Potências de expoente racional. Radicais

No estudo de microorganismos, o tamanho de certas estruturas pode ser expresso mediante potências e raízes. Transforme os seguintes radicais em potências de expoente fracionário e vice-versa:

1. a) $\sqrt[5]{x^2}$

1. b) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$

1. c) $7^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{-\frac{1}{2}}$

Simplifique os seguintes radicais dividindo o índice e o expoente do radicando pelo máximo divisor comum entre ambos:

1. a) $\sqrt[12]{x^8}$

1. b) $\sqrt[9]{27}$

1. c) $\sqrt[10]{a^{15}}$

1. d) $\sqrt[6]{125}$

O Marcos precisa calcular o valor numérico da potência $16^{-3/4}$ para um exercício da aula. No caderno dele, escreve os seguintes passos:

Passo 1: $16^{-3/4} = -16^{3/4}$

Passo 2: $-16^{3/4} = -(\sqrt[4]{16})^3$

Passo 3: $-(\sqrt[4]{16})^3 = -(2)^3 = -8$

1. a) Indique de forma fundamentada em que passo o Marcos comete o primeiro erro e explique que falha conceitual ele tem sobre o significado do sinal de menos no expoente.
2. b) Corrija o exercício passo a passo: transforme a potência com expoente negativo na expressão equivalente com expoente positivo, escreva-a na forma de radical e calcule o valor exato na forma de fração irredutível.
3. c) A partir do seu resultado, explique que significado concreto têm tanto o denominador 4 como o numerador 3 da potência inicial aplicada sobre o número 16.

Expresse as seguintes potências de expoente racional na forma de radical e simplifique o resultado extraindo todos os fatores possíveis:

1. a) $27^{\frac{2}{3}}$

1. b) $125^{-\frac{1}{3}}$

1. c) $\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{1,5}$

Queremos analisar o comportamento numérico das potências $A = 75^{0,5}$ e $B = 75^{-0,5}$.

1. a) Sem utilizar a calculadora, estime entre quais dois números inteiros consecutivos se encontra o valor de $A = 75^{0,5}$, justificando o seu raciocínio a partir dos quadrados perfeitos mais próximos.
2. b) Sem calcular decimais, fundamente entre quais dois números inteiros se situa $B = 75^{-0,5}$ e explique a qual fração simples da forma $1/k$ (com $k$ inteiro) se aproxima o seu valor. Pode uma potência de base positiva ter como resultado um número negativo? Justifique a sua resposta.
3. c) Expresse tanto $A$ como $B$ sob a forma de radical simplificado (extraindo fatores em $A$ e racionalizando o denominador em $B$). Sabendo que $\sqrt{3} \approx 1,73$, verifique numericamente se as suas estimativas dos itens a) e b) foram coerentes.

Para otimizar o espaço em um design gráfico, um programador precisa extrair fatores dos radicais sempre que possível. Realize a extração nas seguintes expressões:

1. a) $\sqrt{50}$

1. b) $\sqrt[3]{16x^5}$

1. c) $\sqrt{a^3 b^4 c}$

1. d) $\sqrt[4]{32}$

Em algumas fórmulas financeiras, é preferível ter todos os elementos sob um mesmo sinal radical. Introduza os fatores dentro da raiz e simplifique o resultado:

1. a) $3\sqrt{2}$

1. b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

1. c) $\frac{2}{3}\sqrt{5}$

1. d) $a \sqrt[4]{a^3}$

Um designer de interiores projetou um tapete quadrado para um escritório de advocacia de São Paulo. A área total do tapete é de $18 \text{ m}^2$.

1. a) Expresse a medida do lado do quadrado de forma exata por meio de um radical.
2. b) Simplifique o radical extraindo fatores.

Um arquiteto está calculando os perímetros de uma estrutura metálica composta por vários perfis. Some e simplifique os seguintes radicais semelhantes para obter o comprimento total:

$2\sqrt{27} - 5\sqrt{3} + \sqrt{12}$

Realize as seguintes operações de produto e divisão de radicais que têm o mesmo índice, simplificando o resultado final:

1. a) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

1. b) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

1. c) $\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}$

1. d) $(\sqrt[4]{a})^2$

Efetue as operações e simplifique a seguinte expressão, deixando o resultado como um único radical de índice mínimo:

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^5}}$$

Um escritório de arquitetura está projetando um jardim triangular. Os comprimentos dos três caminhos que delimitam o jardim são dados pelas seguintes expressões em metros:

• Caminho A: $3\sqrt{20}$

• Caminho B: $\sqrt{125}$

• Caminho C: $2\sqrt{45}$

Calcule o perímetro total do jardim simplificando a expressão ao máximo.

Simplifique a seguinte expressão reduzindo a um único radical e extraindo fatores se necessário:

$$\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt{x}}}$$

O volume de um contêiner cúbico utilizado para o transporte de mercadorias tecnológicas é de $V = 16\sqrt{2}$ metros cúbicos.

1. a) Expresse a aresta do cubo como uma potência de base 2.
2. b) Calcule o comprimento exato da aresta na forma de radical simplificado.

Resolva a seguinte operação combinada com radicais, expressando o resultado da forma mais simples possível:

$$\left( \sqrt{12} - \sqrt{3} \right) \cdot \sqrt[3]{9}$$

Ajuda: Expresse primeiro todos os termos como potências de base 3.

Em um exame de acesso, pede-se aos alunos que determinem qual das duas peças de metal a seguir tem a maior área. A peça A é um quadrado de lado $L_A = \sqrt[3]{4}$ cm e a peça B é um quadrado de lado $L_B = \sqrt[4]{6}$ cm.

Calcule a área de cada peça e compare-as reduzindo os radicais a um índice comum.

Um professor propõe aos seus alunos reconstruir uma expressão radical original $\sqrt[n]{M}$, onde $n$ é um número natural ($n \ge 2$) e $M = c \cdot x^p \cdot y^q$ é um monômio com $c, p, q \in \mathbb{N}$, a partir do resultado que obtiveram ao simplificá-la.

O referido resultado simplificado, expresso como produto de potências com expoente racional irredutível, é:

$$2 \cdot x^{5/6} \cdot y^{4/3}$$

1. a) Deduza o menor índice comum $n$ necessário para escrever todo o produto sob um único radical da forma $\sqrt[n]{M}$, de modo que no radicando $M$ não apareça nenhuma potência fracionária.
2. b) Determine a expressão explícita do radicando $M = c \cdot x^p \cdot y^q$ (calculando o valor inteiro do coeficiente $c$ e os expoentes $p$ e $q$).
3. c) A partir do radical único $\sqrt[n]{M}$ obtido, realize o processo padrão de extração de fatores e verifique que se recupera a expressão simplificada. Indique com clareza quantos fatores de $y$ saem para fora da raiz e quantos permanecem dentro.

Simplifique a seguinte expressão algébrica efetuando as operações com os radicais e extraindo todos os fatores possíveis. Expresse o resultado final utilizando um único radical:

$\displaystyle \frac{\sqrt{x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot y}}}{\sqrt[6]{x \cdot y^5}} \cdot \left( \frac{x}{y^2} \right)^{-1/2}$

No projeto de uma nova peça de microeletrônica, a resistência de um componente é dada pela expressão:

$\displaystyle R = \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3}$

Transforme os radicais em potências de base 3 para encontrar o valor de $R$ como uma única potência de expoente fracionário. Posteriormente, indique entre quais dois números inteiros consecutivos se encontra esse valor.

Encontre o valor de $x$ para que a seguinte igualdade seja verdadeira, simplificando previamente todos os radicais:

$\displaystyle \sqrt{125x} - 2\sqrt{45x} + \sqrt{500x} = 18\sqrt{5}$

Um arquiteto projeta uma janela com forma de triângulo retângulo. Sabe-se que a hipotenusa mede $\sqrt[4]{1024}$ metros e um dos catetos mede $\sqrt{2}$ metros.

1. a) Calcule a medida exata do outro cateto na forma de radical simplificado.
2. b) Calcule a área da janela. A área é um número racional ou irracional? Justifique sua resposta.

Simplifique a seguinte expressão combinada, deixando o resultado na sua forma mais simplificada:

$\displaystyle \frac{\left( \sqrt[3]{a^2 \cdot b} \right)^2 \cdot \sqrt{a \cdot b^3}}{\sqrt[6]{a^5 \cdot b}}$

Deseja-se construir um reservatório cúbico de água cuja diagonal interna meça exatamente $\sqrt{108}$ metros.

1. a) Demonstre que a aresta do reservatório é um número racional.
2. b) Se o custo de impermeabilizar as paredes internas (as 4 faces laterais e o fundo) é de $150 \cdot \sqrt{3}$ reais por metro quadrado, calcule o custo total exato da obra.

Para simplificar a seguinte expressão com variáveis reais positivas:

$$E = \frac{\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2}}}{\sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt{x}}}$$

dois estudantes do 1º ano do Ensino Médio propõem dois métodos de resolução distintos:

• Método A (Radicais e mínimo múltiplo comum dos índices): Introduzir fatores dentro dos radicais sucessivos encadeados, multiplicar os índices das raízes consecutivas, encontrar o mínimo múltiplo comum dos índices do numerador e do denominador para unificar em um só radical e simplificar a fração resultante.

• Método B (Expoentes racionais): Converter imediatamente cada raiz em potência de expoente fracionário, aplicar as propriedades do produto e do quociente de potências com a mesma base somando e subtraindo frações, e finalmente expressar o resultado como um radical simplificado.

1. a) Resolva a simplificação de $E$ passo a passo seguindo o Método A, explicitando cada transformação sobre os radicais.
2. b) Resolva a simplificação de $E$ passo a passo seguindo o Método B, mostrando detalhadamente as operações aritméticas com os expoentes racionais.
3. c) Compare criticamente ambos os métodos: fundamente qual dos dois se revela mais vantajoso e seguro quando a expressão algébrica contém várias bases distintas com expoentes negativos, como por exemplo em expressões do tipo $\left(x^2 \cdot y^{-3}\right)^{-1/4}$.

Racionalize as seguintes expressões para eliminar os radicais do denominador, simplificando o resultado quando possível:

1. a) $\frac{5}{\sqrt{3}}$

1. b) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

1. c) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

1. d) $\frac{x}{\sqrt{x}}$

Racionalize e simplifique as seguintes expressões para que não contenham raízes no denominador:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[3]{5^2}}$

1. b) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

1. c) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Calcule o valor exato da área total de um octaedro regular (formado por duas pirâmides quadrangulares unidas pela base) cuja aresta mede $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ cm. Deixe o resultado simplificado com radicais, sem utilizar aproximações decimais.

(Dica: A área de um triângulo equilátero de lado $a$ é $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$)

Racionalize e simplifique ao máximo a seguinte expressão. Certifique-se de que o denominador final seja um número inteiro:

$\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$

Segundo dados sobre o mercado imobiliário baseados no IPC (IBGE), o preço médio do metro quadrado de aluguel em uma determinada cidade brasileira acumulou um aumento de $33,1\,\%$ ao longo de um período de 3 anos consecutivos.

1. a) Modele a evolução do preço considerando um fator de crescimento anual constante $k = (1 + r)$, onde $r$ é a taxa anual na forma decimal. Escreva a relação entre o preço inicial $P_0$ e o preço final $P_3$, e isole $k$ expressando-o na forma de radical e como potência de expoente fracionário.
2. b) Sabendo que $1,331 = 1,1^3$, calcule o valor exato da taxa de variação anual $r$ e expresse-a em porcentagem.
3. c) Um representante dos moradores afirma na imprensa que o aluguel subiu «$11,03\,\%$ a cada ano», uma vez que dividiu $33,1\,\%$ por 3. Demonstre, utilizando potências, por que esse raciocínio é errado e justifique se a divisão simples superestima ou subestima a taxa anual real.
4. d) Se um contrato de aluguel aumentar nesse mesmo ritmo constante de $10\,\%$ ao ano ($k = 1,1$), por qual fator terá sido multiplicado o preço ao fim de um ano e meio ($t = 1,5$ anos)? Expresse esse fator como potência racional, transforme-o em radical simplificado e justifique se o aumento aos 18 meses é superior, inferior ou igual a $15\,\%$.

Em economia da empresa, a função de produção de Cobb-Douglas permite modelar a quantidade de produto $Y$ que uma empresa gera a partir das unidades de capital investido ($K$) e das horas de trabalho empregadas ($L$). Para uma empresa de transporte e logística, o modelo responde a:

$$Y = 4 \cdot K^{0,75} \cdot L^{0,25} \quad (K > 0, \; L > 0)$$

1. a) Expresse a função $Y$ utilizando um único radical com o menor índice natural possível, agrupando as variáveis $K$ e $L$ no seu radicando.
2. b) Uma função apresenta «retornos constantes de escala» se, ao multiplicar simultaneamente todos os fatores de produção por um fator $\lambda > 0$, a produção final for multiplicada exatamente por esse mesmo fator $\lambda$ (isto é, $Y(\lambda K, \lambda L) = \lambda \cdot Y(K, L)$). Utilize as propriedades algébricas das potências de expoente racional para demonstrar rigorosamente se esta empresa apresenta ou não retornos constantes de escala quando dobra os seus recursos ($\lambda = 2$).
3. c) Durante um trimestre, a empresa emprega $K = 16$ unidades de capital e $L = 81$ horas de trabalho. Calcule a produção exata $Y$ sem usar a calculadora, mostrando a decomposição das bases em fatores primos e o cálculo com os expoentes racionais.
4. d) Se a diretoria da empresa decidir quadruplicar unicamente o investimento em capital ($4K$) mantendo constante o trabalho $L$, por qual fator é multiplicada a produção total $Y$? Expresse-o na forma de potência de base 2 e na forma de radical simplificado, e justifique por que esse aumento não chega a quadruplicar a produção final.