Exercícios: Aproximação e erros

Um piloto de Fórmula 1 registrou um tempo de volta de $1,24572$ minutos. Para simplificar os gráficos na transmissão de TV, é necessário fazer aproximações desse tempo.

Calcule:

1. a) O tempo truncado nos milésimos.

1. b) O tempo arredondado nos milésimos.

1. c) O tempo arredondado nos centésimos.

1. d) Explique brevemente por que o resultado de truncar e o de arredondar nos milésimos são diferentes neste caso concreto.

Em uma loja de eletrônicos, o preço real de um celular é de $456,28$ reais. No entanto, no cartaz publicitário da vitrine, o proprietário decide colocar o preço arredondado para as unidades para que seja mais atraente visualmente.

Calcule:

• O valor aproximado que aparece no cartaz.

• O erro absoluto cometido com essa aproximação.

• O erro relativo expresso em porcentagem (com duas casas decimais).

Ao medir a espessura de um livro didático com uma régua cuja menor divisão são os milímetros, obtemos um valor de $2,4$ cm.

Indique:

• Qual é a cota de erro absoluto desta medição.

• Entre quais valores se encontra a espessura real do livro, expressando o resultado por meio de um intervalo.

Temos duas medições diferentes realizadas por operários distintos:

1. Um carpinteiro mede uma ripa de madeira de $2,5$ metros e comete um erro absoluto de $1$ cm.

2. Um topógrafo mede um terreno de $450$ metros e comete um erro absoluto de $1$ metro.

Calcule o erro relativo de cada medição e determine justificadamente qual das duas aproximações é de melhor qualidade (mais precisa).

O número áureo ou de ouro, representado pela letra grega $\phi$, tem um valor exato de $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Um estudante utiliza a calculadora e obtém que seu valor é aproximadamente $1,6180339...$

Se o estudante decidir tomar como aproximação do número áureo o valor $1,62$:

• Isso é um arredondamento ou um truncamento para as centésimas?

• Calcule o erro absoluto cometido (considere o valor da calculadora como valor real).

• Esse erro absoluto é menor do que um milésimo?

Identifique o número de algarismos significativos dos seguintes dados obtidos em um laboratório de química:

• $0,00405$ gramas de um composto reativo.

• $120,70$ mililitros de água destilada.

• $3,50 \cdot 10^4$ partículas por centímetro cúbico.

• $2000$ bactérias em uma amostra (aproximado para as unidades).

A massa da Terra é de aproximadamente $5.972.200.000.000.000.000.000.000$ kg. Nos livros didáticos de ciências costuma-se expressar este número em notação científica arredondando para duas casas decimais (três algarismos significativos).

1. a) Escreva a massa da Terra em notação científica com todos os seus algarismos.

1. b) Escreva a aproximação arredondada que seria usada em um livro didático.

1. c) Calcule a cota de erro absoluto associada a esse arredondamento.

Para fazer um bolo gigante, um confeiteiro soma as massas dos três ingredientes principais, que pesou em uma balança industrial:

• Farinha: $12,4$ kg (arredondado para as décimas).

• Açúcar: $5,75$ kg (arredondado para as centésimas).

• Manteiga: $2,125$ kg (arredondado para as milésimas).

Calcule a soma total dos ingredientes e arredonde o resultado final de forma que seja coerente com a medição menos precisa das três. Justifique sua escolha.

Para um trabalho de Economia da 1ª série do Ensino Médio, a Maria Eduarda e o Carlos analisam os desvios orçamentários de duas rubricas:

• Rubrica A (material de informática): custo real de $820$ reais, orçado em $800$ reais.

• Rubrica B (material de papelaria): custo real de $12$ reais, orçado em $10$ reais.

O Carlos afirma: «Na rubrica B só nos desviamos em $2$ reais, enquanto na A nos desviamos em $20$ reais. Como $2 < 20$, a estimativa da papelaria foi dez vezes mais precisa do que a da informática».

1. a) Detecte o erro conceitual na afirmação do Carlos e explique por que o erro absoluto não é um indicador válido para comparar a qualidade dessas duas aproximações.
2. b) Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual cometido em cada uma das duas rubricas.
3. c) A partir dos resultados, determine com rigor matemático qual das duas estimativas orçamentárias teve melhor qualidade.

Um estudante universitário gasta exatamente $1,85$ reais a cada dia de aulas em um café na cafeteria do campus. Em um semestre há exatamente $78$ dias de aulas.

1. a) Faça uma estimativa rápida e mental do gasto total com café do semestre: arredonde previamente o preço unitário para a unidade de reais mais próxima e o número de dias para a dezena mais próxima. Registre a sua estimativa.
2. b) Calcule o gasto real exato e determine o erro absoluto e o erro relativo percentual que você cometeu com a sua estimativa inicial.
3. c) Reflita e raciocine sem fazer novos cálculos: era previsível que a sua estimativa superestimasse o gasto real em vez de subestimá-lo? Justifique, analisando em que sentido se arredondou cada um dos dois fatores.

Dois técnicos de som estão calibrando equipamentos para um festival de música. O primeiro técnico mede o comprimento de um cabo de antena e obtém $15,25$ m, quando seu valor real é de $15,30$ m. O segundo técnico mede a latência de um sinal digital e obtém $0,018$ s, sendo o valor real de $0,020$ s.

1. a) Calcule o erro absoluto cometido por cada técnico.
2. b) Determine qual das duas medições é mais precisa comparando seus erros relativos.
3. c) Se o primeiro técnico arredondar sua medição para as décimas, qual será o novo erro relativo cometido?

Uma empresa de fabricação de componentes eletrônicos produz resistores que devem ter um valor nominal de $470$ ohms ($\Omega$). O controle de qualidade permite uma margem de erro (tolerância) tal que o valor real $R$ deve cumprir a condição $|R - 470| \leq 15$.

1. a) Expresse por meio de um intervalo da reta real os valores de resistência permitidos.
2. b) Se um resistor medido der um valor de $482,5 \Omega$, ele estará dentro da margem de tolerância?
3. c) Calcule a cota do erro relativo máximo que a empresa aceita para esse componente.

O raio de uma pista circular de patinação foi medido com uma fita métrica, obtendo-se um valor de $12,4$ metros. Sabe-se que o erro absoluto cometido nessa medição é, no máximo, de $0,05$ metros.

1. a) Escreva o intervalo no qual se encontra o valor real do raio.
2. b) Calcule os valores máximo e mínimo possíveis para a área da pista (use $\pi \approx 3,14159$).
3. c) Se tomarmos como aproximação da área o valor calculado com o raio de $12,4$ m, qual é o limite superior do erro absoluto para essa área?

Em um laboratório de biologia, estima-se que o número de bactérias em uma placa de cultura seja de $4,25 \times 10^7$, com um erro relativo de $2\%$.

1. a) Calcule o erro absoluto cometido na estimativa.
2. b) Entre quais dois valores se encontra o número real de bactérias?
3. c) Se depois de uma hora o número de bactérias triplicar, expresse o novo total em notação científica e calcule sua ordem de grandeza.

Considere os números reais $A = \sqrt{7}$ e $B = \frac{22}{8}$.

1. a) Represente de forma exata o número $A$ na reta real utilizando o teorema de Pitágoras.
2. b) Aproxime ambos os números, arredondando para milésimos.
3. c) Qual é o erro relativo cometido ao aproximar a soma $A + B$ pelo número $5,4$?

Um investidor analisa a rentabilidade de uma criptomoeda. O valor atual é de $0,0004582$ reais por unidade. Para facilitar os cálculos em seu aplicativo móvel, ele decide truncar esse valor na quinta casa decimal (centésimos de milésimo).

1. a) Escreva o valor truncado em notação científica.
2. b) Calcule o erro absoluto e o erro relativo cometidos por esse truncamento.
3. c) Qual seria o erro relativo se, em vez de truncar, ele tivesse arredondado para o mesmo algarismo?

Dados os seguintes conjuntos de números reais:

$A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| < 3\}$

$B = [-2, 5]$

1. a) Expresse o conjunto $A$ na forma de intervalo.
2. b) Calcule e represente na reta real a interseção $A \cap B$ e a união $A \cup B$.
3. c) Determine se o número irracional $\sqrt{10}$ pertence a algum desses conjuntos. Justifique a resposta aproximando o radical às centésimas.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma escala sismográfica utiliza logaritmos para medir a energia liberada por um terremoto. Se a energia $E$ (em joules) se relaciona com a magnitude $M$ mediante a fórmula $\log E = 4,8 + 1,5M$:

1. a) Calcule a energia liberada por um terremoto de magnitude $M = 6,2$. Expresse o resultado em notação científica arredondando a mantissa para duas casas decimais.
2. b) Se cometermos um erro de $0,1$ ao medir a magnitude ($M = 6,3$ em vez de $6,2$), qual é o erro relativo percentual cometido no cálculo da energia?
3. c) Explique por que um pequeno erro na magnitude $M$ provoca um erro tão grande na energia $E$.

De acordo com dados das publicações demográficas do INE, um município espanhol conta com uma população recenseada de $48\,600$ habitantes, dado que é publicado arredondado às centenas. Por outro lado, a prefeitura prevê um gasto social médio de $125$ reais por habitante, valor arredondado às unidades de reais. A prefeitura prevê uma dotação total de $G = 48\,600 \cdot 125 = 6\,075\,000$ reais.

1. a) Escreva os intervalos de incerteza em que se encontram o número real de habitantes ($P$) e o gasto real médio por habitante ($g$).
2. b) Utilizando a fórmula de propagação de limites superiores de erro relativo para o produto de duas grandezas, calcule um limite superior para o erro relativo percentual da dotação total $G$.
3. c) A partir desse limite superior relativo, calcule o limite superior do erro absoluto do gasto total e determine o intervalo de valores em que se encontrará com total segurança o gasto real.

Num relatório de conjuntura económica sobre o IPC homólogo de uma comunidade autónoma, publica-se que a taxa de inflação no setor dos transportes foi de $3,4$ %, valor obtido após arredondamento às décimas de ponto percentual.

1. a) Determina o intervalo de valores numéricos em que se encontra a taxa real $\tau$.
2. b) Determina o limite superior do erro absoluto e calcula o maior erro relativo percentual que se pôde cometer ao publicar o valor $3,4$ % face ao valor real desconhecido.
3. c) Se a autoridade estatística regional exige por protocolo de qualidade que o erro relativo cometido ao publicar a taxa não supere em caso algum $0,5$ %, é suficiente ter arredondado às décimas? Caso negativo, determina quantas casas decimais se deveriam ter conservado, no mínimo, na publicação para assegurar que se cumpre esse padrão.

Um microchip de alta precisão tem uma base retangular cujas dimensões foram medidas com um paquímetro a laser. O comprimento obtido é de $l = 4,25$ mm e a largura é de $w = 2,80$ mm. Sabe-se que o aparelho de medição tem um erro absoluto máximo de $0,005$ mm em cada medição. Calcule:

1. a) A cota do erro absoluto cometido ao calcular a área do microchip.
2. b) O intervalo de valores possíveis no qual se encontra a área real.
3. c) Qual é o erro relativo máximo cometido no cálculo da área, expresso em porcentagem e arredondado às milésimas?

Em um experimento de física de partículas, estima-se que a massa de uma amostra seja de $m = 3,45 \cdot 10^{-6}$ kg com um erro relativo de $0,2\%$. Simultaneamente, o volume ocupado pela amostra é medido como $V = 1,2 \cdot 10^{-9}$ $m^3$ com uma cota de erro absoluto de $0,05 \cdot 10^{-9}$ $m^3$.

Determine se é possível que a densidade real ($\rho = m/V$) da amostra supere $3000$ $kg/m^3$, justificando sua resposta por meio do cálculo das cotas de erro correspondentes.

Um analista financeiro utiliza a aproximação do número de ouro $\Phi \approx 1,618$ para prever o comportamento de uma criptomoeda em um gráfico de crescimento. Sabendo que o valor exato é $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$:

1. a) Calcule o erro absoluto cometido nessa aproximação (utilize todas as casas decimais da sua calculadora para o valor real).
2. b) Calcule o erro relativo cometido.
3. c) Se o analista aplicar essa proporção a um investimento de $2.500.000$ reais, qual seria a diferença em reais entre usar o valor aproximado e o valor real? Esse erro é significativo no contexto financeiro?

Um praticante de caminhada utiliza um GPS de montanha para se orientar. O dispositivo estima a distância até o abrigo de destino por meio da fórmula $d = \sqrt{x^2 + y^2}$. Em um ponto da rota, as coordenadas registradas são $x = 800$ m e $y = 600$ m. No entanto, o GPS tem uma imprecisão (cota de erro absoluto) de $2$ metros em cada eixo.

Calcule a cota do erro relativo cometido ao estimar a distância total $d$. Arredonde o resultado para quatro algarismos significativos.

Considere os números $A = 5,42 \cdot 10^8$ e $B = 3,1 \cdot 10^7$. Ambos os números foram arredondados para os algarismos significativos mostrados.

1. a) Determine as cotas de erro absoluto para $A$ e $B$.
2. b) Calcule o valor de $S = A + B$ e expresse o resultado em notação científica.
3. c) Encontre a cota do erro relativo da soma $S$. Como esse erro relativo se compara aos erros relativos de $A$ e $B$ separadamente?

Um reservatório cilíndrico de combustível tem uma altura de $H = 10,0$ m e um raio da base de $R = 4,0$ m. As medições foram feitas com uma precisão de um decímetro.

1. a) Calcule o volume nominal do reservatório em metros cúbicos utilizando $\pi \approx 3,1416$.
2. b) Determine a cota do erro absoluto cometido no cálculo do volume devido à imprecisão nas medições de $R$ e $H$ (considere o valor de $\pi$ como exato para este item).
3. c) Se o combustível se dilatar e o volume real for $1\%$ superior ao volume calculado com as medições (que pode afastar-se do nominal até à cota relativa do item b), qual será, no caso mais desfavorável, o erro relativo total em relação ao valor nominal inicial?

Foi medida a velocidade de uma conexão de fibra óptica, obtendo-se um valor de $540,5$ Mbps. O técnico indica que o erro relativo da medição é inferior a $0,05\%$.

1. a) Entre quais valores pode oscilar a velocidade real da conexão?
2. b) Se arredondarmos o resultado para as dezenas de Mbps, qual será a nova cota do erro relativo máximo que estaremos assumindo em relação à velocidade real, tendo em conta o intervalo da alínea a)?

Dada a função $f(x) = \frac{1}{x-1}$, queremos calcular seu valor para $x = \sqrt{2}$.

1. a) Aproxime o resultado utilizando para $\sqrt{2}$ o seu arredondamento às milésimas.
2. b) Calcule o valor "real" (com todas as casas decimais possíveis da calculadora).
3. c) Determine o erro absoluto e o erro relativo cometidos.
4. d) Explique fundamentadamente por que, neste tipo de função, uma pequena variação na aproximação de $x$ pode gerar um erro relativo muito maior no resultado de $f(x)$ quando $x$ está próximo de $1$.

Uma PME de comércio eletrônico analisa a sua margem comercial por meio do quociente $M = \frac{B}{I}$, em que $B$ é o lucro líquido obtido e $I$ são as receitas totais faturadas. No último trimestre, registraram-se receitas de $I = 200\,000$ reais com uma incerteza absoluta de $\Delta I = 4\,000$ reais, e um lucro de $B = 10\,000$ reais com uma incerteza absoluta de $\Delta B = 800$ reais. Para estimar o intervalo em que oscila a margem real, a equipe financeira se divide entre dois procedimentos:

• Método 1 (Linearização): calcular a margem nominal $M_0 = \frac{B}{I}$, somar os limites superiores de erro relativo para obter $\Delta M / M_0 \approx \frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta I}{I}$ e definir o intervalo como $[M_0 - \Delta M, M_0 + \Delta M]$.

• Método 2 (Aritmética de intervalos): calcular de forma exata a margem mínima possível $M_{\min} = \frac{B - \Delta B}{I + \Delta I}$ e a margem máxima possível $M_{\max} = \frac{B + \Delta B}{I - \Delta I}$.

1. a) Aplique ambos os métodos detalhando todos os cálculos e expresse os intervalos resultantes na forma percentual com três casas decimais.
2. b) Compare os dois intervalos obtidos: eles têm a mesma amplitude? Estão centrados no mesmo valor? Explique analiticamente a que se deve a discrepância entre os dois métodos.
3. c) Se a empresa tiver de apresentar este relatório a uma instituição bancária para pedir financiamento sem risco de incorrer em falsidade ou superestimação, justifique de forma fundamentada qual dos dois métodos é preferível utilizar.

Uma cooperativa agroalimentar exporta azeite virgem extra em tanques metálicos de forma cúbica com aresta nominal de $a = 80$ cm. O volume de armazenamento é calculado como $V = a^3$.

O departamento de logística exige que o erro relativo percentual no cálculo do volume não exceda $0,75$ % ($E_r(V) \le 0,0075$) para evitar problemas no frete marítimo.

1. a) Utilizando a relação de propagação de erros de primeira ordem para uma potência ($V = a^n$), deduza o limite superior do erro relativo admissível na medição direta da aresta $a$.
2. b) A partir do resultado do item anterior, determine o limite superior do erro absoluto máximo $\Delta a$ tolerável ao medir a aresta de $80$ cm.
3. c) O fabricante dispõe de três instrumentos de medição: uma fita métrica comum graduada em centímetros inteiros ($u = 1$ cm), uma fita métrica com marcas de meio centímetro ($u = 0,5$ cm) e uma régua a laser calibrada ao milímetro ($u = 0,1$ cm). Se a cooperativa adotar como critério de leitura o arredondamento ao múltiplo mais próximo da graduação do instrumento, determine qual é o instrumento menos dispendioso (isto é, o de menor precisão) que garante o cumprimento da exigência logística. Demonstre numericamente a sua escolha.