Módulo de um número real

Calcule o valor numérico das seguintes expressões utilizando a definição de valor absoluto:

1. a) $|-12,5|$

1. b) $|7 - 15|$

1. c) $|\pi - 4|$

1. d) $|1 - \sqrt{2}|$

A temperatura em uma cidade do planalto central do Brasil às 6:00 da manhã era de $-3\,^\circ C$, enquanto às 15:00 horas subiu até $14\,^\circ C$. Utilize o conceito de valor absoluto para expressar e calcular a distância térmica (a diferença de graus) entre as duas medições.

Na figura você pode ver as duas temperaturas situadas sobre a reta dos graus.

1. a) Escreva, usando o valor absoluto, a expressão que dá a distância entre as duas temperaturas.

1. b) Calcule o seu valor e interprete-o no contexto do problema.

Defina a seguinte função módulo como uma função definida por partes:

Indique a expressão de cada um dos ramos e o intervalo em que cada um é válido.

Encontre os valores de $x$ que satisfazem as seguintes igualdades:

1. a) $|x| = 8$

1. b) $|x - 3| = 5$

1. c) $|x + 2| = 0$

O Marcos está resolvendo a equação $|2x - 8| = -6$ na prova e escreve o seguinte raciocínio:

«Pelas propriedades do valor absoluto, desdobro em dois casos:

• Caso 1: $2x - 8 = -6 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$

• Caso 2: $2x - 8 = 6 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$

Portanto, a equação tem duas soluções: $x = 1$ e $x = 7$».

1. a) Explique qual é o erro conceitual fundamental que o Marcos cometeu sem necessidade de realizar nenhuma operação intermediária.
2. b) Substitua os valores $x = 1$ e $x = 7$ na equação original para demonstrar numericamente por que razão falham.
3. c) Indique qual é o conjunto real de soluções da equação dada e enuncie a condição geral que $k$ deve cumprir para que a equação $|A| = k$ tenha solução.

Calcule os valores de $x$ que satisfazem a seguinte equação:

Resolva a seguinte equação com valores absolutos aninhados e represente as soluções na reta real:

Você pode usar como apoio a seguinte reta numérica, na qual você deve marcar as soluções que obtiver:

Para resolver a equação $|x - 2| = |x + 6|$, propõem-se na aula três estratégias diferentes:

• Método A (Geométrico): Interpretar $|x - 2|$ como a distância de $x$ ao ponto $2$, e $|x + 6| = |x - (-6)|$ como a distância de $x$ ao ponto $-6$, deduzindo que $x$ deve ser o ponto médio entre ambos.

• Método B (Algébrico direto): Resolver a igualdade considerando que as expressões dentro do valor absoluto devem ser iguais ou então opostas: $x - 2 = x + 6$ ou então $x - 2 = -(x + 6)$.

• Método C (Elevação ao quadrado): Visto que ambos os membros são não negativos, elevar ao quadrado ambos os lados: $(x - 2)^2 = (x + 6)^2$.

1. a) Aplique de forma independente os três métodos para encontrar a solução e verifique que se chega ao mesmo valor de $x$.
2. b) Compare os três métodos: qual resulta mais direto e conceitualmente vantajoso neste exercício? Justifique a sua resposta.
3. c) Se a equação fosse $|x - 2| = |2x + 6|$, o Método A continuaria sendo igualmente direto? Explique de forma fundamentada por que razão, neste novo caso, o Método B ou o Método C são preferíveis.

Represente na reta real e escreva na forma de intervalo os valores de $x$ que verificam a seguinte desigualdade:

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Resolva a desigualdade $|x| > 5$ e represente a solução graficamente. Lembre-se de que este tipo de expressão origina uma união de duas semirretas infinitas.

Resolva a seguinte inequação com módulo e represente a solução na reta real. Expresse o resultado final utilizando a notação de intervalos:

Resolva a seguinte inequação e expresse a solução em forma de união de intervalos:

Calcule também quais números naturais menores que 10 não pertencem a este conjunto solução.

Determine o conjunto dos números reais $x$ que satisfazem a seguinte condição de valor absoluto aninhado:

1. a) Resolva a desigualdade e expresse o resultado com notação de intervalos.

1. b) Represente o conjunto solução na reta real (você pode usar como guia a reta da figura, que está por completar).

1. c) Descreva a solução como uma união de vizinhanças (fechadas), indicando o centro e o raio de cada uma.

Expresse mediante a notação de valor absoluto os seguintes conjuntos de números reais representados na reta:

1. a) Os números cuja distância à origem é menor que $4$.

1. b) Os números cuja distância ao ponto $2$ é exatamente igual a $3$.

Associe cada uma das seguintes expressões de valor absoluto ao seu intervalo correspondente:

1. $|x| < 3$

2. $|x - 1| \le 2$

3. $|x + 2| < 1$

Intervalos: $A = [-1, 3] \quad B = (-3, 3) \quad C = (-3, -1)$

Em uma fábrica de componentes eletrônicos, um resistor deve ter um valor nominal de $220\ \Omega$. Por controle de qualidade, aceita-se que o valor real $x$ do resistor varie em relação ao nominal no máximo $5\ \Omega$.

Na reta da figura marca-se o valor nominal e um valor real qualquer $x$, juntamente com a sua distância ao valor nominal.

1. a) Escreva esta condição utilizando uma desigualdade com valor absoluto.

1. b) Resolva a desigualdade e determine o intervalo de valores ôhmicos aceitáveis para estes resistores.

Num laboratório de componentes eletrônicos estabelece-se que uma peça funciona com normalidade unicamente se a sua temperatura de trabalho $x$, medida em graus Celsius, pertencer ao intervalo aberto $(-1,5;\, 6,5)$.

1. a) Calcule o ponto médio (valor nominal) $a$ e o raio (tolerância máxima admissível) $r$ desse intervalo.
2. b) Escreva uma inequação com valor absoluto da forma $|x - a| < r$ cujo conjunto de soluções seja exatamente esse intervalo de temperaturas.
3. c) Expresse o resultado por meio da notação de vizinhança $E(a, r)$ e fundamente, utilizando a interpretação do valor absoluto como distância sobre a reta real, se um componente que atinja $x = 7^\circ\text{C}$ se encontra dentro ou fora da margem permitida.

Uma empresa de fabricação de componentes eletrônicos produz resistores que devem ter um valor nominal de $220 \Omega$. Por razões de controle de qualidade, aceita-se uma margem de erro (tolerância) de $5 \Omega$.

1. a) Escreva uma inequação utilizando o valor absoluto que descreva os valores de resistência $x$ aceitáveis.
2. b) Determine o intervalo de valores permitidos para que o componente não seja rejeitado.

Expresse por meio de uma desigualdade com valor absoluto o conjunto de números reais representados no gráfico a seguir:

Em um estudo estatístico sobre o gasto mensal em lazer dos jovens de uma cidade, determinou-se que a média é de $45$ reais com um erro máximo de $12$ reais.

1. a) Expresse esta situação por meio de uma vizinhança $E(a, r)$.
2. b) Escreva a desigualdade com valor absoluto correspondente.
3. c) Um jovem que gasta $32$ reais mensais poderia estar incluído neste grupo de estudo? Justifique a sua resposta.

Determine todos os números reais $x$ que estão a uma distância maior que $5$ unidades do ponto $-1$. Expresse a solução de três formas diferentes:

1. Como uma inequação com valor absoluto.

2. Por meio da união de dois intervalos.

3. Graficamente na reta real.

Uma cooperativa de Ribeirão Preto embala azeite extravirgem em garrafões com um volume nominal de $5\text{ l}$. A norma de controle de qualidade admite um garrafão como apto se o erro absoluto em relação ao valor nominal não ultrapassar $0,8\,\%$ desse volume.

1. a) Calcule a margem de tolerância $r$ em litros e formule uma inequação com valor absoluto da forma $|V - 5| \le r$ que modele a condição de aceitação para o volume real $V$.
2. b) Resolva a inequação anterior e determine o intervalo de volumes admissíveis em litros.
3. c) Em uma inspeção, recolhem-se dois garrafões com volumes medidos de $4,955\text{ l}$ e $5,038\text{ l}$. Sem resolver novamente a inequação, utilize exclusivamente o conceito de distância na reta real para justificar de forma fundamentada se cada um dos dois garrafões passa no controle de qualidade ou é rejeitado.

Considere a inequação com valor absoluto $|x - \sqrt{5}| \le 3$.

1. a) Antes de operar analiticamente, faça uma estimativa fundamentada: sabendo que $2 < \sqrt{5} < 3$ (aproximadamente $\sqrt{5} \approx 2,2$), estime mentalmente entre quais dois números inteiros deve estar o conjunto de soluções. Você espera que esse conjunto contenha o valor $x = 0$? E o valor $x = 5,5$? Justifique as suas estimativas a partir da distância até $\sqrt{5}$ na reta real.
2. b) Resolva formalmente a inequação trabalhando com o valor exato $\sqrt{5}$ e escreva o conjunto solução na forma de intervalo fechado.
3. c) Utilize uma aproximação decimal dos extremos do intervalo para verificar se as suas estimativas sobre o $0$ e o $5,5$ estavam corretas.

Em um controle de qualidade de uma empresa de componentes eletrônicos, aceita-se que um resistor de $1500 \Omega$ seja válido se o seu valor real $R$ não diferir do nominal em mais de $2\%$.

1. a) Escreva uma desigualdade utilizando o valor absoluto que represente os valores de $R$ aceitáveis.
2. b) Determine o intervalo de valores de $R$ que fariam com que o componente fosse rejeitado por excesso.

Expresse mediante uma única desigualdade com valor absoluto o conjunto de pontos representados pela união dos seguintes dois intervalos:

Dadas as seguintes desigualdades, identifique qual delas define um intervalo (vizinhança) de centro $a = -2$ e raio $r = 3$:

1. a) $|x - 2| < 3$

1. b) $|x + 2| < 3$

1. c) $|x - 3| < 2$

Depois de identificada, escreva o conjunto complementar dessa vizinhança na reta real como união de intervalos. Explique também como você o representaria sobre a reta: quais extremos ficam fechados ou abertos e para onde se estende cada parte.

Considere os pontos $A$ e $B$ na reta real tais que suas coordenadas são as soluções da equação $|x + 4| = 6$.

Seja $P$ um ponto qualquer da reta real com coordenada $x$. Escreva uma expressão com valor absoluto que represente a condição: "A distância de $P$ ao ponto médio do segmento $AB$ é menor que 2 unidades". Resolva essa inequação.

Encontre o intervalo resultante da seguinte condição combinada e represente-o graficamente:

Determine o conjunto dos números reais $x$ que cumprem simultaneamente as seguintes duas condições de distância na reta real. Expresse o resultado final utilizando unicamente a notação de intervalos:

1. A distância entre $x$ e $2$ é menor ou igual a $5$.

2. A distância entre $x$ e $-1$ é estritamente maior que $2$.

Na reta da figura foram marcados os dois pontos de referência, $-1$ e $2$.

Um analista financeiro observa que o preço de uma criptomoeda flutuou seguindo a regra $|P - 450| < 75$, onde $P$ é o preço em reais. Ao mesmo tempo, outra fonte indica que, por razões de segurança, o investimento só é recomendável se $|P - 500| > 50$.

Determine o intervalo de preços em que ambas as condições são cumpridas para fazer um investimento seguro segundo estes dados.

Num estudo econômico sobre o mercado de trabalho, um analista prevê que a variação anual do índice de salários $s$ (em porcentagem) se manterá numa margem moderada se satisfizer a condição $|s - 2,5| \le 1,2$. Ao mesmo tempo, um relatório macroeconômico adverte que se gerarão desequilíbrios se essa variação salarial ficar fora do intervalo de estabilidade definido pela condição $|2s - 4| > 3$.

1. a) Resolva de forma algébrica e independente ambas as inequações e expresse a solução de cada uma utilizando a notação de intervalos.
2. b) Determine o conjunto de valores do aumento salarial $s$ para os quais se cumprem simultaneamente ambas as condições (isto é, cumpre-se a previsão do analista mas, ao mesmo tempo, geram-se desequilíbrios). Expresse o resultado como um único intervalo.
3. c) Se a negociação coletiva acordar um aumento salarial de $s = 3,6\,\%$, justifique, a partir da definição de valor absoluto como distância, se esse aumento cumpre a condição do analista sem chegar a gerar desequilíbrios macroeconômicos, sem necessidade de refazer os cálculos analíticos.