Representação de intervalos reais
Um aplicativo de transporte avisa: "Sua corrida custa entre R$ 18 e R$ 25". Qualquer valor desde R$ 18,00 até R$ 25,00 serve, inclusive os que têm centavos. Não dá para listar todos eles. Como descrever esse conjunto inteiro de forma curta? Os intervalos reais fazem exatamente isso.
O que é um intervalo
Um intervalo é um conjunto de números reais que ficam "de um ponto a outro" na reta, sem buracos. Existem infinitos números entre quaisquer dois reais, por isso não escrevemos o intervalo listando seus elementos. Usamos duas formas:
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Desigualdades (notação de conjunto): $\{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 7\}$, que se lê "o conjunto dos $x$ reais tais que $x$ está entre 2 e 7, inclusive".
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Notação de intervalo: $[2; 7]$, com os extremos separados por ponto e vírgula.
A regra é simples: colchete [ ou ] junto ao número significa "este extremo está no intervalo"; parêntese significa "não está". Alguns livros escrevem $]a; b[$ no lugar de $(a; b)$. Nesta página usamos parênteses.
O trajeto do aplicativo: o preço $p$ da corrida satisfaz $18 \leq p \leq 25$, ou seja, $p \in [18; 25]$.
Escreva cada conjunto usando a notação de intervalo: a) $\{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 7\}$ b) $\{x \in \mathbb{R} : -1 < x < 4\}$ c)…
Escreva cada conjunto usando a notação de intervalo:
- a) $\{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 7\}$
- b) $\{x \in \mathbb{R} : -1 < x < 4\}$
- c) $\{x \in \mathbb{R} : x \geq 3\}$
Representação na reta real
Na reta real, cada número é um ponto. O intervalo é o "pedaço" da reta entre os extremos. Para mostrar se o extremo entra ou não, usamos:
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bolinha fechada (●): o extremo está incluído;
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bolinha aberta (○): o extremo não está incluído.
Observe que a parte destacada da reta é a mesma nos quatro casos. O que muda é só a presença dos extremos.
Para conferir o último passo: $[-1; 6)$ tem bolinha fechada em $-1$ e aberta em $6$, e $\{x \in \mathbb{R} : -1 \leq x < 6\}$.
Escreva cada intervalo usando desigualdades (notação de conjunto): a) $[-2; 5]$ b) $(0; 10)$ c) $(-\infty; 3]$
Escreva cada intervalo usando desigualdades (notação de conjunto):
- a) $[-2; 5]$
- b) $(0; 10)$
- c) $(-\infty; 3]$
Intervalos ilimitados
Algumas condições não têm fim: "idade mínima de 16 anos para votar" vale para $16, 17, 18, \ldots$ sem limite. Usamos os símbolos $+\infty$ ("mais infinito") e $-\infty$ ("menos infinito").
| Desigualdade | Intervalo |
|---|---|
| $x \geq 3$ | $[3; +\infty)$ |
| $x > 3$ | $(3; +\infty)$ |
| $x \leq 3$ | $(-\infty; 3]$ |
| $x < 3$ | $(-\infty; 3)$ |
| qualquer $x$ real | $(-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$ |
Em uma reta real desenhada no caderno, marque os pontos $-4, -1, 2$ e $6$. Represente nessa reta cada um dos intervalos abaixo, usando bolinha fechada para extremo…
Em uma reta real desenhada no caderno, marque os pontos $-4, -1, 2$ e $6$. Represente nessa reta cada um dos intervalos abaixo, usando bolinha fechada para extremo incluído e bolinha aberta para extremo não incluído. Depois, escreva cada intervalo com desigualdades:
- a) $(-4; 2]$
- b) $[-1; 6)$
- c) $[2; +\infty)$
Resumo
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Um intervalo é um conjunto de reais sem buracos, escrito com desigualdades ou com a notação $[a; b]$.
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Colchete: extremo incluído (bolinha fechada). Parêntese: extremo excluído (bolinha aberta).
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Na reta, pinta-se o trecho entre os extremos.
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$+\infty$ e $-\infty$ não são números: ao lado deles, sempre parêntese.
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Voltando ao começo: o preço da corrida entre R$ 18 e R$ 25 é o intervalo $[18; 25]$.