Funções exponenciais

Dada a função exponencial $f(x) = 2^x$, calcule as imagens para os valores $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

O gráfico de uma função exponencial do tipo $f(x) = a^x$ passa pelo ponto $(3, 8)$. Calcule o valor da base $a$.

Indique, justificando sua resposta, quais das seguintes funções exponenciais são crescentes e quais são decrescentes:

• a) $f(x) = 1,2^x$

• b) $g(x) = 0,7^x$

• c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$

• d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Observe os gráficos A e B representados na figura a seguir. Associe cada um deles à sua correspondente expressão analítica: $y = 3^x$ ou $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Determine o domínio, o conjunto imagem e o ponto de interseção com o eixo das ordenadas da função exponencial $f(x) = 0,5^x$.

O Marcos está analisando a função $f(x) = 2^{x+1} - 8$. Na sua prova escreveu a seguinte conclusão: «Por ser uma função exponencial, a sua assíntota horizontal é sempre a reta $y = 0$, o seu conjunto imagem é $(0, +\infty)$ e, portanto, o gráfico nunca intersecta o eixo das abscissas ($X$) nem toma valores negativos».

1. a) Identifique os dois erros conceituais que o Marcos cometeu em relação às translações de uma função exponencial.
2. b) Explique de forma fundamentada por que esses erros ocorrem e corrija-os, indicando a equação correta da assíntota horizontal e o conjunto imagem real de $f(x)$.
3. c) Demonstre que a função intersecta de fato o eixo $X$, calculando as coordenadas exatas do referido ponto de interseção.

Represente graficamente a função $f(x) = 3^{x-2} + 1$ construindo previamente uma tabela de valores. Indique qual é a equação de sua assíntota horizontal e calcule as coordenadas do seu ponto de interseção com o eixo das ordenadas.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Determine, de forma analítica, as coordenadas exatas dos pontos de interseção com o eixo das abscissas e com o eixo das ordenadas da função exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.

Dada a função com valor absoluto $f(x) = |3^x - 9|$:

• a) Escreva-a como uma função definida por partes, calculando previamente em qual ponto a expressão interior muda de sinal.

• b) Determine seus pontos de interseção com os eixos coordenados.

• c) Indique em quais intervalos a função é crescente e em quais é decrescente.

Determine o valor de $x$ nas seguintes igualdades exponenciais elementares:

• a) $2^x = 64$

• b) $3^x = \frac{1}{9}$

Resolva as seguintes equações exponenciais igualando as bases em ambos os lados da igualdade:

• a) $5^{2x-1} = 125$

• b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$

Resolva a seguinte equação exponencial colocando previamente o fator comum em evidência:

$3^x + 3^{x+1} = 36$

Resolva a seguinte equação exponencial aplicando as propriedades das potências e colocando o fator comum em evidência:

$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$

Para resolver a equação exponencial $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$, propõem-se três estratégias de resolução diferentes:

• Estratégia A: Tentar colocar diretamente em evidência o fator comum $2^x$ dos três termos tal como estão escritos.

• Estratégia B: Tentar igualar diretamente as bases sem transformar a estrutura da igualdade.

• Estratégia C: Expressar todas as potências na base 2, simplificar os coeficientes e aplicar a mudança de variável $t = 2^x$ para transformar a expressão numa equação do segundo grau.

1. a) Explique detalhadamente por que as Estratégias A e B não são viáveis nesta equação.
2. b) Aplique a Estratégia C para resolver a equação passo a passo. Durante o processo você obterá dois valores possíveis para $t$; justifique de forma fundamentada qual deles deve ser descartado, apoiando-se no conjunto imagem da função exponencial $y = 2^x$.
3. c) Determine o valor final de $x$ e verifique que ele satisfaz a equação original, substituindo-o nela.

Determine a expressão analítica de uma função exponencial da forma $f(x) = a^x + q$ a partir da seguinte informação:

1. O seu gráfico se aproxima indefinidamente da reta horizontal $y = -3$ quando os valores de $x$ são muito negativos, sem nunca chegar a tocá-la.

2. O gráfico passa pelo ponto $P(2, 13)$.

Depois de calculados os parâmetros $a$ e $q$, indique de forma fundamentada se a função é crescente ou decrescente observando o valor da base obtida e determine as coordenadas do seu ponto de interseção com o eixo das ordenadas ($Y$).

O gráfico a seguir corresponde a uma função exponencial da forma $f(x) = a^x + b$. Observe seus elementos característicos, como a assíntota horizontal e os pontos pelos quais passa, e determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$.

A evolução de uma determinada praga de insetos segue um modelo exponencial da forma $N(t) = k \cdot a^t$, onde $N(t)$ é o número de insetos e $t$ é o tempo em semanas. Sabendo que no instante inicial ($t=0$) havia $5$ insetos e que após $2$ semanas havia $45$ insetos, calcule os valores das constantes $k$ e $a$. Em seguida, determine quantos insetos haverá após $4$ semanas.

Uma família deposita $2000$ reais em uma conta bancária que oferece juros compostos de $4 \%$ ao ano. Qual será o capital ao final de $2$ anos se a família não retirar nenhum dinheiro da conta?

Um investidor deseja obter um capital final de $5000$ reais daqui a $5$ anos. Se o banco lhe oferece uma aplicação com juros compostos de $3 \%$ ao ano, qual capital inicial ele deve investir hoje para alcançar o seu objetivo? (Arredonde o resultado para os centavos).

Dois irmãos recebem uma herança de $10000$ reais cada um. O primeiro decide investir seu dinheiro a juros simples de $5 \%$ ao ano, enquanto o segundo o investe a juros compostos de $4 \%$ ao ano. Escreva as funções que descrevem o capital de cada irmão ao longo do tempo. Quem terá mais dinheiro ao fim de $10$ anos? E ao fim de $20$ anos?

Um banco oferece um produto de investimento com juros nominais anuais de $6 \%$.

• a) Escreva a função que modela o capital final se forem investidos $3000$ reais e os juros forem creditados anualmente (juros compostos anuais).

• b) Escreva a função se os juros forem creditados mensalmente (juros compostos mensais).

• c) Calcule a diferença exata de capital obtido entre ambas as modalidades ao final de $5$ anos.

O número de seguidores de uma conta que acabou de viralizar triplica a cada dia. Se inicialmente tem $100$ seguidores, escreva a função que relaciona o número de seguidores com o tempo decorrido em dias, e calcule quantos seguidores haverá ao final de $3$ dias.

O preço de um celular de alta gama recém-lançado no mercado é de $800$ reais. Devido à obsolescência tecnológica, seu valor desvaloriza $20 \%$ a cada ano. Escreva a função que modela o preço do celular em função dos anos decorridos e calcule qual será o seu valor ao fim de $4$ anos.

De acordo com dados demográficos inspirados nos censos do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), um município da zona rural contava com $1200$ habitantes no início de 2015. Devido ao envelhecimento e à emigração, a sua população decresce a um ritmo constante de $5\,\%$ a cada ano.

1. a) Escreva a fórmula da função $P(t)$ que expressa o número de habitantes em função do tempo $t$ decorrido em anos desde 2015. Justifique se a função é crescente ou decrescente analisando o valor da sua base.
2. b) Calcule a população projetada para este município no início do ano 2023, arredondando para o número inteiro de pessoas mais próximo.
3. c) Um porta-voz da prefeitura afirma na imprensa: «Ao perder $5\,\%$ a cada ano, em 20 anos teremos perdido $100\,\%$ da população e a cidade ficará com $0$ habitantes». Justifique matematicamente por que esse raciocínio linear está errado e calcule que porcentagem da população inicial de 2015 restará realmente ao fim desses 20 anos.

Uma amostra de um isótopo radioativo tem uma massa inicial de $200$ gramas. Sabe-se que sua massa se reduz à metade a cada $10$ anos. Escreva a expressão analítica da função que dá a massa restante em função do tempo (em anos) e calcule quantos gramas restarão exatamente ao fim de $30$ anos.

Em um hospital é administrada a um paciente uma dose de $80\text{ mg}$ de um fármaco. A massa $M(t)$ do medicamento que permanece no seu organismo (em miligramas) após $t$ horas é descrita pela função exponencial $M(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}$.

1. a) Sem calcular o valor exato com a fórmula, estime de forma fundamentada entre quais duas dezenas consecutivas de miligramas estará a quantidade de medicamento decorridas 10 horas (sugestão: calcule mentalmente a quantidade exata que resta às 8 e às 12 horas).
2. b) Calcule agora o valor numérico exato de $M(10)$ arredondando para centésimos e verifique se a sua estimativa do item anterior estava correta.
3. c) Com base nas propriedades da função exponencial (a sua assíntota horizontal e o seu conjunto imagem), fundamente se chegará algum momento em que o organismo do paciente fique matematicamente com exatamente $0\text{ mg}$ do fármaco segundo este modelo.

A farmacocinética estuda como um medicamento é eliminado do corpo humano. Um paciente recebe uma dose inicial de $50$ mg de um fármaco. A quantidade no sangue diminui exponencialmente, de modo que a cada $6$ horas a quantidade é reduzida à metade.

• a) Escreva a função $C(t)$ que expressa os miligramas de fármaco no sangue em função do tempo $t$, medido em horas.

• b) Que quantidade de fármaco restará no sangue do paciente ao final de um dia completo ($24$ horas)?

Segundo a lei de resfriamento de Newton, a temperatura de uma xícara de chá em um cômodo é modelada por meio da função $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, onde $T(t)$ é a temperatura em graus Celsius e $t$ é o tempo em minutos decorrido desde que foi servido.

• a) Qual era a temperatura inicial do chá?

• b) Qual é a temperatura ambiente do cômodo? (Raciocine o que ocorre quando o tempo $t$ se torna muito grande).

• c) Equacione o problema para calcular em qual minuto a temperatura do chá será exatamente de $55$ ºC e resolva-o.

A população de uma cidade A é atualmente de $100000$ habitantes e cresce em um ritmo constante de $4 \%$ ao ano. A população de uma cidade B é de $150000$ habitantes e decresce em um ritmo de $2 \%$ ao ano. Escreva as funções populacionais de ambas as cidades. Verifique, usando a calculadora por meio de tentativa e erro (ou aplicando logaritmos), em que ano exato a cidade A superará a cidade B em população.

Num laboratório de microbiologia, analisa-se o crescimento simultâneo de duas colônias bacterianas distintas, Cepa A e Cepa B, em condições controladas de cultura:

• A Cepa A conta inicialmente com 150 bactérias e a sua população duplica a cada 3 horas, seguindo o modelo $N_A(t) = 150 \cdot 2^{t/3}$ ($t$ medido em horas).

• A Cepa B parte de uma população maior, com 1200 bactérias, mas se reproduz mais lentamente, duplicando a cada 6 horas: $N_B(t) = 1200 \cdot 2^{t/6}$.

1. a) Escreva cada função na forma $N(t) = N_0 \cdot b^t$ determinando a base horária $b$ de cada uma. A partir do valor das referidas bases, justifique qual das duas cepas cresce a maior ritmo percentual por hora.
2. b) Embora a Cepa B parta com 8 vezes mais bactérias do que a Cepa A, será que a Cepa A chegará a alcançá-la? Formule a equação $N_A(t) = N_B(t)$ e resolva-a aplicando exclusivamente propriedades das potências para averiguar em que hora exata terão idêntico número de bactérias.
3. c) Calcule o número de bactérias de cada cepa decorridas 24 horas e determine a diferença entre ambas. Interprete se o resultado obtido concorda com o que foi fundamentado nas alíneas anteriores.