Simetria de uma função

Dada a função polinomial $f(x) = 3x^2 - 5$, calcule o valor de $f(-x)$. A partir do resultado, indique se a função apresenta simetria par, ímpar ou nenhuma.

Considere a função afim $f(x) = 2x + 1$. Verifique algebricamente se ela cumpre a condição de simetria par ($f(-x) = f(x)$) ou a de simetria ímpar ($f(-x) = -f(x)$).

O cabo de uma ponte pênsil adota a forma de uma parábola descrita pela equação $y = 0,05x^2 + 10$. Verifique algebricamente se essa função apresenta simetria par, ímpar ou nenhuma, e interprete o resultado geometricamente.

Dada a função $g(x) = -2x^3$, calcule a expressão de $g(-x)$. Que tipo de simetria essa função tem?

Sabendo que $f(x)$ é uma função ímpar e que está definida no ponto $x = 0$, qual deve ser obrigatoriamente o valor de $f(0)$? Demonstre usando a definição de função ímpar.

Observe os gráficos das funções representadas nos painéis A e B. Indique que tipo de simetria (par, ímpar ou nenhuma) cada uma delas apresenta, justificando sua resposta em função de sua forma visual.

Numa aula do 4.º ano do Ensino Secundário (ESO), o Mateo deve determinar se a função $f(x) = x^3 - 5x + 3$ é par, ímpar ou não tem simetria. O Mateo escreve no seu caderno o seguinte:

«Como o grau principal é 3 e os expoentes da variável $x$ são ímpares ($3$ e $1$), a função é ímpar. Para o verificar, calculo $f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) + 3 = -x^3 + 5x + 3$, que, ao ter sinais diferentes relativamente à fórmula original, demonstra que é ímpar».

1. a) Identifica e explica os dois erros concetuais que o Mateo cometeu (um ao julgar a função apenas pelos expoentes de $x$ esquecendo o termo independente, e outro ao interpretar o que significa mudar de sinal uma função).
2. b) Apoia-te no valor da função na origem, $f(0)$, para justificar de forma imediata por que razão esta função não pode ser ímpar.
3. c) Corrige o exercício realizando a verificação algébrica adequada para determinar a simetria real de $f(x)$.

Para descobrir se a função racional $f(x) = \frac{3x^2 - 6}{x^4 + 2}$ é par, ímpar ou não tem simetria, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• A Candela propõe o método numérico: «Calculo $f(2)$ e $f(-2)$. Se ambos os resultados coincidirem exatamente, fica demonstrado que a função é par $100\,\%$».

• O Hugo propõe o método analítico: «Calculo a expressão geral de $f(-x)$ substituindo formalmente $(-x)$ na variável, faço as operações e comparo com $f(x)$ e $-f(x)$».

1. a) Avalie a confiabilidade do método da Candela: calcule $f(2)$ e $f(-2)$ e explique por que verificar uma igualdade em um único par de números opostos não constitui uma demonstração matemática válida para todo o domínio.
2. b) Aplique o método do Hugo desenvolvendo com clareza cada passo algébrico e conclua com certeza que tipo de simetria $f(x)$ apresenta.
3. c) Em que circunstância concreta um método numérico como o da Candela seria conclusivo para resolver o problema da simetria? Justifique sua resposta.

Uma função $g$, cujo domínio é todo o $\mathbb{R}$, possui simetria ímpar e dela conhecemos apenas três dados: $g(3) = -12$, $g(-1) = 4$ e que o seu gráfico intersecta o eixo vertical no ponto $(0, k)$.

1. a) Deduza de forma fundamentada o valor numérico da constante $k$ e calcule os valores de $g(-3)$ e $g(1)$ aplicando a definição algébrica de função ímpar.
2. b) Escreva a expressão analítica de um polinômio de terceiro grau com simetria ímpar, da forma $p(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x$, que cumpra simultaneamente que $p(1) = -4$ e cujo coeficiente principal seja $a = 2$.
3. c) Verifique de forma algébrica que a fórmula que você obteve no item b cumpre rigorosamente a condição $p(-x) = -p(x)$ para qualquer valor de $x$.

O gráfico a seguir mostra a variação de temperatura $T$ em um experimento químico em função do tempo $t$, registrada a partir do instante $t = 0$. Se o modelo matemático $T(t)$ que rege este experimento é uma função par em todo o seu domínio real, qual será a temperatura no instante $t = -3$? Justifique sua resposta.

Uma estação do INMET no município de Uberaba registra a temperatura em um dia de inverno com alta pressão e sem vento. Tomando como instante de referência ($t = 0$) as $14{:}00\text{ h}$ (momento de radiação solar máxima), os meteorologistas modelam a temperatura $T$ (em graus Celsius) durante as horas diurnas centrais por meio da função:

$T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 8$, para $t \in [-4, 4]$

(onde $t$ indica as horas decorridas em relação às $14{:}00\text{ h}$; por exemplo, $t = -3$ corresponde às $11{:}00\text{ h}$ e $t = 3$ corresponde às $17{:}00\text{ h}$).

1. a) Demonstre algebricamente que simetria a função $T(t)$ apresenta no intervalo dado calculando $T(-t)$.
2. b) Interprete que significado físico essa simetria tem no contexto meteorológico real: que relação têm as temperaturas às $11{:}00\text{ h}$ e às $17{:}00\text{ h}$? E às $12{:}00\text{ h}$ em relação às $16{:}00\text{ h}$?
3. c) Se um relatório complementar propuser modelar a taxa de variação da temperatura por meio da função $v(t) = -1,0 \cdot t$, analise a sua simetria e interprete o que representa fisicamente o sinal de $v(t)$ antes das $14{:}00\text{ h}$ ($t < 0$) em comparação com depois das $14{:}00\text{ h}$ ($t > 0$).

Encontre o valor que o parâmetro $k$ deve assumir para que a função $f(x) = x^2 + kx + 5$ seja uma função par. Justifique sua resposta algebricamente.

Suponha que exista uma função $f(x)$ que seja simultaneamente par e ímpar em todo o seu domínio. Formule o sistema de equações que se deriva das definições de ambas as simetrias e resolva para encontrar qual é a única função que cumpre essa condição.

Verifique de forma algébrica o tipo de simetria que a função racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$ apresenta.

A potência gerada por um aerogerador é modelada pela função $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, em que $v$ representa a velocidade do vento. Estude analiticamente a simetria de $P(v)$. Se considerarmos velocidades de vento negativas como vento soprando na direção contrária, qual é o significado físico da simetria obtida em relação à potência gerada?

Um estudante afirma que a função $f(x) = \frac{1}{x-2}$ é ímpar porque o $x$ do denominador está elevado a um expoente ímpar (1). Essa afirmação está correta? Demonstre ou refute por meio de uma análise algébrica.

Dadas duas funções com domínio em todo o $\mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 4x$ (função ímpar) e $g(x) = x^2 + 3$ (função par), definem-se duas novas funções a partir delas: o seu produto $P(x) = f(x) \cdot g(x)$ e a sua soma $S(x) = f(x) + g(x)$.

1. a) Estime, de forma fundamentada, antes de efetuar cálculos de desenvolvimento algébrico, que tipo de simetria você esperaria que o produto $P(x)$ tivesse (pensando na regra dos sinais de fatores pares e ímpares) e que simetria esperaria que a soma $S(x)$ tivesse ao combinar termos de comportamento distinto diante do sinal oposto.
2. b) Verifique as suas estimativas calculando algebricamente as expressões desenvolvidas de $P(-x)$ e $S(-x)$, e classifique de forma rigorosa cada uma das duas funções em par, ímpar ou sem simetria.
3. c) Raciocine sobre a seguinte questão teórica: se somarmos qualquer função par não nula com qualquer função ímpar não nula, o resultado poderia alguma vez ser uma função par? Justifique a sua resposta utilizando a igualdade matemática que define as funções pares.

Uma equipe de design industrial modela o perfil curvo de uma peça por meio de uma função polinomial de terceiro grau: $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$.

Para se integrar ao mecanismo, a peça deve cumprir três condições técnicas:

1. O seu gráfico deve ser estritamente simétrico em relação à origem das coordenadas $(0,0)$.

2. A curva deve interceptar o eixo horizontal no ponto $(3, 0)$.

3. No ponto de abscissa $x = 1$, a função deve assumir o valor $y = -8$.

1. a) Deduza de forma fundamentada os valores obrigatórios dos coeficientes $b$ e $d$ sem formular sistemas de equações, baseando-se exclusivamente na definição analítica e geométrica de simetria ímpar.
2. b) Formule o sistema de equações lineares correspondente às condições 2 e 3, resolva-o e escreva a fórmula analítica definitiva da função $f(x)$.
3. c) Demonstre que, para qualquer função ímpar $f$ e para qualquer ponto $x_0 \neq 0$ do seu domínio, a reta secante que une o ponto $A(x_0, f(x_0))$ ao seu simétrico $B(-x_0, f(-x_0))$ passa necessariamente pela origem das coordenadas $(0,0)$.