Cálculo de anuidades e mensalidades

Para economizar para a carteira de motorista, Carlos decide depositar $\text{R\$}\ 60$ por mês em uma conta bancária ao final de cada período. O banco lhe oferece juros de $2,4 \%$ ao ano, compostos com capitalização mensal. Calcule o dinheiro que ele terá acumulado após 2 anos (24 meses) fazendo esses depósitos.

Nota: Lembre-se de converter a taxa de juros anual para a taxa de juros mensal dividindo por 12.

A Elena tem 18 anos e pretende poupar para pagar o depósito caução e as despesas de entrada de um apartamento compartilhado ao terminar o seu curso técnico dentro de $3$ anos ($36$ meses). Ela vai depositar $150$ reais no final de cada mês numa conta remunerada para jovens, a uma taxa de juros nominal de $3\%$ ao ano ($i = \frac{0,03}{12} = 0,0025$ ao mês).

1. a) Faça uma estimativa prévia fundamentada antes de aplicar fórmulas complexas: calcule quanto ela acumularia se a taxa de juros fosse de $0\%$ e justifique se, ao adicionar os $3\%$ ao ano, o capital final acumulado conseguirá superar ou não a barreira dos $6.000$ reais.
2. b) Aplique a fórmula do valor final de uma renda de poupança constante para calcular a quantia exata que ela terá acumulado depois de $36$ meses.
3. c) Compare o resultado exato com a sua estimativa prévia e calcule que porcentagem do capital final reunido provém dos juros creditados pela instituição financeira.

O Sérgio quer financiar a compra de um notebook de $1.800$ reais por meio de um empréstimo pessoal a $2$ anos ($24$ meses) com prestações mensais fixas postecipadas. O banco aplica a ele uma taxa de juros nominal anual de $6\%$. Para calcular a prestação mensal $a$, o Sérgio escreve no caderno:

e obtém $a \approx 873,79$ reais por mês.

1. a) Sem precisar calcular a prestação real, multiplique mentalmente a prestação do Sérgio pelas $24$ mensalidades e explique, de forma fundamentada, por que o resultado é um absurdo financeiro evidente.
2. b) Identifique e explique os dois erros conceituais graves cometidos pelo Sérgio ao formular a equação.
3. c) Formule a equação correta que permite determinar a mensalidade postecipada que o Sérgio deve pagar, calcule o valor exato arredondado ao centavo e descubra o total que ele acabará pagando apenas de juros.

Calcule a taxa efetiva anual de um empréstimo bancário anunciado com juros nominais de $6\%$ anuais se os pagamentos das parcelas forem:

1. a) Mensais.
2. b) Semestrais.
3. c) Em que caso o custo real para o cliente é maior? Justifique a sua resposta comparando os resultados obtidos.

Um investidor individual quer ter poupado $50.000$ reais em um prazo de $8$ anos. Para isso, fará depósitos trimestrais em um fundo que lhe oferece $3\%$ de juros anuais nominais.

1. a) Qual é a taxa de juros trimestral aplicada?
2. b) Que quantia ele deve depositar a cada trimestre para atingir o seu objetivo?
3. c) Se, ao final de $4$ anos, os juros do mercado subirem para $4\%$ anuais nominais, como variará a parcela trimestral nos $4$ anos restantes se ele quiser manter o mesmo objetivo final?

Calcule a Taxa Efetiva Anual (TEA) de um empréstimo bancário que é anunciado a $6 \%$ de juros nominais anuais com capitalização mensal, se além disso o banco cobra uma tarifa de abertura de crédito de $1,5 \%$ do capital emprestado e um seguro de vida obrigatório de $250$ reais pago no momento inicial. Suponha que o capital solicitado é de $20.000$ reais a devolver em um único pagamento ao fim de um ano.

Como variaria essa TEA se o capital solicitado fosse de $50.000$ reais nas mesmas condições? Explique por que a TEA depende, neste caso, do valor solicitado.

Uma família solicita um empréstimo de $\text{R\$}\ 5.000$ para comprar uma moto usada. O banco concede o empréstimo com juros de $5 \%$ anuais, que devem ser devolvidos em 4 parcelas anuais iguais, pagas ao final de cada ano. Determine o valor dessa parcela de amortização.

Um estudante do 11.º ano quer comprar um computador "gaming" que custa $\text{R\$}\ 1.200$. Uma loja de informática permite-lhe pagá-lo em 12 parcelas mensais iguais com juros de $6 \%$ anuais nominais. Sabendo que a taxa de juros mensal é calculada como $i = \frac{0,06}{12}$, utilize a fórmula da renda de amortização para calcular o valor da mensalidade que deverá pagar ao final de cada mês.

Uma família solicita um empréstimo de $15.000$ reais para reformar a cozinha e o banheiro da sua residência. O banco concede o crédito a juros anuais de $5\%$ a serem devolvidos em $4$ anos mediante parcelas mensais fixas postecipadas (ao final de cada mês).

1. a) Determine o valor da parcela mensal que deverá pagar.
2. b) Calcule o capital total que acabará pagando ao banco após os $4$ anos.
3. c) Que porcentagem do capital total pago corresponde aos juros?

Lucas quer comprar uma moto elétrica que custa $4.200$ reais. Para não se descapitalizar, decide financiá-la a $6\%$ de juros anuais nominais, comprometendo-se a pagar parcelas mensais de $120$ reais.

1. a) Utilize a fórmula das anuidades de amortização para calcular quantos meses levará para pagar a moto (você precisará utilizar logaritmos).
2. b) Se decidir pagar a moto em exatamente $3$ anos, qual deveria ser a parcela mensal fixa?

Um usuário financia uma compra extraordinária de $C_0 = 2.500$ reais utilizando um cartão de crédito na modalidade 'rotativo' com uma taxa de juros nominal de $19,2\%$ anual ($i = \frac{0,192}{12} = 0,016$ mensal). A publicidade do cartão afirma: «Pague confortavelmente a partir de apenas $35$ reais por mês».

1. a) Tente determinar formalmente o número de meses $n$ necessários para quitar a dívida com uma prestação mensal de $a = 35$ reais aplicando a fórmula $n = \frac{-\ln(1 - \frac{C_0 \cdot i}{a})}{\ln(1+i)}$. Explique a impossibilidade matemática que ocorre ao avaliar o argumento do logaritmo e fundamente financeiramente por que razão, ao comparar a prestação com os juros gerados em um mês ($C_0 \cdot i$), a dívida cresceria indefinidamente em vez de diminuir.
2. b) Deduza qual é a prestação mensal mínima teórica que permitiria não gerar dívida adicional e calcule a prestação fixa mensal que deveria ser estabelecida para extinguir o empréstimo em um prazo razoável de $3$ anos ($36$ meses).
3. c) Se o titular escolher uma prestação fixa mensal de $60$ reais, calcule o número de meses $n$ que levará para quitar a dívida (arredondando para cima) e o valor total desembolsado. Demonstre com esses cálculos por que razão as prestações fixadas muito perto do limiar $C_0 \cdot i$ provocam o fenômeno financeiro conhecido como 'dívida cativa'.

Lucía está planejando ir a um festival de música quando terminar o Ensino Médio, daqui a 3 anos. Para custear as despesas, decide abrir uma conta poupança jovem que lhe oferece juros compostos de $3 \%$ ao ano. Se depositar $\text{R\$}\ 250$ no início de cada ano, que capital total terá acumulado para a sua viagem ao final dos três anos?

Uma família deseja constituir um fundo de poupança para a universidade do seu filho. Planejam depositar $1.500$ reais no início de cada ano durante os próximos $10$ anos. A instituição financeira garante juros compostos de $4,25\%$ anuais.

1. a) Que capital terão acumulado logo após realizar o décimo depósito?
2. b) Que capital terão um ano após o último depósito (ao finalizar o décimo ano)?

Nota: Leve em conta se a anuidade é antecipada (no início) ou postecipada (no final).

Uma jovem empreendedora de 22 anos decide planejar a sua independência financeira. O seu objetivo é ter acumulado $100.000$ reais quando completar 35 anos. Para isso, estabelece o seguinte plano de poupança em uma conta com juros compostos de $4,5 \%$ anuais:

1. Durante os primeiros 5 anos, fará depósitos mensais de $a$ reais no início de cada mês.

2. Durante os 8 anos seguintes, aumentará a sua capacidade de poupança e depositará $2a$ reais no início de cada mês.

Calcule o valor da parcela mensal inicial $a$ necessária para atingir o seu objetivo.

Um atleta profissional decide poupar parte do seu salário para quando terminar a carreira esportiva. Deposita $500$ reais ao final de cada mês numa conta de poupança durante $15$ anos. A conta garante juros de $4,5\%$ ao ano nominais com capitalização mensal.

1. a) Que capital terá acumulado no momento da sua aposentadoria esportiva?
2. b) Se, depois de aposentado, desejar receber uma renda mensal fixa durante os $20$ anos seguintes, esgotando todo o capital acumulado (supondo que o banco mantém os mesmos juros de $4,5\%$), qual será o valor dessa mensalidade?

Uma família quer constituir um fundo solidário para financiar uma bolsa de estudos a longo prazo. O plano dela é depositar uma quantia fixa $a$ ao final de cada mês durante 20 anos em uma conta a $5 \%$ de juros compostos anuais (capitalização mensal).

Ao terminar esses 20 anos, querem que o capital acumulado permita retirar $1.500$ reais por mês durante os 15 anos seguintes (período de pagamento da bolsa), momento em que a conta deve ficar zerada.

Calcule a quantia da mensalidade de poupança $a$ que devem depositar durante a primeira fase.

Um profissional autônomo deseja comprar um imóvel comercial valorizado em $120.000$ reais. Ele dispõe de duas opções financeiras:

1. Economizar durante 10 anos em um fundo de investimento que garante $4 \%$ de taxa efetiva anual, realizando depósitos mensais no início de cada mês, para comprá-lo à vista no final do período (supondo que o preço do imóvel não varie).

2. Comprá-lo hoje solicitando um financiamento imobiliário a 10 anos a $4 \%$ de juros nominais anuais, com capitalização mensal e parcelas no final de cada mês.

Calcule a diferença entre a parcela mensal necessária para economizar o capital (Opção 1) e a parcela mensal necessária para pagar o empréstimo (Opção 2). Justifique qual das duas estratégias é mais eficiente do ponto de vista do fluxo de caixa mensal.