A função y = |x|
Um robô de entrega anda em um corredor de um galpão em Curitiba. Ele pode estar 3 metros à direita ou 3 metros à esquerda do ponto de partida. Para a bateria, tanto faz o lado: o que importa é a distância percorrida. Como transformar "posição" em "distância" com uma função? É isso que vamos descobrir.
Módulo como distância até a origem
Na reta numerada, o módulo de um número é a distância dele até o zero. Distância nunca é negativa.
Os números $-3$ e $3$ estão à mesma distância do zero. Por isso:
$$|-3| = 3 \qquad |3| = 3 \qquad |0| = 0$$Observe que $|x|$ nunca é negativo. Se $x$ é negativo, $|x|$ é o seu oposto: $|-5| = 5 = -(-5)$.
Considere a função $f(x) = |x|$. a) Complete a tabela com os valores de $f(x)$ para $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. b) O que você observa sobre os valores de $f(x)$…
Considere a função $f(x) = |x|$.
- a) Complete a tabela com os valores de $f(x)$ para $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
- b) O que você observa sobre os valores de $f(x)$ para $x$ e para $-x$?
- c) Para que valores de $x$ temos $f(x) = x$?
A função módulo definida por partes
Vamos transformar essa ideia em função: $f(x) = |x|$. Para cada $x$ real, ela devolve a distância de $x$ até o zero. Como o resultado depende do sinal de $x$, escrevemos por partes:
$$f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0 \\ -x, & \text{se } x < 0 \end{cases}$$Por que $-x$ quando $x<0$? Porque, se $x$ é negativo, $-x$ é positivo, e é exatamente a distância que queremos.
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lvert x\rvert$ | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Note que $|x| = |-x|$: valores opostos têm o mesmo módulo. E $|x| = x$ somente quando $x \geq 0$.
Considere a função $f(x) = |x|$. a) Complete a tabela com os valores de $f(x)$ para $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. b) O que você observa sobre os valores de $f(x)$…
Considere a função $f(x) = |x|$.
- a) Complete a tabela com os valores de $f(x)$ para $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
- b) O que você observa sobre os valores de $f(x)$ para $x$ e para $-x$?
- c) Para que valores de $x$ temos $f(x) = x$?
O gráfico em forma de V
Cada ramo da definição é uma reta. Para $x \geq 0$, o gráfico é $y = x$; para $x < 0$, é $y = -x$. Juntos formam um V com vértice na origem.
Características:
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Domínio: $D = \mathbb{R}$.
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Conjunto imagem: $Im = [0; +\infty)$, pois $|x| \geq 0$.
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Zero da função: $x = 0$.
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Decrescente para $x < 0$ e crescente para $x > 0$.
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Simétrico em relação ao eixo $y$, porque $|x| = |-x|$.
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O ponto $(0; 0)$ é o ponto de mínimo.
Considere a função $f(x) = |x|$. a) Complete a tabela com os valores de $f(x)$ para $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. b) O que você observa sobre os valores de $f(x)$…
Considere a função $f(x) = |x|$.
- a) Complete a tabela com os valores de $f(x)$ para $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
- b) O que você observa sobre os valores de $f(x)$ para $x$ e para $-x$?
- c) Para que valores de $x$ temos $f(x) = x$?
Considere as funções $f(x) = |x|$, $g(x) = |x| + 2$ e $h(x) = |x - 3|$. a) Calcule $f(-5)$, $g(-5)$ e $h(-5)$. b) Descreva, com palavras, como o gráfico de $g$ é obtido…
Considere as funções $f(x) = |x|$, $g(x) = |x| + 2$ e $h(x) = |x - 3|$.
- a) Calcule $f(-5)$, $g(-5)$ e $h(-5)$.
- b) Descreva, com palavras, como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f$.
- c) Descreva, com palavras, como o gráfico de $h$ é obtido a partir do gráfico de $f$.
Deslocando o gráfico: |x| + k e |x − h|
Use o controle abaixo e observe o V se mover.
Deslocamento vertical. Somar $k$ de fora: $g(x) = |x| + k$. Todo valor de $f$ aumenta $k$ unidades, então o gráfico sobe $k$ (ou desce, se $k<0$). O vértice vai para $(0; k)$.
Deslocamento horizontal. Subtrair $h$ de dentro: $y = |x - h|$. O valor mínimo $0$ acontece quando $x - h = 0$, ou seja, $x = h$. O vértice vai para $(h; 0)$: o gráfico anda $h$ unidades para a direita (ou para a esquerda, se $h<0$).
Considere as funções $f(x) = |x|$, $g(x) = |x| + 2$ e $h(x) = |x - 3|$. a) Calcule $f(-5)$, $g(-5)$ e $h(-5)$. b) Descreva, com palavras, como o gráfico de $g$ é obtido…
Considere as funções $f(x) = |x|$, $g(x) = |x| + 2$ e $h(x) = |x - 3|$.
- a) Calcule $f(-5)$, $g(-5)$ e $h(-5)$.
- b) Descreva, com palavras, como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f$.
- c) Descreva, com palavras, como o gráfico de $h$ é obtido a partir do gráfico de $f$.
Distância na reta e intervalos
Como $|x|$ é a distância de $x$ até $0$, perguntas sobre distância viram equações e desigualdades com módulo.
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$|x| = 4$: pontos a exatamente 4 unidades do zero, isto é, $x = -4$ ou $x = 4$.
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$|x| < 4$: pontos a menos de 4 unidades do zero, isto é, $-4 < x < 4$, ou seja, o intervalo $(-4; 4)$.
As bolinhas abertas indicam que $-4$ e $4$ ficam de fora.
Um robô se move sobre uma reta numerada, em metros, a partir de um ponto de referência (posição $0$). Posições positivas ficam à direita e posições negativas, à…
Um robô se move sobre uma reta numerada, em metros, a partir de um ponto de referência (posição $0$). Posições positivas ficam à direita e posições negativas, à esquerda. A distância do robô ao ponto de referência é dada por $d(x) = |x|$.
- a) Se o robô está na posição $x = -7$, qual é a distância dele ao ponto de referência?
- b) Em quais posições o robô está a exatamente $4$ metros do ponto de referência?
- c) Use a notação de intervalo para indicar todas as posições em que o robô fica a menos de $4$ metros do ponto de referência.
De volta ao início: para o robô, "posição" vira "distância" com a função $d(x)=|x|$, que descarta o lado e guarda só o afastamento do ponto de referência.
Resumo
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$|x|$ é a distância de $x$ até a origem; nunca é negativo.
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$|x| = x$ se $x \geq 0$ e $|x| = -x$ se $x < 0$; além disso $|x| = |-x|$.
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O gráfico de $f(x)=|x|$ é um V com vértice em $(0; 0)$, $D=\mathbb{R}$ e $Im=[0; +\infty)$.
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$|x| + k$ desloca o gráfico $k$ unidades na vertical; $|x - h|$ o desloca $h$ unidades na horizontal (vértice em $(h; k)$ para $|x-h|+k$).
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$|x| = a$ ($a>0$) dá $x=\pm a$; $|x| < a$ dá o intervalo $(-a; a)$.