Estatística descritiva unidimensional

Em um estudo sobre o uso de redes sociais em uma escola, foram identificadas as seguintes variáveis. Classifique cada uma delas como qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua:

1. a) Rede social favorita (TikTok, Instagram, Twitter, etc.).
2. b) Número de seguidores na conta principal.
3. c) Tempo diário (em minutos) de uso do celular.
4. d) Marca do dispositivo móvel (Apple, Samsung, Xiaomi, etc.).
5. e) Nota numérica obtida na última prova de Matemática.

Uma prefeitura quer conhecer a opinião dos adolescentes sobre as novas pistas de skate da cidade. Para isso, seleciona ao acaso $200$ jovens entre $14$ e $18$ anos que frequentam os centros juvenis dos diferentes bairros.

Indique qual é a população objeto de estudo e qual é a amostra escolhida. Você considera que a amostra é representativa se forem consultados apenas os jovens dos centros juvenis?

Perguntou-se a um grupo de $20$ estudantes da 1ª série do Ensino Médio quantos livros leram por prazer durante o último ano. Os dados obtidos são os seguintes:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5$

Organize estes dados em uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$), a frequência relativa ($f_i$) e a frequência absoluta acumulada ($N_i$).

Foi realizada uma pesquisa sobre o número de irmãos que os alunos de uma turma têm. A tabela de frequências absolutas acumuladas ($N_i$) é a seguinte:

Responda às seguintes perguntas justificando sua resposta:

1. a) Quantos alunos são filhos únicos?
2. b) Quantos alunos têm exatamente $2$ irmãos?
3. c) Qual é o número total de alunos na turma?

Observe o gráfico a seguir que representa o esporte preferido de um grupo de alunos da sua turma:

A partir do diagrama de barras:

1. a) Qual é a moda desta distribuição?
2. b) Quantos alunos preferem basquete ou natação no total?
3. c) Se no total foram entrevistados $30$ alunos, quantos escolheram a natação (sabendo que a barra chega à metade entre 4 e 8)?

Você pode fazer em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Um grupo de música quer saber em que formato seus seguidores preferem ouvir suas canções. Elaboraram um gráfico de setores com os resultados de $400$ questionários:

Se $10 \%$ dos seguidores prefere o formato físico, $30 \%$ o download digital e $60 \%$ o streaming:

1. a) Calcule a frequência absoluta de seguidores que preferem cada formato (sabendo que $N=400$).

1. b) Qual é a frequência relativa ($f_i$) do formato streaming?

A figura mostra o histograma das notas de uma prova de matemática avaliada em $50$.

1. a) Quantos alunos tiraram menos de $20$ pontos?

1. b) Qual é o intervalo com mais alunos?

1. c) Quantos alunos fizeram a prova no total?

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A figura mostra as horas de sono declaradas pelos alunos de uma turma.

1. a) Construa a tabela de frequências absolutas a partir do gráfico.

1. b) Qual porcentagem de alunos dorme $8$ horas ou mais?

1. c) Qual é a moda da distribuição?

Você pode fazer em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Um grupo de pesquisadores realizou uma pesquisa com 40 estudantes do Ensino Médio sobre o número de horas semanais que dedicam a assistir a conteúdo em plataformas de streaming. Os dados coletados são os seguintes:

$12, 15, 10, 8, 12, 14, 20, 18, 15, 12, 10, 9, 14, 15, 12, 18, 22, 15, 12, 10,$

$14, 16, 12, 15, 18, 12, 10, 14, 15, 12, 16, 14, 12, 15, 10, 18, 12, 14, 15, 12$

1. a) Classifique a variável estatística estudada.

1. b) Elabore uma tabela de frequências que inclua frequências absolutas, relativas, acumuladas e relativas acumuladas.

1. c) Represente os dados por meio de um gráfico de barras (horas semanais no eixo horizontal e frequência absoluta no eixo vertical).

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi realizado um estudo sobre o número de filhos em uma amostra de famílias de um bairro. Alguns dados da tabela de frequências foram perdidos:

1. a) Encontre o tamanho da amostra ($N$).
2. b) Calcule os valores de $a, b, c$ e $d$ para completar a tabela.
3. c) Determine a moda e a mediana do número de filhos.

Foi realizado um exame de acesso a um curso técnico e as notas obtidas pelos candidatos estão resumidas na seguinte tabela de frequências acumuladas:

1. a) Quantos alunos fizeram o exame?
2. b) Calcule a mediana, o primeiro quartil e o terceiro quartil. Explique o significado do terceiro quartil neste contexto.
3. c) Calcule o percentil 40 ($P_{40}$) e interprete-o.

Um município analisa o consumo de água por domicílio através de um histograma de frequências relativas. Devido à natureza dos dados, os intervalos têm amplitudes diferentes: $[0, 10)$, $[10, 20)$ e $[20, 40)$ metros cúbicos mensais. As alturas dos retângulos do histograma (densidade de frequência) são $0,03$; $0,04$ e $0,015$, respectivamente.

1. a) Calcule a frequência relativa de cada intervalo.
2. b) Qual é o consumo médio por domicílio neste município?
3. c) Determine o valor do percentil $80$ e interprete o seu significado no contexto da economia de água.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma rede de lojas quer exibir suas vendas e elabora dois gráficos com os mesmos dados trimestrais: no painel A o eixo vertical começa em $0$ e no painel B está truncado.

1. a) Calcule a variação percentual real das vendas entre o primeiro e o terceiro trimestre.

1. b) Qual efeito visual o eixo truncado do painel B produz? Em que ele se difere da impressão dada pelo painel A?

1. c) Qual dos dois gráficos você usaria em um relatório honesto para os acionistas? E qual versão um concorrente poderia usar para alarmar o mercado? Justifique ambas as respostas.

As notas obtidas por $7$ amigos em um trabalho de Economia são:

$6,5; \quad 8,0; \quad 4,5; \quad 7,0; \quad 9,5; \quad 6,5; \quad 5,0$

Calcule a média aritmética ($\bar{x}$) e a mediana ($Me$) das notas.

Em uma competição de videogames, foram registrados os tempos (em segundos) que os participantes levam para completar o primeiro nível. Por ser uma variável contínua, os dados foram agrupados em intervalos:

Calcule as marcas de classe ($x_i$) de cada intervalo e determine o tamanho total da amostra ($N$).

As idades dos sócios de um clube de caminhada estão agrupadas na tabela: $[10, 20)$: $5$; $[20, 30)$: $12$; $[30, 40)$: $18$; $[40, 50)$: $10$; $[50, 60]$: $5$.

1. a) Construa a tabela completa com marcas de classe e frequências acumuladas.

1. b) Desenhe o histograma e o polígono de frequências.

1. c) Calcule a idade média usando as marcas de classe e indique o intervalo modal e o intervalo onde cai a mediana.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O consumo elétrico mensal (em kWh) de $40$ residências é agrupado assim: $[100, 150)$: $4$; $[150, 200)$: $9$; $[200, 250)$: $14$; $[250, 300)$: $8$; $[300, 350]$: $5$.

1. a) Calcule o consumo médio mensal usando as marcas de classe.

1. b) Indique o intervalo modal e o intervalo mediano, e estime a mediana supondo que os dados se distribuem uniformemente dentro do seu intervalo.

1. c) A companhia elétrica afirma que «a metade das residências consome menos de $225$ kWh». Isso é compatível com os dados? Justifique com sua estimativa da mediana.

Foi realizado um estudo sobre o gasto semanal em lazer dos estudantes de uma escola. Os dados são apresentados agrupados em intervalos de mesma amplitude na tabela a seguir, mas faltam as frequências absolutas de dois intervalos intermediários ($n_2$ e $n_3$):

Sabendo que o tamanho da amostra é $N = 60$ e que a média aritmética do gasto é $\bar{x} = 44$ reais, calcule os valores de $n_2$ e $n_3$. Uma vez completada a tabela, determine o valor exato da mediana por meio de interpolação linear.

A partir do seguinte diagrama de caixa (box-plot) que representa o tempo de reação (em milissegundos) de um grupo de pessoas diante de um estímulo visual:

1. a) Identifique os valores correspondentes ao mínimo, máximo, $Q_1$, $Q_2$ (mediana) e $Q_3$, sabendo que a escala é linear e as extremidades da caixa estão em $210$ e $290$.
2. b) Calcule a amplitude interquartil e interprete-a.
3. c) Pode-se afirmar que $50\%$ da população tem um tempo de reação superior à mediana? Justifique a resposta.

A figura mostra o diagrama de caixa e bigodes dos tempos de reação de um grupo de pilotos de simulador.

1. a) Leia no gráfico o mínimo, o máximo, os quartis e a mediana, e calcule a amplitude e a amplitude interquartil.

1. b) Entre quais dois valores se concentra o $50 \%$ central dos dados? Qual porcentagem de dados há abaixo de $Q_1$?

1. c) Diante da posição da mediana dentro da caixa e do comprimento dos bigodes, a distribuição parece simétrica ou assimétrica? Para qual lado?

Os tempos de espera (em minutos) de $15$ pacientes em um centro de saúde foram: $5, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 42$.

1. a) Calcule a mediana e o primeiro e terceiro quartis.

1. b) Desenhe o diagrama de caixa (box plot) correspondente, indicando os valores utilizados.

1. c) Aplique a regra de $1,5$ vezes a amplitude interquartil para decidir se há valores discrepantes (outliers), e interprete o que esse dado pode representar na realidade do centro de saúde.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dois jogadores de basquete, Alba e Bruno, marcaram as seguintes quantidades de pontos nos seus últimos 8 jogos:

• Alba: $18, 22, 15, 20, 25, 14, 19, 23$

• Bruno: $20, 21, 19, 22, 20, 20, 21, 17$

O diagrama de pontos a seguir mostra os dados de ambos os jogadores (cada ponto é um jogo):

1. a) Calcule a média e a amplitude dos pontos de cada jogador.
2. b) Calcule o desvio padrão de ambos.
3. c) Use o coeficiente de variação para determinar qual dos dois jogadores é mais regular nas suas pontuações. Justifique a sua resposta.

Deseja-se comparar a homogeneidade dos preços dos pratos do dia (menus diários) em duas regiões distintas de uma cidade. Os dados obtidos (em reais) são:

• Zona A: $12, 13, 12, 15, 14, 12, 16, 11$

• Zona B: $9, 10, 18, 15, 11, 14, 10, 21$

1. a) Calcule a média e o desvio padrão dos preços em cada zona.
2. b) Em qual zona os preços estão mais dispersos em termos absolutos (desvio padrão)?
3. c) Em qual zona os preços são mais heterogêneos em termos relativos? Utilize o coeficiente de variação para comparar ambas as distribuições.

Um nutricionista analisa o conteúdo de açúcar (em gramas por 100 ml) de duas marcas de refrigerantes "zero", A e B. Os resultados estão resumidos nos seguintes diagramas de caixa (box-plot). Leia os valores na escala do eixo horizontal.

Observando os gráficos:

1. a) Qual das duas marcas apresenta uma distribuição mais dispersa nos $50\%$ centrais dos seus dados? Justifique sua resposta calculando a amplitude interquartil de cada marca a partir da escala do gráfico.

1. b) Se a marca A apresenta uma média de $0,5$ g e a marca B uma média de $0,8$ g, e ambas têm desvios-padrão idênticos, qual das duas é mais "confiável" ou constante na sua produção? Utilize o parâmetro estatístico adequado para comparar ambas as marcas.

Em uma competição de tiro com arco, registram-se as pontuações de duas arqueiras, Elena e Sofia, após 40 lançamentos. Elena tem uma pontuação média de $8,2$ com um desvio padrão de $1,3$. Sofia apresenta as seguintes frequências acumuladas de suas pontuações: $25\%$ dos seus tiros foram de $7$ pontos ou menos, $50\%$ de $8$ pontos ou menos, e $75\%$ de $9$ pontos ou menos.

1. a) Supondo que as pontuações de Sofia seguem uma distribuição aproximadamente normal (na qual $\sigma \approx \frac{AIQ}{1,35}$), determine justificadamente qual das duas arqueiras é mais regular.
2. b) Se para ganhar um torneio é necessário que pelo menos $30\%$ dos lançamentos sejam de pontuação $10$, e sabemos que Elena obteve um $10$ em $12$ ocasiões, Elena cumpre o requisito? É possível saber se Sofia o cumpre com os dados dos seus quartis?

Um investidor analisa a rentabilidade diária de dois criptoativos durante um mês ($30$ dias). O ativo $X$ tem uma média de rentabilidade de $2\%$ e uma variância de $9\%$. O ativo $Y$ tem uma rentabilidade diária que pode ser resumida assim: $10$ dias perdeu $1\%$, $15$ dias ganhou $3\%$ e $5$ dias ganhou $5\%$.

1. a) Calcule a rentabilidade média e o desvio padrão do ativo $Y$.
2. b) Utilizando o coeficiente de variação, determine qual dos dois ativos é mais volátil (menos previsível).
3. c) Se o investidor decidir criar uma carteira combinada com $60\%$ do capital no ativo $X$ e $40\%$ no ativo $Y$, qual seria a rentabilidade média esperada da carteira?

Duas lojas do mesmo bairro registram suas vendas diárias (em reais) durante $40$ dias, agrupadas em intervalos:

• Loja A: $[500, 700)$: $6$ dias; $[700, 900)$: $14$ dias; $[900, 1.100)$: $12$ dias; $[1.100, 1.300)$: $8$ dias.

• Loja B: $[500, 700)$: $14$ dias; $[700, 900)$: $4$ dias; $[900, 1.100)$: $4$ dias; $[1.100, 1.300)$: $18$ dias.

1. a) Calcule, usando as marcas de classe, a média diária de vendas de cada loja.

1. b) Calcule o desvio padrão de cada distribuição (com marcas de classe) e seu coeficiente de variação.

1. c) Um investidor quer comprar uma das duas lojas e se preocupa com a estabilidade das receitas. Qual recomendaria a ele? Justifique com os parâmetros calculados.

Em uma pequena empresa, o salário médio dos 10 funcionários é de $1450$ reais mensais com um desvio padrão de $120$ reais. Devido aos bons resultados do ano, a direção decide aplicar um aumento linear a todos os trabalhadores consistente em uma parte fixa de $50$ reais e uma parte variável de $3\%$ sobre o salário-base atual ($y_i = 1,03 \cdot x_i + 50$).

1. a) Calcule qual será o novo salário médio do quadro de funcionários.
2. b) Calcule o novo desvio padrão.
3. c) O coeficiente de variação mudou? Justifique matematicamente como essas transformações afetam a dispersão relativa.

Em uma prestigiada academia de e-sports, a equipe de analistas estuda o tempo de reação (em milissegundos) de 50 jogadores profissionais. Ao revisar o relatório final, percebem que uma mancha de café apagou parte dos registros da tabela de frequências. Apenas os seguintes dados são conservados: a média aritmética da distribuição é $\bar{x} = 182$ ms, o desvio padrão é $\sigma = 12$ ms e sabe-se que o tempo de reação segue uma distribuição aproximadamente simétrica. Se for decidido adicionar um novo jogador cujo tempo de reação é de $160$ ms, justifique matematicamente como variará o coeficiente de variação da amostra original e determine o valor exato da nova variância após a incorporação desse dado.

Um serviço de aluguel de bicicletas urbanas revisa seus custos. O custo de manutenção mensal $C$ por bicicleta depende do número de quilômetros percorridos $x$ segundo a função linear $C(x) = 0,15x + 40$. No último mês, a quilometragem média de sua frota de 25 bicicletas foi de $1200$ km com uma variância de $14400$ km$^2$.

1. a) Calcule o custo médio mensal de manutenção e seu desvio padrão.
2. b) Devido a um aumento no preço das peças de reposição, a empresa decide aplicar um acréscimo fixo de $10$ reais extra a cada bicicleta e, além disso, o custo variável por quilômetro aumenta $20\%$. Qual será o novo coeficiente de variação dos custos de manutenção?

Dispõe-se de uma série de 10 dados numéricos cuja média é $\bar{x} = 15$ e cuja variância é $s^2 = 20$. Por um erro de transcrição, um dos dados que era $12$ foi anotado como $22$.

1. a) Calcule a média real do conjunto de dados após corrigir o erro.
2. b) Calcule o valor exato da variância real do conjunto. (Dica: Utilize a relação entre a variância e a soma dos quadrados dos dados, $\sum x_i^2$).