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1ª série · Matemática
Conjuntos e intervalos · Conjuntos numéricos

Operações com conjuntos

Numa turma de 35 alunos, 20 jogam futebol e 15 jogam vôlei. Será que 20 + 15 = 35 alunos praticam algum esporte? Para responder, você precisa saber contar sem repetir ninguém, e é isso que a linguagem dos conjuntos permite fazer.

Conjuntos, pertinência e inclusão

Um conjunto é uma coleção de objetos bem definida. Cada objeto é um elemento. Usamos letras maiúsculas para os conjuntos e chaves para listar os elementos.

Há duas maneiras de descrever um conjunto:

  • Por extensão: listamos os elementos. Exemplo: $A = \{2, 4, 6, 8\}$.

  • Por compreensão: damos a propriedade que os elementos cumprem. Exemplo: $A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ é par e } 0 < x < 10\}$. Lê-se: "$x$ pertencente aos naturais tal que $x$ é par e maior que 0 e menor que 10".

Note: a pertinência liga elemento e conjunto ($3 \in A$); a inclusão liga conjunto e conjunto ($\{3\} \subset A$).

Diagrama com o conjunto A contido no conjunto B e elementos dentro de cada um B A 2 4 7
Pratica★☆☆
Considere $A = \{$divisores naturais de $12\}$ e $B = \{$divisores naturais de $18\}$. a) Escreva os conjuntos $A$ e $B$ por extensão. b) Determine $A \cap B$. c) Qual é…

Considere $A = \{$divisores naturais de $12\}$ e $B = \{$divisores naturais de $18\}$.

  1. a) Escreva os conjuntos $A$ e $B$ por extensão.
  2. b) Determine $A \cap B$.
  3. c) Qual é o maior elemento de $A \cap B$? Como esse número é chamado em relação a $12$ e $18$?
Resolver

União, interseção, diferença e complementar

Observe os conjuntos $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6, 7\}$.

Diagrama de Venn de A e B com os elementos 1, 2, 3 só em A, 4 e 5 na interseção e 6 e 7 só em B A B 1 23 45 67

Lendo o diagrama:

  • $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

  • $A \cap B = \{4, 5\}$

  • $A - B = \{1, 2, 3\}$ e $B - A = \{6, 7\}$

Cuidado: $A - B$ e $B - A$ não são iguais. A ordem importa.

Pratica★☆☆
Dados os conjuntos $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6, 7\}$, determine: a) $A \cup B$ b) $A \cap B$ c) $A - B$

Dados os conjuntos $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6, 7\}$, determine:

  1. a) $A \cup B$
  2. b) $A \cap B$
  3. c) $A - B$
Resolver
Pratica★★☆
Considere os conjuntos $A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ é múltiplo de } 4 \text{ e } x < 25\}$ e…

Considere os conjuntos $A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ é múltiplo de } 4 \text{ e } x < 25\}$ e $B = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ é múltiplo de } 6 \text{ e } x < 25\}$.

  1. a) Escreva $A$ e $B$ por extensão.
  2. b) Determine $A \cap B$. Que propriedade têm os elementos dessa interseção em relação a $4$ e $6$?
  3. c) Determine $A \cup B$.
Resolver

Contando elementos com diagramas de Venn

Voltemos ao gancho. Sejam $F$ os alunos de futebol e $V$ os de vôlei. Se somarmos $n(F) + n(V)$, os alunos que praticam os dois são contados duas vezes. Por isso:

A dica prática: comece sempre pela interseção e vá preenchendo as regiões de dentro para fora.

Diagrama de Venn com 12 só em futebol, 8 nos dois, 7 só em vôlei e 8 fora dos círculos Futebol Vôlei 1287 8
Pratica★★☆
Em uma turma da 1ª série do Ensino Médio com $35$ alunos, $20$ praticam futebol, $15$ praticam vôlei e $8$ praticam os dois esportes. Imagine o diagrama de Venn com dois…

Em uma turma da 1ª série do Ensino Médio com $35$ alunos, $20$ praticam futebol, $15$ praticam vôlei e $8$ praticam os dois esportes. Imagine o diagrama de Venn com dois círculos: um para o futebol ($F$) e outro para o vôlei ($V$), com $8$ elementos na região comum.

  1. a) Quantos alunos praticam apenas futebol?
  2. b) Quantos alunos praticam apenas vôlei?
  3. c) Quantos alunos da turma não praticam nenhum desses dois esportes?
Resolver

Três conjuntos

Com três conjuntos, o método é o mesmo: preencha de dentro para fora. Primeiro a região dos três, depois as interseções de dois (descontando a região central) e por fim as partes só de um conjunto.

Pratica★★★
Uma escola fez uma pesquisa com $60$ alunos sobre o uso de aplicativos: $32$ usam aplicativos de vídeo, $28$ usam aplicativos de música e $20$ usam aplicativos de jogos.…

Uma escola fez uma pesquisa com $60$ alunos sobre o uso de aplicativos: $32$ usam aplicativos de vídeo, $28$ usam aplicativos de música e $20$ usam aplicativos de jogos. Sabe-se ainda que $12$ usam vídeo e música, $10$ usam música e jogos, $8$ usam vídeo e jogos e $5$ usam os três tipos.

  1. a) Quantos alunos usam apenas aplicativos de vídeo?
  2. b) Quantos alunos usam pelo menos um dos três tipos de aplicativo?
  3. c) Quantos alunos não usam nenhum dos três tipos?
Resolver
Vamos praticar! 2 exercícios de nível médio neste tema
★★☆ Considere os conjuntos…★★☆ Em uma turma da 1ª série do Ensino Médio com $35$ alunos, $20$ praticam futebol, $15$…

Volte ao começo: nem todos os 35 alunos praticam esporte; são $27$ que praticam futebol ou vôlei, porque os $8$ que praticam os dois não podem ser contados duas vezes.

Resumo

  • Descrevemos conjuntos por extensão (lista) ou por compreensão (propriedade). $\in$ liga elemento e conjunto; $\subset$ liga conjuntos; $\varnothing$ é o conjunto vazio.

  • $A \cup B$: está em $A$ ou em $B$. $A \cap B$: está em $A$ e em $B$. $A - B$: está em $A$ e não em $B$.

  • O complementar de $A$ em $U$ é $U - A$.

  • $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

  • Nos diagramas de Venn, comece pela interseção central e preencha de dentro para fora; o que sobra do universo fica fora dos círculos.

  • O MDC é o maior elemento da interseção dos divisores; o MMC é o menor múltiplo positivo comum.

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