Operações com intervalos
Uma escola organiza um torneio de xadrez para alunos de 14 a 18 anos, e um clube da cidade promove outro, para jovens de 16 a 21 anos. Quem pode jogar nos dois? E quem pode jogar em pelo menos um? Para responder, vamos operar com intervalos, do mesmo jeito que se opera com conjuntos.
Interseção de intervalos
Um intervalo é um conjunto de números reais. Por isso, podemos fazer com ele o que fazemos com qualquer conjunto. A interseção $A \cap B$ reúne os números que pertencem a $A$ e a $B$ ao mesmo tempo.
A forma mais segura de achar a interseção é desenhar uma reta para cada conjunto, uma embaixo da outra, alinhadas. A interseção é a parte em que as duas retas estão pintadas ao mesmo tempo.
Dados os intervalos $A = [1; 6]$ e $B = [4; 10]$, determine: a) $A \cap B$ b) $A \cup B$
Dados os intervalos $A = [1; 6]$ e $B = [4; 10]$, determine:
- a) $A \cap B$
- b) $A \cup B$
União de intervalos
A união $A \cup B$ reúne os números que pertencem a $A$ ou a $B$ (ou aos dois). Na reta, é tudo o que está pintado em pelo menos uma das duas retas.
No exemplo anterior, $A = [1; 6]$ e $B = [4; 10]$ se sobrepõem. Juntos, cobrem de $1$ até $10$ sem interrupção, então $A \cup B = [1; 10]$.
Quando os intervalos não se encostam, a união não é um único intervalo. Por exemplo, $[1; 3] \cup [5; 8]$ continua sendo escrita assim, com duas partes.
Inequações do 1º grau e intervalos
O conjunto solução $S$ de uma inequação do 1º grau é, em geral, um intervalo. Resolvemos como uma equação, com um cuidado: ao multiplicar ou dividir os dois lados por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte.
Por quê? Pense em $2 < 5$. Multiplicando por $-1$, os números ficam $-2$ e $-5$, e $-2 > -5$. A ordem se inverte.
Resolva cada desigualdade em $\mathbb{R}$ e expresse o conjunto solução como um intervalo: a) $2x - 4 \geq 6$ b) $5 - 3x < 14$
Resolva cada desigualdade em $\mathbb{R}$ e expresse o conjunto solução como um intervalo:
- a) $2x - 4 \geq 6$
- b) $5 - 3x < 14$
Aplicando: idades no torneio
Agora podemos voltar ao começo. O torneio escolar aceita alunos de $14$ a $18$ anos, inclusive, e o clube aceita de $16$ a $21$ anos, inclusive.
Vamos fechar o gancho: quem tem de $16$ a $18$ anos pode jogar nos dois torneios, e quem tem de $14$ a $21$ anos pode jogar em pelo menos um.
Para participar de um torneio escolar de xadrez, a idade do aluno deve estar entre $14$ e $18$ anos (inclusive). Para a categoria juvenil de um clube da cidade, a idade…
Para participar de um torneio escolar de xadrez, a idade do aluno deve estar entre $14$ e $18$ anos (inclusive). Para a categoria juvenil de um clube da cidade, a idade deve estar entre $16$ e $21$ anos (inclusive).
- a) Escreva os dois intervalos de idade usando a notação de intervalo.
- b) Quais idades permitem participar das duas competições ao mesmo tempo? Escreva a resposta como intervalo.
- c) Quais idades permitem participar de pelo menos uma das duas? Escreva a resposta como intervalo.
Resumo
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A interseção $A \cap B$ contém os números que estão em $A$ e em $B$; a união $A \cup B$ contém os que estão em $A$ ou em $B$.
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Para operar, desenhe uma reta para cada intervalo, alinhadas, e observe onde estão pintadas.
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Um extremo só entra na interseção se estiver nos dois intervalos; intervalos sem pontos em comum têm interseção $\varnothing$.
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Ao resolver uma inequação do 1º grau, inverta o sinal quando multiplicar ou dividir por um número negativo.
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Escreva o conjunto solução como intervalo; $\pm\infty$ sempre com parêntese.