumpre?
2. b) Localize e explique, com fundamentação, qual regra das desigualdades o Marcos esqueceu de aplicar no passo da segunda para a terceira linha. Por que o sentido de uma desigualdade muda ao multiplicar ou dividir por um número negativo?
3. c) Corrija o procedimento e escreva o conjunto solução correto na forma de intervalo.

Resolva o seguinte sistema de inequações com uma incógnita:

$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$

Encontre a solução do seguinte sistema de inequações:

$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$

Para ser aprovado em uma disciplina, um aluno deve ter uma nota média de pelo menos $5$ pontos nas três provas do trimestre. Se nas duas primeiras provas tirou $3,5$ e $4,2$, que nota deverá tirar na terceira prova para ser aprovado? (A nota máxima é $10$).

Verifique se os pontos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ e $C(-1, -2)$ são soluções da inequação com duas incógnitas $3x - 2y \le 4$.

Escreva o sistema de inequações com duas incógnitas cuja solução corresponde à região sombreada na seguinte figura.

Um agricultor quer embalar a sua produção de azeite. Sabendo que ele dispõe de garrafas de $2$ litros e de $5$ litros, e que tem estritamente menos de $100$ litros de azeite, escreva uma inequação linear com duas incógnitas que modele esta situação. Se já encheu $10$ garrafas de $5$ litros, quantas garrafas de $2$ litros ele pode encher no máximo?

Uma pequena empresa fabrica dois tipos de fones de ouvido sem fio: o modelo Alfa e o modelo Beta. O modelo Alfa requer $3$ horas de montagem e $1$ hora de calibração, enquanto o modelo Beta requer $2$ horas de montagem e $2$ horas de calibração. A empresa dispõe de um máximo de $120$ horas para montagem e $80$ horas para calibração por semana. Formule o sistema de inequações que define a região viável e indique se seria possível fabricar $20$ fones Alfa e $25$ fones Beta em uma semana.

Resolva a inequação com valor absoluto $|x - 3| \le 5$ e expresse a solução dela por meio de um intervalo.

Resolva a inequação linear com denominadores:

$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$

O departamento de controle de qualidade de uma empresa de envase de azeite em Campinas programa a sua maquinaria para encher garrafas de $1$ litro. Aceita-se uma garrafa se o volume real de azeite, $x$ (em litros), estiver dentro do intervalo $[0,98;\ 1,02]$.

1. a) Expresse esta condição de aceitação por meio de uma inequação com valor absoluto da forma $|x - a| \le k$, deduzindo e indicando de forma fundamentada que número representa o centro $a$ e qual é a margem de tolerância $k$.
2. b) Por outro lado, uma garrafa é considerada defeituosa e é rejeitada se não cumprir o referido padrão. Escreva a inequação com valor absoluto que descreve as garrafas rejeitadas e expresse o conjunto de volumes defeituosos como a união de dois intervalos disjuntos.

Resolva a seguinte inequação racional, estudando o sinal nos intervalos correspondentes:

$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$

Resolva a inequação do primeiro grau com frações e parênteses:

$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$

Resolva a inequação do segundo grau $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expresse a solução na forma de intervalo.

A base de um retângulo mede $5$ cm a mais do que a sua altura. Se o perímetro do retângulo deve ser superior a $30$ cm, mas a sua área não pode exceder $150$ cm$^2$, entre quais valores se encontra a medida da altura?

Para se deslocar para a sua escola e para as atividades extracurriculares durante o mês de outubro, a Ana avalia duas opções de transporte público:

• Opção A (Cartão recarregável): paga $2,50$ reais pelo cartão físico de suporte (pagamento único) e $1,35$ reais por cada viagem individual realizada.

• Opção B (Passe jovem mensal): tarifa fixa de $21,40$ reais por mês com viagens ilimitadas.

1. a) Estime: sem formular equações, calcule mentalmente o custo de 10 e de 20 viagens com a Opção A e estime entre quais dezenas de viagens se encontrará o momento em que o Passe jovem começa a ser mais vantajoso. Explique a sua estimativa.
2. b) Calcule: formule uma inequação em que a incógnita $x$ seja o número inteiro de viagens necessárias para que a Opção B resulte estritamente mais econômica do que a Opção A. Resolva-a passo a passo.
3. c) Verifique: determine o número mínimo exato de viagens a partir do qual já compensa adquirir o passe e compare esse resultado com a sua estimativa prévia. Se a Ana prevê realizar apenas 12 viagens em todo o mês, qual opção você aconselharia a ela escolher?

O Departamento Nacional de Trânsito (Denatran) adverte que, sobre asfalto molhado, a distância de frenagem aumenta substancialmente. Para um veículo de passeio, a distância de frenagem $d$ (em metros) em função da velocidade de circulação $v$ (em km/h) pode ser modelada pela fórmula aproximada:

$d = 0,005 \cdot v^2 + 0,2 \cdot v$

Em um trecho urbano próximo a uma escola, com chuva, a distância máxima disponível para frear diante de um imprevisto sem ultrapassar a faixa de pedestres é de $30$ metros (isto é, $d \le 30$).

1. a) Modele a situação formulando uma inequação do segundo grau em relação à velocidade $v$.
2. b) Transforme a inequação para ter zero no segundo membro, determine as raízes da equação quadrática associada e construa a tabela de sinais correspondente para determinar o seu conjunto solução matemático.
3. c) Interprete o intervalo obtido considerando a realidade física do problema: qual é o intervalo de velocidades seguras em que o veículo pode circular? Justifique por que o intervalo matemático deve ser limitado à esquerda.

Determine os valores do parâmetro $m$ para que a inequação do segundo grau $x^2 - mx + 9 > 0$ seja satisfeita para qualquer número real $x$.

Resolva a inequação polinomial de grau superior fatorando previamente o polinômio:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$

Resolva a inequação racional, prestando atenção para operar corretamente antes de estudar os sinais (lembre-se de que você não pode eliminar denominadores que contenham a incógnita):

$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$

Observe a seguinte região viável limitada (um triângulo) e determine o sistema de três inequações lineares com duas incógnitas que a define.

Um foguete de brinquedo é lançado verticalmente para cima. A altura $h$ (em metros) atingida pelo foguete em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão $h(t) = 30t - 5t^2$. Durante qual intervalo de tempo o foguete se encontrará a uma altura estritamente superior a $25$ metros?

Resolva a seguinte inequação que combina valor absoluto e polinômios de segundo grau:

$|x^2 - 5x| < 6$

Uma dieta equilibrada requer que a ingestão diária de dois alimentos, $A$ e $B$, forneça pelo menos $60$ g de proteínas e não ultrapasse $80$ g de gorduras. Cada porção de $100$ g do alimento $A$ contém $15$ g de proteínas e $10$ g de gorduras. Cada porção de $100$ g do alimento $B$ contém $10$ g de proteínas e $20$ g de gorduras. Se chamarmos de $x$ e $y$ o número de porções de $100$ g dos alimentos $A$ e $B$ consumidas, respectivamente, formule o sistema de inequações e verifique se é possível consumir exatamente $3$ porções de $A$ e $2$ porções de $B$ cumprindo as restrições.

Para resolver a inequação quadrática $x^2 - 2x - 8 \le 0$, dois colegas propõem estratégias distintas:

• Método A (Algébrico): calcular as raízes de $x^2 - 2x - 8 = 0$, fatorar como $(x - 4)(x + 2) \le 0$, dividir a reta real em três intervalos e elaborar uma tabela de sinais avaliando pontos de teste.

• Método B (Geométrico / Funcional): interpretar a expressão como a função parabólica $y = x^2 - 2x - 8$, observar que a sua concavidade está voltada para cima ($a = 1 > 0$) e que intersecta o eixo $X$ nas suas raízes, deduzindo visualmente o intervalo em que a curva fica abaixo ou sobre o eixo ($y \le 0$).

1. a) Resolva a inequação por ambos os métodos e verifique que se obtém o mesmo conjunto solução.
2. b) Justifique qual dos dois caminhos você considera mais eficiente e com menor risco de erros de cálculo de sinais em uma prova.
3. c) Considere agora a inequação $x^2 - 2x + 5 \le 0$. Ao calcular as suas raízes, verifica-se que o discriminante é negativo (não existem raízes reais). Explique como o Método B permite deduzir a solução de forma praticamente imediata sem recorrer a tabelas de sinais, e determine, de maneira fundamentada, qual é a solução desta inequação.

Dado o seguinte sistema de inequações lineares com uma incógnita no qual aparece um parâmetro real $k$:

$\begin{cases} 2(x - 1) < x + 3 \\ 3x + k \ge 7 \end{cases}$

1. a) Resolva a primeira inequação isoladamente e expresse a sua solução como um intervalo aberto.
2. b) Isole a incógnita $x$ na segunda inequação em função do parâmetro $k$. Em seguida, resolva o problema inverso: determine qual valor exato $k$ deve ter para que a solução final do sistema (a interseção de ambas as inequações) seja exatamente o intervalo semiaberto $[-1, 5)$.
3. c) Analise o que acontece se o valor de $k$ for variado: para quais valores de $k$ o sistema se torna impossível (não tem nenhuma solução)? Justifique a sua conclusão apoiando-se na representação gráfica de intervalos sobre a reta real e na definição de interseção de conjuntos.