Padrões e regularidades

Observe as seguintes sequências numéricas e escreva os dois termos seguintes de cada uma, explicando a regra que seguem:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

A sequência de Fibonacci começa assim: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; cada termo é obtido somando os dois anteriores. Escreva os quatro termos seguintes.

Observe a sequência $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Escreva os três termos seguintes.

• Qual é o termo que ocupa o lugar $25$? É positivo ou negativo?

Um trabalho manual consiste em construir triângulos em cadeia com palitos, como mostrado na figura.

• Quantos palitos são necessários para construir a figura 4?

• E para a figura 5?

Observe a sequência de figuras formadas por pontos da imagem.

• Quantos pontos terá a figura 4? E a figura 5?

• Qual relação existe entre o número da figura e a quantidade de pontos?

Uma empresa de construção empilha blocos formando escadas, como mostra a figura.

• Conte os blocos das figuras 1, 2 e 3 e calcule quantos blocos terá a figura 4.

• Quantos blocos terá a figura 10?

• Escreva uma expressão geral para o número de blocos da figura $n$. (Dica: una cada escada à sua simétrica para formar um retângulo.)

Em um muro de contenção à beira-mar, instalam-se bancos contínuos juntando módulos hexagonais regulares de concreto em linha reta. Se for colocado um único módulo hexagonal isolado, os seus 6 lados externos ficam livres para sentar. Se forem unidos dois módulos em fila, compartilham um lado comum interno (que fica inutilizado), deixando 10 lados livres no total. Se forem unidos três módulos em fila, ficam 14 lados livres para sentar.

1. a) Sem utilizar fórmulas ainda, faça uma estimativa intuitiva e justificada: se forem unidos 25 módulos hexagonais seguidos, o número total de lados livres estará mais próximo de 80, de 100 ou de 150? Explique em que você se baseia para descartar os outros valores.
2. b) Modele a situação deduzindo o termo geral $L_n$ que determina o número de lados livres em função do número $n$ de módulos unidos, separando algebricamente os lados que os extremos fornecem dos que cada módulo intermediário fornece.
3. c) Calcule o valor exato de $L_{25}$, compare-o com a sua estimativa prévia e avalie se o resultado numérico confirma que o seu raciocínio inicial foi acertado.

O refeitório de um acampamento une mesas quadradas em fila para acomodar os participantes, como mostra a figura.

• Quantas pessoas podem se sentar se forem unidas $4$ mesas?

• Encontre o termo geral que dá o número de pessoas à mesa com $n$ mesas.

• Para o jantar de encerramento comparecem $42$ pessoas. Quantas mesas é preciso unir, no mínimo, para que caibam todos?

A sequência $a_n$ tem como termo geral $a_n = 4n - 1$. Calcule os termos $a_1$, $a_5$ e $a_{20}$.

Uma sequência começa em $7$ e cada termo é obtido somando $6$ ao anterior. Escreva os seus cinco primeiros termos e calcule o termo que ocupa a posição $10$.

Martina começa o ano letivo com $\text{R\$}\ 10$ em seu cofre e, a partir de então, guarda $\text{R\$}\ 3$ a cada semana.

• Escreva a sequência do dinheiro acumulado ao final de cada uma das cinco primeiras semanas.

• Quanto dinheiro terá ao final da semana $12$?

Considere a sequência $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Encontre o seu termo geral $a_n$.

• Verifique se $157$ é um termo da sequência e, em caso afirmativo, indique que posição ocupa.

• $200$ pertence à sequência? Justifique a resposta.

Um aluno afirma que o termo geral da sequência $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ é $a_n = 2n$. Indique se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique a sua resposta e escreva o termo geral correto.

A Ana observa um padrão de torres construídas com blocos quadrados: a torre 1 tem 5 blocos, a torre 2 tem 8 blocos e a torre 3 tem 11 blocos. Ao perceber que em cada passo se adicionam 3 blocos, afirma: «Como se somam 3 blocos em cada etapa e a primeira tem 5, o termo geral que dá o total de blocos da torre $n$ é $a_n = 3 \cdot n + 5$».

1. a) Calcule os valores fornecidos pela fórmula da Ana para $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$, e compare-os com os blocos reais de cada torre.
2. b) Localize o erro de raciocínio cometido pela Ana ao relacionar a parte fixa do padrão com a parte que vai aumentando em cada passo.
3. c) Deduza a expressão correta do termo geral $a_n$ a partir da decomposição estrutural da figura (identificando quantos blocos fixos existem e quantos se adicionam de acordo com o número do passo) e confirme que coincide com os três casos conhecidos.

O anfiteatro de uma escola tem $12$ assentos na primeira fileira, e cada fileira posterior tem $3$ assentos a mais do que a anterior.

• Escreva o número de assentos das quatro primeiras fileiras.

• Encontre o termo geral $a_n$ que dá o número de assentos da fileira $n$.

• Se o anfiteatro tem $15$ fileiras, quantos assentos tem a última fileira?

Observe a sequência $3,\ 6,\ 11,\ 18,\ 27,\ \ldots$

• Calcule as diferenças entre termos consecutivos. Que padrão seguem essas diferenças?

• Compare os termos com os quadrados perfeitos e encontre o termo geral $a_n$.

• Calcule $a_{15}$.

Observe a sequência de frações $\frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots$

• Encontre o seu termo geral $a_n$.

• Calcule $a_{10}$ e $a_{100}$ com três casas decimais.

• Os termos crescem cada vez mais, mas algum termo pode chegar a ser maior do que $1$? Justifique a resposta observando a expressão do termo geral.

Zenão de Eleia (século V a.C.) questionava-se sobre as somas infinitas. Imagine um quadrado de lado $1$ do qual se sombreia a metade; depois, a metade da parte restante; depois, a metade do que resta, e assim sucessivamente.

• Escreva a fração do quadrado que foi sombreada após cada um dos quatro primeiros passos.

• Encontre o termo geral $s_n$ da fração sombreada após $n$ passos. (Dica: observe que em cada passo falta sombrear $\frac{1}{2^n}$ do quadrado.)

• Se o processo continuasse indefinidamente, de que valor a área sombreada se aproximaria?

O triângulo de Tartaglia (ou de Pascal) é construído colocando uns nas bordas e preenchendo cada casa interior com a soma das duas que estão acima dela:

• Some os números de cada uma das cinco linhas e escreva a sequência dessas somas.

• Encontre o termo geral dessa sequência.

• Quanto somam os números da linha $12$?

Uma sequência é definida por recorrência assim: $a_1 = 2$ e $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcule os cinco primeiros termos.

• Compare cada termo com as potências de $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) e descreva o padrão que observa.

• Diante do padrão, qual será o valor de $a_{10}$?

O serviço municipal de compartilhamento de bicicletas elétricas de uma cidade expande suas instalações ao longo de uma avenida. A primeira estação instalada conta com 14 postos de carregamento. Para atender ao aumento previsto de usuários em direção à periferia, o plano de mobilidade estabelece que cada nova estação tenha 4 postos a mais do que a estação imediatamente anterior (ou seja, a estação 2 tem 18 postos, a 3 tem 22, etc.).

1. a) Defina por meio de uma fórmula de recorrência o número de postos $a_n$ da estação $n$, indicando explicitamente o termo inicial $a_1$ e a relação que permite obter $a_n$ a partir de $a_{n-1}$.
2. b) Deduza o termo geral explícito $a_n$ que permite calcular diretamente quantos postos qualquer estação $n$ terá, sem necessidade de calcular todas as estações intermediárias.
3. c) A prefeitura recebe uma verba orçamentária fechada com exatamente 70 postos para equipar uma única estação da avenida. Formule a equação correspondente com o termo geral e resolva-a para verificar se existirá alguma estação que utilize exatamente esses 70 postos ou se sobrará material; interprete o resultado no contexto do problema.

Em seu livro Liber Abaci (1202), Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs este problema: um casal de coelhos recém-nascido leva um mês para se tornar adulto; a partir de então, a cada mês produz um novo casal de filhotes, que por sua vez segue a mesma regra. Nenhum coelho morre.

• Partindo de um único casal recém-nascido, complete uma tabela com o número de casais ao final de cada um dos seis primeiros meses.

• Escreva a lei de recorrência que a sequência segue.

• Quantos casais haverá ao final de $10$ meses?

Para a iluminação decorativa de um auditório, projeta-se um painel triangular de lâmpadas: a primeira fila tem 1 lâmpada, a segunda fila tem 2 lâmpadas, a terceira tem 3 lâmpadas, e assim sucessivamente até a fila $n$, que contém $n$ lâmpadas. Deseja-se calcular a quantidade total de lâmpadas, $T_n$, que compõem uma estrutura triangular de $n$ filas.

Dois técnicos propõem métodos distintos para resolver o desafio:

• O Marcos sugere uma relação por recorrência: considerar $T_1 = 1$ e $T_n = T_{n-1} + n$, calculando fila a fila de forma cumulativa.

• A Elena propõe um método geométrico: duplicar mentalmente a figura com outro triângulo idêntico e invertido para formar entre ambos um retângulo de dimensões $n \times (n+1)$ lâmpadas, calculando $T_n$ como metade do total desse retângulo.

1. a) Desenvolva algebricamente a proposta da Elena para obter a expressão explícita de $T_n$ em função de $n$.
2. b) Aplique ambos os métodos para calcular quantas lâmpadas são necessárias em um painel de $n = 60$ filas e verifique se ambos levam ao mesmo resultado.
3. c) Compare criticamente as duas alternativas: se a prefeitura dispõe de um lote de 1830 lâmpadas e pede que você determine quantas filas exatas terá o painel que é possível construir, qual dos dois métodos é mais eficaz e direto para responder? Justifique também em que cenário de desenho ou de programação passo a passo a abordagem do Marcos seria mais prática do que a da Elena.

Um princípio fundamental ao estudar regularidades é que alguns termos iniciais não determinam uma única sequência.

1. a) Escreva os quatro primeiros termos da sequência cujo termo geral é $a_n = 2^n$.
2. b) Elabore o termo geral ou o critério de formação de outra sequência diferente, $b_n$, que cumpra exatamente as duas condições seguintes: compartilhar com $a_n$ os três primeiros valores ($b_1 = 2$, $b_2 = 4$ e $b_3 = 8$), mas cujo quarto termo seja estritamente diferente ($b_4 \neq 16$).
3. c) Com base neste exemplo, justifique por que verificar que uma fórmula funciona para $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$ não serve como demonstração matemática de que ela seja válida para todo $n \in \mathbb{N}$.

Dois colegas discutem sobre o termo geral da sequência que começa com $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Ana diz que é $a_n = 2^n$.

• Bruno diz que pode ser $b_n = n^2 - n + 2$.

• Verifique que ambas as expressões geram os três primeiros termos.

• Calcule o quarto termo de acordo com cada uma das duas expressões. Eles coincidem?

• Tire conclusões: os três primeiros termos de uma sequência determinam o seu termo geral de forma única?

Os números triangulares são $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (pontos que formam um triângulo) e os quadrados são $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Verifique com os quatro primeiros casos que cada número quadrado (a partir de $4$) é a soma de dois números triangulares consecutivos.

• Escreva essa propriedade por meio de uma igualdade algébrica usando os termos gerais $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ e $C_n = n^2$, e demonstre-a.

• Ilustre com um desenho de pontos por que a propriedade é verdadeira para $C_4 = 16$.

A conjectura de Collatz, proposta em 1937 e ainda não demonstrada, parte de qualquer número natural e aplica esta regra: se o número for par, divide-se por $2$; se for ímpar, multiplica-se por $3$ e soma-se $1$. A conjectura afirma que sempre se acaba chegando a $1$.

• Aplique a regra partindo de $7$ e escreva a sequência completa até chegar a $1$.

• Faça o mesmo partindo de $11$.

• Verifique a conjectura para três números escolhidos por você, um deles maior do que $50$. Você acha que verificar muitos casos demonstra que a conjectura é verdadeira? Comente a sua resposta.

A figura mostra como um quadrado de $4 \times 4$ pontos pode ser construído adicionando camadas em forma de «L».

1. a) Escreva a soma que a figura representa a partir do número de pontos de cada camada e verifique o resultado.
2. b) Formule uma conjectura: quanto somam os $n$ primeiros números ímpares?
3. c) Verifique a sua conjectura para $n = 6$.

Em um torneio de pádel do bairro, cada dupla joga uma vez contra cada uma das outras.

• Complete uma tabela com o número de partidas do torneio se participarem $2,\ 3,\ 4$ e $5$ duplas.

• Encontre uma expressão geral para o número de partidas com $n$ duplas. (Dica: cada dupla joga contra $n - 1$ adversários, mas assim cada partida é contada duas vezes.)

• Quantas partidas são jogadas se participarem $12$ duplas?

Uma empresa de telecomunicações instala uma rede de repetidores em um parque tecnológico. Para garantir a segurança da conexão diante de eventuais falhas, cada repetidor deve se ligar a todos os outros por meio de um canal direto de fibra óptica independente.

• Com 2 repetidores é necessário 1 canal direto.

• Com 3 repetidores são necessários 3 canais diretos.

• Com 4 repetidores são necessários 6 canais diretos.

• Com 5 repetidores são necessários 10 canais diretos.

Um instalador observa esses quatro dados e afirma: «Como o padrão funciona para 2, 3, 4 e 5 repetidores, conjecturo que a fórmula para $n$ repetidores seja $C_n = \dfrac{n^2 - n}{2}$, mas não posso ter certeza se ela vai falhar quando tivermos 30 repetidores».

1. a) Demonstre algebricamente que a conjectura é verdadeira para qualquer número natural $n \ge 2$: deduza quantos canais partem de cada um dos $n$ repetidores e justifique com clareza por que é imprescindível dividir por 2 a multiplicação obtida.
2. b) A partir da sua demonstração, explique a diferença entre uma verificação numérica de casos particulares e uma demonstração algébrica rigorosa de um padrão para todo $n$.
3. c) Se o orçamento técnico disponível permitir financiar no máximo 136 canais de fibra óptica, formule uma equação do segundo grau e calcule o número máximo de repetidores que podem ficar completamente interligados entre si sem ultrapassar o limite econômico.