Funções potência

Identifique quais das seguintes expressões algébricas correspondem a uma função potência:

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Escreva a expressão algébrica da função que associa a cada número real positivo a sua raiz cúbica, expressando-a na forma de potência com expoente fracionário.

Dada a função potência $f(x) = 2x^4$, calcule o valor de suas imagens para $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Determine o valor do coeficiente $k$ da função potência $f(x) = k \cdot x^3$ sabendo que seu gráfico passa pelo ponto de coordenadas $(2, 40)$.

Sabendo que o gráfico de uma função potência da forma $f(x) = x^n$ passa pelo ponto $(3, 81)$, encontre o valor do expoente $n$.

Uma função potência é dada pela expressão $f(x) = a \cdot x^n$. Determine os valores exatos do coeficiente $a$ e do expoente $n$ sabendo que o gráfico passa pelos pontos $(1, 5)$ e $(2, 40)$.

Uma função potência da forma $f(x) = a \cdot x^n$ passa pelos pontos $A(2, 6)$ e $B(6, 54)$. Para determinar os valores exatos dos parâmetros $a$ e $n$, dois colegas de turma propõem caminhos distintos:\n- Método do Lucas (Quociente direto): Propõe o sistema $\begin{cases} 6 = a \cdot 2^n \\ 54 = a \cdot 6^n \end{cases}$, divide a segunda equação pela primeira para cancelar o coeficiente $a$ e agrupa as potências com a mesma base: $\frac{54}{6} = \left(\frac{6}{2}\right)^n \implies 9 = 3^n$.\n- Método da Júlia (Linearização logarítmica): Aplica logaritmos decimais a ambos os membros de cada equação para transformar o sistema em um sistema linear de duas equações com duas incógnitas, $\log(a)$ e $n$, resolvendo-o em seguida por redução.\na) Complete os passos do método do Lucas e calcule os valores de $n$ e de $a$.\nb) Compare ambos os procedimentos e justifique qual dos dois é mais eficiente neste caso particular.\nc) Explique que característica teriam de ter as coordenadas dos pontos para que o método do Lucas não pudesse ser resolvido de forma imediata, a olho nu, e estivesse justificado recorrer ao método da Júlia.

Indique o domínio e as equações das assíntotas verticais e horizontais da função potência $f(x) = x^{-2}$.

Escreva a expressão algébrica de uma função potência da forma $f(x) = a \cdot x^n$ que cumpra simultaneamente as seguintes condições:\na) O seu expoente $n$ é um número inteiro negativo e o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo $Y$ (função par, onde $f(-x) = f(x)$).\nb) Possui uma assíntota vertical em $x = 0$ e uma assíntota horizontal em $y = 0$.\nc) O seu gráfico passa pelo ponto $P(2; 0,75)$.\nJustifique a escolha do valor de $n$ mais simples possível que verifique as condições e calcule detalhadamente o valor do coeficiente $a$, expressando-o sob a forma de fração irredutível ou número decimal.

Dada a função $f(x) = -3x^{-3}$, determine seu domínio de definição, seu conjunto imagem e estude analiticamente se apresenta algum tipo de simetria (par ou ímpar).

Indique qual é o domínio e determine o tipo de simetria (par, ímpar ou nenhuma) da função potência $f(x) = x^6$.

A Maria Eduarda está analisando as propriedades de duas funções potência, $f(x) = 3 \cdot x^{-2}$ e $g(x) = 2 \cdot x^{1/4}$, e escreve no caderno:\n1. «Como $f(0) = 3 \cdot 0^{-2} = 0$, o gráfico de $f$ intersecta o eixo $Y$ na origem $(0, 0)$».\n2. «Para a função $g$, como a raiz quarta de $16$ é $2$, se introduzirmos um valor negativo obtém-se $g(-16) = 2 \cdot (-16)^{1/4} = 2 \cdot (-2) = -4$, de modo que o seu domínio abrange todos os números reais».\nIdentifique, com fundamentação, o erro conceitual cometido em cada uma das duas afirmações, explique por que o cálculo dela está incorreto e indique qual é o domínio real correto de cada uma dessas funções.

Dada a função potência com expoente fracionário $f(x) = x^{2/3}$:

• Determine o seu domínio de definição.

• Calcule os valores exatos de $f(8)$ e $f(-8)$.

• Analise algebricamente se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Determine analiticamente os pontos de interseção entre os gráficos das funções potência $f(x) = x^2$ e $g(x) = x^4$.

Observe o seguinte gráfico que mostra duas funções potência no primeiro quadrante.

Sabendo que as expressões analíticas correspondem a $y = x^2$ e $y = x^3$, identifique qual é $f(x)$ e qual é $g(x)$. A partir do gráfico e das expressões, determine em qual intervalo estritamente positivo a função cúbica assume valores menores do que a quadrática.

O gráfico a seguir mostra três funções potência cujas expressões são $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ e $y = x^{1/2}$.

Associe cada curva (A, B e C) à sua expressão analítica correspondente, justificando sua resposta com base no domínio, na paridade e no comportamento assintótico de cada uma.

Determine analiticamente os pontos de interseção entre a função cúbica $f(x) = 8x^3$ e a função de proporcionalidade inversa $g(x) = x^{-1}$.

Expresse por meio de uma função potência a área $A$ de um círculo em função do seu raio $r$. Qual é o grau dessa função potência?

A intensidade da luz $I$ que um objeto recebe é inversamente proporcional ao quadrado da distância $d$ até a fonte luminosa, o que é modelado por meio da função potência $I(d) = k \cdot d^{-2}$. Se a uma distância de $2$ metros a intensidade é de $100$ lux, determine a expressão completa da função e calcule a intensidade que o objeto receberá a $5$ metros de distância.

A energia cinética de um corpo em movimento é dada pela fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Se a massa de um veículo é de $1200$ kg, expresse sua energia cinética como uma função potência dependente de sua velocidade $v$ (em m/s) e calcule a energia que possui quando circula a $20$ m/s.

O raio $r$ (em cm) de uma mancha circular de óleo que se espalha pela água cresce com o tempo $t$ (em minutos) segundo a função potência $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Calcule o raio da mancha aos $0,25$ minutos e descubra quanto tempo deve passar para que o raio da mancha seja exatamente de $4$ cm.

O volume de uma esfera em função do seu raio é calculado por meio da fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Isole o raio $r$ para expressá-lo como uma função potência dependente do volume $V$. Utilize essa nova função para calcular o raio aproximado de uma esfera que tem um volume de $1000$ cm$^3$ (considere $\pi \approx 3,14$).

Num parque eólico do Ceará, a potência elétrica $P$ (em quilowatts, kW) produzida por um aerogerador é modelada pela função potência $P(v) = k \cdot v^3$, em que $v$ representa a velocidade do vento (em m/s). Os dados de telemetria indicam que, com uma velocidade de vento de $5\text{ m/s}$, a potência gerada é de $50\text{ kW}$.\na) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, faça uma estimativa fundamentada: se a velocidade do vento dobrar para $10\text{ m/s}$, a potência dobrará ($100\text{ kW}$), quadruplicará ($200\text{ kW}$) ou aumentará ainda mais? Justifique a sua conjectura a partir das propriedades do expoente cúbico.\nb) Encontre o valor exato da constante $k$ a partir do dado inicial.\nc) Calcule analiticamente a potência $P(10)$ e verifique se a sua estimativa estava correta, calculando a razão exata entre $P(10)$ e $P(5)$.

A taxa metabólica basal $T$ (em kcal/dia) dos mamíferos é modelada em função de sua massa corporal $M$ (em kg) por meio da função potência de Kleiber: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calcule a taxa metabólica basal de um cão de $16$ kg. Em seguida, determine a massa aproximada de um animal cuja taxa metabólica é de $7000$ kcal/dia.

A terceira lei de Kepler estabelece que o quadrado do período orbital $T$ de um planeta é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol $R$, ou seja, $T^2 = k \cdot R^3$. Se para a Terra vale que $T = 1$ ano e $R = 1$ UA (Unidade Astronômica), expresse o período $T$ como uma função potência dependente de $R$. Utilize essa função para calcular o período orbital de Júpiter, sabendo que sua distância média ao Sol é de $5,2$ UA.

A força de resistência aerodinâmica que um ciclista experimenta é proporcional ao quadrado de sua velocidade, o que se expressa como $F(v) = k \cdot v^2$. A uma velocidade de $10$ m/s, a força medida é de $30$ N. Demonstre analiticamente por qual fator exato a força de resistência é multiplicada se o ciclista dobrar sua velocidade (passando de uma velocidade genérica $v_0$ para $2v_0$) e calcule a nova força quando ele anda a $20$ m/s.

Determine a expressão analítica da função potência $f(x) = a \cdot x^n$ sabendo que seu gráfico passa pelos pontos $(2, 2)$ e $(8, 16)$. Expresse o expoente $n$ na forma de fração irredutível.

O custo de produção de um componente eletrônico diminui à medida que aumenta o número de unidades fabricadas, segundo a função potência $C(x) = 5000 \cdot x^{-1/2}$, onde $x$ é a quantidade de componentes e $C(x)$ é o custo unitário em reais. Calcule o custo unitário de produzir $100$ componentes e determine quantos componentes devem ser fabricados no total para que o custo unitário seja reduzido a $25$ reais.

Segundo estudos técnicos da Dirección General de Tráfico (DGT), a distância de frenagem $d$ (em metros) de um veículo de passeio em asfalto seco até parar completamente é modelada por uma função potência $d(v) = a \cdot v^n$, em que $v$ é a velocidade de circulação (em km/h). Nos testes de homologação, observa-se que a $40\text{ km/h}$ a distância de frenagem é de $8\text{ metros}$, enquanto a $80\text{ km/h}$ sobe para $32\text{ metros}$.\na) Determine analiticamente a expressão da função, deduzindo o expoente inteiro $n$ e a constante $a$.\nb) Na Espanha, a velocidade máxima em travessias urbanas de uma única faixa por sentido foi reduzida de $50\text{ km/h}$ para $30\text{ km/h}$. Calcule a distância de frenagem associada a cada velocidade e determine a porcentagem exata de redução que essa medida representa.\nc) Um motorista afirma: «Se eu dirigir a $140\text{ km/h}$ numa rodovia em vez do limite de $120\text{ km/h}$, como só vou $16,7\,\%$ mais rápido, a minha distância de frenagem aumentará apenas essa mesma porcentagem». Refute matematicamente o argumento dele a partir do comportamento da função potência e calcule o aumento percentual real da distância de frenagem.

Pretende-se conceber a fórmula de uma função potência $f(x) = a \cdot x^n$ que modele a concentração residual de uma substância e que satisfaça simultaneamente quatro condições matemáticas:

1. O seu domínio não inclui valores negativos nem o zero, estando restrito de forma natural a $(0, +\infty)$.

2. Apresenta como assíntotas os eixos cartesianos: uma assíntota vertical em $x = 0$ e uma assíntota horizontal em $y = 0$.

3. Se multiplicarmos o valor da variável independente por $9$, o valor devolvido pela função se reduz exatamente a um terço; isto é, $f(9x) = \frac{1}{3} \cdot f(x)$ para todo $x > 0$.

4. O gráfico passa pelo ponto $P(4; 2,5)$.

1. a) A partir das condições 1 e 2, deduza de forma fundamentada se o expoente $n$ deve ser positivo ou negativo, e por que razão deve ser uma fração com denominador par.

1. b) Aplique a condição 3 para determinar o valor exato do expoente $n$.

1. c) Determine o valor da constante $a$ usando as coordenadas do ponto $P$ e escreva a função final tanto na forma de potência quanto na forma de radical.