Problemas com equações do segundo grau

Encontre um número positivo tal que o triplo do seu quadrado seja exatamente igual a doze vezes esse mesmo número.

O Marcos resolve em sua prova o seguinte problema: «O chão de um galpão retangular tem um comprimento que mede mais $5\text{ m}$ do que a sua largura. Se a superfície total é de $66\text{ m}^2$, quais são as suas dimensões?».

Para resolvê-lo, ele formula $x(x+5) = 66 \implies x^2 + 5x - 66 = 0$. Aplica a fórmula de Bhaskara e obtém corretamente as raízes algébricas $x_1 = 6$ e $x_2 = -11$. Em seguida, conclui: «Há dois galpões possíveis: um de $6\text{ m}$ de largura por $11\text{ m}$ de comprimento, e outro de $11\text{ m}$ de largura por $16\text{ m}$ de comprimento, porque como as distâncias não podem ser negativas, mudamos o sinal do $-11$ e somamos $5$».

1. a) Identifique com precisão o erro conceitual do Marcos ao interpretar a solução negativa $x_2 = -11$.
2. b) Explique por que a equação algébrica fornece duas soluções enquanto o problema geométrico admite apenas uma.
3. c) Corrija a resposta final determinando as verdadeiras dimensões do galpão e calcule quantos metros lineares de rodapé serão necessários para contornar todo o seu perímetro (sem descontar portas).

O produto de dois números inteiros consecutivos é $156$. Quais são esses números?

O produto de dois números pares positivos consecutivos é $288$. Encontre esses números.

A soma dos quadrados de dois números naturais ímpares consecutivos é $130$. Determine de que números se trata.

A base de um terreno retangular mede $5$ metros a mais que a sua altura. Se a sua área total é de $150 \text{ m}^2$, calcule as dimensões dele.

Em um triângulo retângulo, um cateto mede $7 \text{ cm}$ a mais que o outro. Se a hipotenusa mede $13 \text{ cm}$, calcule o comprimento de ambos os catetos.

Se o lado de um quadrado de cerâmica for aumentado em $4 \text{ cm}$, a sua área quadruplica. Quanto media o lado inicialmente?

Um artesão de cerâmica de Paraty desenha um azulejo decorativo quadrado. Para uma encomenda especial, modifica o molde aumentando sua base em $3\text{ cm}$ e reduzindo sua altura em $2\text{ cm}$, obtendo uma peça retangular cuja superfície é de $84\text{ cm}^2$.

1. a) Sem resolver a equação, faça uma estimativa prévia: tendo em conta que a área final ($84\text{ cm}^2$) deve ser muito semelhante à do quadrado inicial, estime entre quais dois números inteiros consecutivos deve se situar o comprimento do lado original do azulejo.
2. b) Defina a incógnita, formule a equação do segundo grau correspondente e resolva-a passo a passo para encontrar a medida exata do lado do azulejo original.
3. c) Verifique se a sua solução matemática coincide com a sua estimativa inicial e confirme no enunciado que as dimensões do novo retângulo cumprem a área indicada.

Uma piscina retangular de $10 \text{ m}$ de comprimento por $6 \text{ m}$ de largura está cercada por um corredor de grama de largura uniforme $x$. Se a área exclusiva do corredor é de $80 \text{ m}^2$, qual é a largura do corredor?

Para fabricar uma pipa, precisa-se de um tecido em forma de losango. Sabe-se que a diagonal maior mede $4 \text{ cm}$ a mais que a diagonal menor, e que a área total da pipa é de $96 \text{ cm}^2$. Calcule o comprimento de ambas as diagonais.

Uma empresa de tecnologia fabrica painéis solares com formato retangular. O comprimento do painel deve ser o dobro da sua largura menos $1 \text{ metro}$. Se para um novo modelo se exige que a área do painel seja de $28 \text{ m}^2$, encontre as suas dimensões.

Para promover a mobilidade sustentável, um município projeta um novo bicicletário fechado de $180\text{ m}^2$ de superfície. Devido às limitações da calçada, o fundo (largura) do recinto deve medir exatamente $8\text{ m}$ a menos do que a sua fachada (comprimento).

1. a) Designe por $x$ o comprimento da fachada em metros, escreva a expressão que representa o fundo e formule uma única equação do segundo grau que modele a superfície.
2. b) Resolva a equação, analise o significado das duas soluções matemáticas obtidas e determine as dimensões reais do terreno.
3. c) A prefeitura dispõe de um orçamento máximo de $8000\text{ euros}$. Se o pavimento drenante custa $35\text{ euros/m}^2$ e a cerca de segurança perimetral que contorna os quatro lados custa $25\text{ euros}$ por metro linear, verifique numericamente se o orçamento destinado é suficiente para executar a obra.

Dispõe-se de uma chapa de papelão retangular de $30 \text{ cm}$ de comprimento por $20 \text{ cm}$ de largura. Deseja-se construir uma caixa sem tampa cortando um quadrado de lado $x$ em cada canto e dobrando as abas para cima. Se a área da base da caixa resultante deve ser de $336 \text{ cm}^2$, calcule o valor de $x$ e o volume da caixa.

Um artesão quer projetar uma moldura de madeira para um espelho retangular. As dimensões do espelho são $80 \text{ cm}$ de altura por $60 \text{ cm}$ de largura. A moldura terá uma espessura uniforme de $x \text{ cm}$ na parte superior e inferior, mas nas laterais a espessura será o dobro, ou seja, $2x \text{ cm}$. Se a área total da moldura (sem incluir o espelho) deve ser de $2400 \text{ cm}^2$, determine o valor de $x$.

Uma lata cilíndrica de conservas é projetada de modo que a altura dela é exatamente igual ao diâmetro da base. Se para fabricar a lata (incluindo as duas tampas circulares e a superfície lateral) foram utilizados exatamente $150\pi \text{ cm}^2$ de folha de flandres, calcule o raio da base.

Uma associação de moradores em Campinas dispõe de um pátio interno quadrado de lado desconhecido. Em uma reforma, decidem reduzir $2\text{ m}$ em um dos lados para instalar uma rampa de acessibilidade e ampliar $6\text{ m}$ no lado perpendicular aproveitando um depósito em desuso. O novo pátio retangular resultante tem uma área de $105\text{ m}^2$.

Para encontrar as dimensões do pátio original, dois membros da administração propõem caminhos diferentes:

• Método A (Carlos): Escolhe como incógnita $x$ o lado do pátio quadrado original e formula a equação: $(x - 2)(x + 6) = 105$.

• Método B (Júlia): Escolhe como incógnita $y$ a largura menor do novo pátio retangular, deduz que o comprimento medirá $y + 8$ e formula a equação: $y(y + 8) = 105$, calculando o lado original no final como $y + 2$.

1. a) Desenvolva e resolva ambos os métodos por completo. Verifique que com os dois se chega às mesmas dimensões iniciais e finais.
2. b) Compare algebricamente ambas as equações: qual apresenta coeficientes mais fáceis para o cálculo mental do discriminante? Que vantagens e desvantagens tem cada uma quanto ao risco de distração ao responder à pergunta final do problema?

Se do quadrado da idade que Ana terá daqui a $3$ anos subtrairmos o triplo da idade que ela tinha há $2$ anos, obtemos $55$. Qual é a idade de Ana atualmente?

Um projétil é lançado verticalmente para cima. A sua altura $h$ (em metros) em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão matemática $h = 40t - 5t^2$. Em que instantes de tempo o projétil estará exatamente a uma altura de $75 \text{ metros}$?

A diferença entre as idades de um avô e de seu neto é de $56$ anos. Há $4$ anos, a idade do avô era exatamente o quadrado da idade do neto. Que idades eles têm atualmente?

Em uma competição de atletismo, lança-se um peso. A trajetória segue uma parábola dada pela equação $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, em que $x$ é a distância horizontal em metros e $y$ é a altura em metros. A que distância horizontal ele tocará o chão?

Um grupo de amigos decide comprar um presente de casamento que custa $120$ reais, a ser pago em partes iguais. De última hora, mais dois amigos se juntam ao grupo, o que faz com que cada um dos anteriores deva pagar $3$ reais a menos do que o inicialmente previsto. Quantos amigos formavam o grupo inicial?

O preço de custo de um lote de camisetas é de $300$ reais. O vendedor decide ficar com $5$ camisetas para a família dele e vender o restante a $2$ reais a mais do que custou cada uma. Se, após vendê-las todas, ele obtém um lucro líquido de $60$ reais (ou seja, arrecada $360$ reais no total), quantas camisetas comprou inicialmente?

Duas tubulações enchem juntas um reservatório de água em $6$ horas. Se fosse aberta apenas a primeira tubulação, ela demoraria $5$ horas a menos para encher o reservatório do que se fosse aberta apenas a segunda. Quanto tempo cada tubulação demoraria para encher o reservatório de forma independente?

Dois carros partem ao mesmo tempo do mesmo cruzamento por duas estradas perpendiculares. Um se desloca $10 \text{ km/h}$ mais rápido que o outro. Ao fim de $2$ horas, a distância em linha reta que os separa é de $100 \text{ km}$. A que velocidade cada um se desloca?

Um investidor aplica um capital de $5000$ reais a uma determinada taxa de juros compostos anual. Ao fim de dois anos, o capital acumulado é de $5408$ reais. Qual foi a taxa de juros anual aplicada?

Um ciclista viaja de uma localidade A para uma localidade B, separadas por $60 \text{ km}$. Na volta, devido ao cansaço, a sua velocidade média é $5 \text{ km/h}$ menor do que na ida, por isso demorou $1$ hora a mais para realizar o mesmo percurso. A que velocidade ele andou na ida?

Uma companhia de teatro aluga uma sala por $800$ reais para uma apresentação. Para cobrir as despesas, decidem fixar um preço para o ingresso. No dia do espetáculo, comparecem $40$ espectadores a mais do que o esperado, por isso o organizador decide reduzir o preço do ingresso em $1$ real, arrecadando exatamente os $800$ reais necessários. Quantos espectadores compareceram finalmente à apresentação?

Um trem de alta velocidade faz habitualmente o trajeto direto de $300\text{ km}$ entre São Paulo e Curitiba a uma velocidade média constante $v$ (em $\text{km/h}$). Devido a obras na infraestrutura, em um determinado dia ele tem de reduzir sua velocidade média em todo o percurso em $50\text{ km/h}$, o que provoca um atraso de meia hora ($0,5\text{ h}$) em relação ao seu horário habitual.

1. a) Defina com clareza o que representa a incógnita $v$ e formule uma única equação que relacione a distância fixa, as duas velocidades médias e a diferença de tempos entre as duas viagens.
2. b) Transforme a relação anterior em uma equação do segundo grau na forma geral ($av^2+bv+c=0$), resolva-a e determine a velocidade média habitual do trem e a duração normal do trajeto.
3. c) A equação matemática fornece duas soluções reais ($v_1$ e $v_2$). Explique fundamentadamente por que razão se descarta a raiz negativa neste contexto físico.
4. d) O regulamento de qualidade ferroviária exige que os atrasos por obras não ultrapassem os $20\text{ minutos}$ ($\frac{1}{3}\text{ de hora}$). Sem necessidade de resolver outra equação quadrática completa, fundamente qualitativamente se a redução de velocidade admissível deveria ser maior ou menor do que $50\text{ km/h}$ para cumprir esse critério.

O Marcos resolve em sua prova o seguinte problema: «O chão de um galpão retangular tem um comprimento que mede mais $5\text{ m}$ do que a sua largura. Se a superfície total é de $66\text{ m}^2$, quais são as suas dimensões?».

Para resolvê-lo, ele formula $x(x+5) = 66 \implies x^2 + 5x - 66 = 0$. Aplica a fórmula de Bhaskara e obtém corretamente as raízes algébricas $x_1 = 6$ e $x_2 = -11$. Em seguida, conclui: «Há dois galpões possíveis: um de $6\text{ m}$ de largura por $11\text{ m}$ de comprimento, e outro de $11\text{ m}$ de largura por $16\text{ m}$ de comprimento, porque como as distâncias não podem ser negativas, mudamos o sinal do $-11$ e somamos $5$».

1. a) Identifique com precisão o erro conceitual do Marcos ao interpretar a solução negativa $x_2 = -11$.
2. b) Explique por que a equação algébrica fornece duas soluções enquanto o problema geométrico admite apenas uma.
3. c) Corrija a resposta final determinando as verdadeiras dimensões do galpão e calcule quantos metros lineares de rodapé serão necessários para contornar todo o seu perímetro (sem descontar portas).

Um professor quer preparar para a sua turma um problema de desenho geométrico cuja resolução conduza à equação do segundo grau $x^2 - 15x + 54 = 0$, cujas soluções são $x_1 = 9$ e $x_2 = 6$.

1. a) Redija o enunciado de um problema contextualizado (por exemplo, cercar uma horta ou desenhar um terraço) no qual intervenham o semiperímetro ($15\text{ m}$) e a área ($54\text{ m}^2$), de modo que, ao formulá-lo, surja diretamente a referida equação.
2. b) Resolva a equação e interprete por que motivo, neste caso particular, AMBAS as soluções numéricas são positivas e válidas, explicando o que representam geometricamente.
3. c) Modifique unicamente o dado da área no seu enunciado para colocar uma situação fisicamente impossível (ou seja, em que não exista nenhum retângulo que possa ser construído com esse semiperímetro). Justifique a sua proposta analisando o sinal do discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) da nova equação resultante.